Методы решения физико-математических задач

Теорема о двух милиционерах

Теорема о двух милиционерах
Приводится формулировка и доказательство теоремы о зажатой последовательности, которую в шутку называют «Теоремой о двух милиционерах». Рассмотрены примеры применения этой теоремы.

Теорема о промежуточной последовательности

Пусть последовательности {xn} и {zn} сходятся к одному конечному числу a:   . И пусть элементы последовательности {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам   xn ≤ yn ≤ zn. То есть они находятся в промежутке между элементами последовательностей {xn} и {zn}. Тогда эта последовательность также сходится к числу a:   .

Эта теорема также выполняется, если a есть бесконечно удаленная точка определенного знака: или . Но она не справедлива, если . См. «Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей».

Математики тоже шутят. Поэтому эту теорему иногда называют Теоремой о двух милиционерах (полицейских). Также, эту теорему иногда называют леммой, и она имеет другие названия: теорема (лемма) о зажатой последовательности, теорема о трех последовательностях, теорема о пределе промежуточной последовательности.

Теорема о двух милиционерах

Если два милиционера {xn} и {zn} идут в милицейский участок a:   , то оказавшийся между ними подозреваемый {yn},  xn ≤ yn ≤ zn, также придет в этот участок:
.

Доказательство

Поскольку существуют конечные пределы и , то, согласно определению предела последовательности, имеются функции и такие, что для любого положительного числа ε > 0 выполняются следующие неравенства:
  при  ;
  при  .
По условию, имеется некоторое число n0. Так что при выполняются неравенства:
.

Выберем произвольное положительное значение переменной ε. Пусть означает наибольшее из чисел , и . Тогда при выполняются следующие неравенства:
(4.1)   ;
(4.2)   ;
(4.3)   .

Из (4.1) и (4.2) следует, что
;
.
Учитывая (4.3), имеем:
;
.
Отсюда
.
Или
.

Итак, мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняются неравенства:
.
Это означает, что последовательность имеет предел и он равен a:
.

Теорема доказана.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью теоремы о двух милиционерах.
   

Пример 1

Все примеры ⇑ Используя значение предела , найти предел последовательности при .

Решение

Используем то, что функция синус ограничена:
.
Разделим эти неравенства на положительное число n. Поскольку , то неравенства не меняют знаки:
(П1.1)   .

Рассмотрим последовательности с элементами   и   . Их пределы известны:
;
.

Согласно (П1.1), элементы последовательности заключены между элементами и :
.
Тогда, на основании теоремы о двух милиционерах:
.

Ответ

.

Пример 2

Все примеры ⇑ Найти предел последовательности при , используя теорему о двух милиционерах.

Решение

Воспользуемся свойствами показательной функции:
.
Чтобы избежать громоздких формул, введем обозначение:
.
Тогда .

Преобразуем элемент заданной последовательности в следующем виде:
.
Поскольку , то убывает с ростом n. Номер элемента n принимает только натуральные значения . Поэтому
.
Кроме этого, согласно свойствам показательной функции,
.
Таким образом,
.

Разделим эти неравенства на положительное число n. Поскольку , то неравенства не меняют знаки:
(П2.1)   .
Далее заметим, что если выполняется строгое неравенство , то автоматически выполняется нестрогое: . Поэтому мы можем заменить в (П2.1) знак строгого неравенства на знак нестрогого:
(П2.2)   .

Далее, вводим последовательность x_n, состоящую из постоянных элементов, равных нулю:
.
Согласно свойству таких последовательностей, она имеет предел:
.

Вводим последовательность . Воспользуемся тем, что . Применяя арифметические свойства пределов последовательностей, находим:
.

Из (П2.2) мы видим, что элементы последовательности зажаты между элементами   и   :
.
Поскольку , то по теореме о зажатой последовательности, .

Ответ

.

.     Опубликовано: