Теорема о двух милиционерах
Теорема о промежуточной последовательности
Пусть последовательности {xn} и {zn} сходятся к одному конечному числу a : limn → ∞ xn = limn → ∞ zn = a . И пусть элементы последовательности {yn} , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам xn ≤ yn ≤ zn . То есть они находятся в промежутке между элементами последовательностей {xn} и {zn} . Тогда эта последовательность также сходится к числу a : limn → ∞ yn = a .
Эта теорема также выполняется, если a есть бесконечно удаленная точка определенного знака: + ∞ или + ∞ . Но она не справедлива, если a = ∞ . См. «Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей».
Математики тоже шутят. Поэтому эту теорему иногда называют Теоремой о двух милиционерах (полицейских). Также, эту теорему иногда называют леммой, и она имеет другие названия: теорема (лемма) о зажатой последовательности, теорема о трех последовательностях, теорема о пределе промежуточной последовательности.
Теорема о двух милиционерах
Если два милиционера {xn} и {zn} идут в милицейский участок a : limn → ∞ xn = limn → ∞ zn = a , то оказавшийся между ними подозреваемый {yn} , xn ≤ yn ≤ zn , также придет в этот участок:
limn → ∞ yn = a .
Доказательство
Поскольку существуют конечные пределы limn → ∞ xn = a и limn → ∞ zn = a , то, согласно определению предела последовательности, имеются функции Nx (ε ) и Nz (ε ) такие, что для любого положительного числа ε > 0 выполняются следующие неравенства:
| xn – a | < ε при n > Nx (ε ) ;
| zn – a | < ε при n > Nz (ε ) .
По условию, имеется некоторое число n0 . Так что при n > n0 выполняются неравенства:
xn ≤ yn ≤ zn .
Выберем произвольное положительное значение переменной ε . Пусть N(ε ) означает наибольшее из чисел Nx (ε ) , Nz (ε ) и n0 . Тогда при n > N(ε ) выполняются следующие неравенства:
(4.1) | xn – a | < ε ;
(4.2) | zn – a | < ε ;
(4.3) xn ≤ yn ≤ zn .
Из (4.1) и (4.2) следует, что
– ε < xn – a ⇒ a – ε < xn ;
zn – a < ε ⇒ zn < a + ε .
Учитывая (4.3), имеем:
a – ε < xn ≤ yn ;
yn ≤ zn < a + ε .
Отсюда
a – ε < yn < a + ε .
Или
| yn – a | < ε .
Итак, мы нашли такую функцию N(ε ) = max (Nx (ε ), Nz (ε ), n0 ) , при которой, для любого положительного числа ε > 0 , выполняются неравенства:
| yn – a | < ε; n > N(ε ) .
Это означает, что последовательность {yn } имеет предел и он равен a :
limn → ∞ yn = a .
Теорема доказана.
Примеры
Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью теоремы о двух милиционерах.
limn → ∞ sin nn ⇓ limn → ∞ 1n 2 n ⇓
Пример 1
Все примеры ⇑ Используя значение предела limn → ∞ 1n = 0 , найти предел последовательности { sin nn } при n → ∞ .
Решение
Используем то, что функция синус ограничена:
– 1 ≤ sin n ≤ 1 .
Разделим эти неравенства на положительное число n . Поскольку n > 0 , то неравенства не меняют знаки:
(П1.1) – 1n ≤ sin nn ≤ 1n .
Рассмотрим последовательности с элементами xn = – 1n и zn = 1n . Их пределы известны:
limn → ∞ zn = limn → ∞ 1n = 0 ;
limn → ∞ xn = limn → ∞ ( – 1n ) = – limn → ∞ 1n = 0 .
Согласно (П1.1), элементы последовательности yn = sin nn заключены между элементами xn и zn :
xn ≤ yn ≤ zn .
Тогда, на основании теоремы о двух милиционерах:
limn → ∞ yn = limn → ∞ xn = limn → ∞ zn = 0 .
Ответ
limn → ∞ sin nn = 0 .
Пример 2
Все примеры ⇑ Найти предел последовательности { 1n 2 n } при n → ∞ , используя теорему о двух милиционерах.
Решение
Воспользуемся свойствами показательной функции:
12 n = ( 12 ) n .
Чтобы избежать громоздких формул, введем обозначение:
a = 12 .
Тогда 12 n = a n .
Преобразуем элемент заданной последовательности в следующем виде:
yn = 1n 2 n = 1n ⋅ 12 n = 1n ⋅ a n = a nn .
Поскольку a = 1 / 2 < 1 , то a n убывает с ростом n . Номер элемента n принимает только натуральные значения n = 1, 2, 3, 4, ... . Поэтому
a n ≤ a 1 = a .
Кроме этого, согласно свойствам показательной функции,
a n > 0 .
Таким образом,
0 < a n ≤ a .
Разделим эти неравенства на положительное число n . Поскольку n > 0 , то неравенства не меняют знаки:
(П2.1) 0 < a nn ≤ an .
Далее заметим, что если выполняется строгое неравенство b < d , то автоматически выполняется нестрогое: b ≤ d . Поэтому мы можем заменить в (П2.1) знак строгого неравенства на знак нестрогого:
(П2.2) 0 ≤ a nn ≤ an .
Далее, вводим последовательность x_n , состоящую из постоянных элементов, равных нулю:
xn = 0 .
Согласно свойству таких последовательностей, она имеет предел:
limn → ∞ xn = 0 .
Вводим последовательность zn = an . Воспользуемся тем, что limn → ∞ 1n = 0 . Применяя арифметические свойства пределов последовательностей, находим:
limn → ∞ zn = limn → ∞ an = limn → ∞ ( a ⋅ 1n ) = a ⋅ limn → ∞ 1n = a ⋅ 0 = 0 .
Из (П2.2) мы видим, что элементы последовательности yn зажаты между элементами xn и zn :
xn ≤ yn ≤ zn .
Поскольку limn → ∞ xn = limn → ∞ zn = 0 , то по теореме о зажатой последовательности, limn → ∞ yn = 0 .
Ответ
limn → ∞ 1n 2 n = 0 .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: