Методы решения физико-математических задач

Теорема о пределе сложной функции

Теорема о пределе сложной функции
При вычислении предела сложной функции может возникнуть случай, когда известны пределы входящих в ее состав функций, но предела сложной функции не существует. Приводится теорема о пределе сложной функции и ее доказательство. Рассмотрен пример определения предела в точке, в которой составные функции не являются непрерывными.

Введение

Здесь мы выясним вопрос о пределе сложной функции
,
составленной из двух функций:
,  и  .
Пусть при ; и при .
Казалось бы, тогда при , переменная y должна стремиться к : . То есть предел сложной функции должен равняться :
.

Однако внимательное рассмотрение показывает, что существует еще один вариант, когда предела сложной функции не существует. То есть, несмотря на то, что существуют пределы
;
предел сложной функции может не существовать.

Это связано с тем, что для существования предела , значение функции в самой точке не играет никакой роли. Точка исключена из рассмотрения, так как в определении предела фигурирует только проколотая окрестность этой точки. В самой точке , функция может быть не определена, или иметь значение, отличное от предельного: .

Но для предела , исключена из рассмотрения точка , но не . Значения функции могут равняться , в которой может быть не определена, или иметь значение, не совпадающее с пределом. Именно по этой причине, предела сложной функции может не существовать. Пример такой функции рассмотрен на странице Замена переменной при решении пределов

Тогда, чтобы преодолеть это затруднение, нужно исключить точку и на множестве значений функции . Для этого на функцию g нужно наложить дополнительное ограничение, которое заключается в том, что должна существовать такая проколотая окрестность точки , на которой значения функции не равны :
для всех .

Окрестность , на которой существует, если существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция g строго монотонна. Монотонность может иметь разный характер слева и справа от . Например, слева функция возрастает; справа – убывает.
Действительно, в определении предела точка исключена из рассмотрения. Поэтому значение функции в ней не представляет интереса. Поскольку строго монотонна слева от , то она может принимать значение только в одной точке при x < x0. Поскольку строго монотонна справа от , то она может принимать значение также только в одной точке при x > x0. Таким образом, функция g может принимать значение не более, чем в двух точках проколотой окрестности. Тогда можно сузить окрестность, чтобы они оказались за ее пределами.

Теорема о пределе сложной функции

Пусть функции   и   имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой
.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.

Доказательство

Воспользуемся определением предела функции в точке по Коши с использованием произвольных окрестностей. Возьмем произвольную окрестность точки . Нам нужно доказать, что существует такая проколотая окрестность точки , на которой сложная функция определена, и ее значения принадлежат окрестности :
  для всех  .

Поскольку существует предел , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция определена, и ее значения принадлежат произвольно выбранной нами окрестности :
  для всех  .

Теперь возьмем окрестность точки , полученную из проколотой окрестности , добавлением в нее точки :
.
Поскольку существует предел , то, для окрестности , существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция определена, и ее значения принадлежат окрестности :
  для всех  .

Пусть – пересечение множеств   и  . Тогда на этом пересечении,   и  . То есть значения функции принадлежат проколотой окрестности точки .

Таким образом, существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция определена, и ее значения принадлежат проколотой окрестности точки :
  для всех  .

Итак, мы нашли, что для произвольной окрестности точки , существуют проколотые окрестности и точек и , на которых функции f и g определены и
  для всех  ;
  для всех  ,
где .
Это означает, что для любых , значения сложной функции    принадлежат окрестности . То есть, для произвольно выбранной окрестности точки , мы нашли окрестность точки , так что
1) при определена сложная функция ;
2)   для всех  .
То есть существует предел сложной функции, и он равен :
.

Теорема доказана.

Пример

Найти односторонние пределы сложной функции в точке :
  и  .

Решение

Функцию можно рассматривать как композицию двух элементарных функций:
,
где .

Рассмотрим функцию . Она определена для всех значений переменной , за исключением точки , и имеет в этой точке односторонние пределы:
.

Поскольку и бесконечно удаленные точки, то
  и   для всех x.

Таким образом, чтобы найти левый предел сложной функции в точке , надо найти левый предел функции в бесконечно удаленной точке . Этот предел известен и равен нулю (см. свойства экспоненты):
.
Тогда
.
Схематично процесс решения можно записать так:
При .
При .

Аналогично для предела справа:
При .
При .

Ответ

;
.

.     Опубликовано:   Изменено: