Формулировки теорем
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой
.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство ⇓
Теорема о пределе функции от монотонной функции
Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция строго монотонна. Причем монотонность слева и справа от может иметь разные знаки.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство ⇓
Обсуждение
Рассмотрим сложную функции
,
составленную из двух функций:
, и .
Пусть при ; и при .
Казалось бы, тогда при , переменная y должна стремиться к : . То есть предел сложной функции должен равняться :
.
Однако внимательное рассмотрение показывает, что существует еще один вариант, когда предела сложной функции не существует. То есть, несмотря на то, что существуют пределы
;
предел сложной функции может не существовать.
Это связано с тем, что для существования предела , значение функции в самой точке не играет никакой роли. Точка исключена из рассмотрения, так как в определении предела фигурирует только проколотая окрестность этой точки. В самой точке , функция может быть не определена, или иметь значение, отличное от предельного: .
Но для предела , исключена из рассмотрения точка , но не . Значения функции могут равняться , в которой может быть не определена, или иметь значение, не совпадающее с пределом. Именно по этой причине, предела сложной функции может не существовать. Пример такой функции рассмотрен на странице Замена переменной при решении пределов
Тогда, чтобы преодолеть это затруднение, нужно исключить точку и на множестве значений функции . Для этого на функцию g нужно наложить дополнительное ограничение, которое заключается в том, что должна существовать такая проколотая окрестность точки , на которой значения функции не равны :
(1) для всех .
При таком условии формулируется первая теорема. Вторая теорема несколько сужает класс функций , накладывая требование строгой монотонности. Для таких функций не нужно делать проверку (1). А можно сразу утверждать, что
если , и , то .
Однако это довольно обширный класс функций. Он включает в себя элементарные функции, кроме постоянной и тригонометрических. Составные функции, составленные с помощью конечного числа операций, таких как сложение, умножение, не монотонны, но область определения составных функций можно разбить на конечное число интервалов, в каждом из которых функция монотонна. Поэтому для любой точки можно указать ее окрестность, в которой функция монотонна, и применить вторую теорему о пределе функции от монотонной функции.
Пример
Все примеры Найти односторонние пределы сложной функции в точке :
и .
Решение
Функцию можно рассматривать как композицию двух элементарных функций:
,
где .
Рассмотрим функцию . Она определена для всех значений переменной , за исключением точки , и имеет в этой точке односторонние пределы:
.
Поскольку и бесконечно удаленные точки, то
и для всех x.
Таким образом, чтобы найти левый предел сложной функции в точке , надо найти левый предел функции в бесконечно удаленной точке . Этот предел известен и равен нулю (см. свойства экспоненты):
.
Тогда
.
Схематично процесс решения можно записать так:
При .
При .
Аналогично для предела справа:
При .
При .
Ответ
;
.
Доказательства теорем
Теорема о пределе сложной функции
Все Теоремы ⇑ Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой
.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство
Воспользуемся определением предела функции в точке по Коши с использованием произвольных окрестностей. Возьмем произвольную окрестность точки . Нам нужно доказать, что существует такая проколотая окрестность точки , на которой сложная функция определена, и ее значения принадлежат окрестности :
для всех .
Поскольку существует предел , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция определена, и ее значения принадлежат произвольно выбранной нами окрестности :
для всех .
Теперь возьмем окрестность точки , полученную из проколотой окрестности , добавлением в нее точки :
.
Поскольку существует предел , то, для окрестности , существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция определена, и ее значения принадлежат окрестности :
для всех .
Пусть – пересечение множеств и . Тогда на этом пересечении, и . То есть значения функции принадлежат проколотой окрестности точки .
Таким образом, существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция определена, и ее значения принадлежат проколотой окрестности точки :
для всех .
Итак, мы нашли, что для произвольной окрестности точки , существуют проколотые окрестности и точек и , на которых функции f и g определены и
для всех ;
для всех ,
где .
Это означает, что для любых , значения сложной функции принадлежат окрестности . То есть, для произвольно выбранной окрестности точки , мы нашли окрестность точки , так что
1) при определена сложная функция ;
2) для всех .
То есть существует предел сложной функции, и он равен :
.
Теорема доказана.
Теорема о пределе функции от монотонной функции
Все Теоремы ⇑ Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция строго монотонна. Причем монотонность слева и справа от может иметь разные знаки.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство
Эта теорема отличается от теоремы о пределе сложной функции ⇑ только тем, что вместо требования, чтобы существовала такая проколотая окрестность точки , в которой , на накладывается ограничение, чтобы она была строго монотонной на некоторой проколотой окрестности точки . Поэтому нам только нужно доказать, что если строго монотонна, то существует такая проколотая окрестность точки , в которой .
Доказательство основывается на том факте, что если функция f строго монотонна на некотором интервале X, то она может принимать наперед заданное значение не более чем в одной точке этого интервала. Действительно, допустим противное, что существуют две точки и , , в которых функция равна :
.
Но тогда , что противоречит определению строгой монотонности.
По условию теоремы, существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция строго монотонна. Разобьем эту окрестность на два открытых интервала:
.
Рассмотрим левый интервал . Согласно сказанному выше, на нем функция может принимать значение не более, чем в одной точке. Если функция не принимает значения в этом интервале, то положим . Если она принимает значение в некоторой точке , то положим . Тогда в интервале функция не равна :
при .
Аналогичным образом рассмотрим правый интервал . На нем также может принимать значение не более, чем в одной точке. Если функция не принимает значения в этом интервале, то положим . Если она принимает значение в некоторой точке , то положим . Тогда в интервале функция не равна :
при .
Таким образом мы нашли проколотую окрестность точки , в которой . Тогда по теореме о пределе сложной функции ⇑, существует предел функции , и он равен :
.
Теорема доказана.
В заключении заметим, что при соблюдении условий теоремы, строго монотонная функция не может иметь значения ни в одной точке проколотой окрестности . Иначе ее предел при не будет равняться . Но этот факт нужно доказывать, используя определение предела. А так мы допустили заведомо невыполнимое предположение, что равно на проколотой окрестности точки . В результате получили более короткое и изящное доказательство.