Теорема о пределе сложной функции
Формулировки теорем
limx → x0 g(x ) = t0 ;
limt → t0 f (t ) = y0 .
И пусть существует такая проколотая окрестность ○U0 (x0 ) точки x0 , на которой
g(x ) ≠ t0 ; x ∈ ○U0 (x0 ) .
Тогда существует предел сложной функции f (g(x )) , и он равен y0 :
limx → x0 f (g(x )) = y0 .
Здесь x0 , t0 , y0 – конечные или бесконечно удаленные точки: x0 , t0 , y0 ∈ R . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство
limx → x0 g(x ) = t0 ;
limt → t0 f (t ) = y0 .
И пусть существует такая проколотая окрестность ○U0 (x0 ) точки x0 , на которой функция g(x ) строго монотонна. Причем монотонность слева и справа от x0 может иметь разные знаки.
Тогда существует предел сложной функции f (g(x )) , и он равен y0 :
limx → x0 f (g(x )) = y0 .
Здесь x0 , t0 , y0 – конечные или бесконечно удаленные точки: x0 , t0 , y0 ∈ R . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство
Забегая вперед, укажем еще одну полезную теорему.
limx → x0 g(x ) = t0 .
Здесь точка x0 может быть конечной или бесконечно удаленной: x0 ∈ R .
И пусть функция f(t) непрерывна в точке t0 .
Тогда существует предел сложной функции f(g(x)) , и он равен f(t0) :
limx → x0 f (g(x )) = f ( limx → x0 g(x ) ) = f (t0 ) .
Доказательство
Обсуждение
Рассмотрим сложную функции
y = f (g(x )) ,
составленную из двух функций:
t = g(x ) , и y = f (t ) .
Пусть при x → x0 , t → t0 ; и при t → t0 , y → y0 .
Казалось бы, тогда при x → x0 , переменная y должна стремиться к y0 : y → y0 . То есть предел сложной функции должен равняться y0 :
limx → x0 f (g(x )) = y0 .
Однако внимательное рассмотрение показывает, что существует еще один вариант, когда предела сложной функции limx → x0 f (g(x )) не существует. То есть, несмотря на то, что существуют пределы
limx → x0 g(x ) = t0 ; limt → t0 f (t ) = y0 ;
предел сложной функции limx → x0 f (g(x )) может не существовать.
Это связано с тем, что для существования предела limt → t0 f (t ) = y0 , значение функции в самой точке t0 не играет никакой роли. Точка t0 исключена из рассмотрения, так как в определении предела фигурирует только проколотая окрестность этой точки. В самой точке t0 , функция f (t ) может быть не определена, или иметь значение, отличное от предельного: f (t0 ) ≠ y0 .
Но для предела limx → x0 g(x ) = t0 , исключена из рассмотрения точка x0 , но не t0 . Значения функции g(x ) могут равняться t0 , в которой f (t ) может быть не определена, или иметь значение, не совпадающее с пределом. Именно по этой причине, предела сложной функции может не существовать. Пример такой функции рассмотрен на странице Замена переменной при решении пределов
Тогда, чтобы преодолеть это затруднение, нужно исключить точку t0 и на множестве значений функции t = g(x ) . Для этого на функцию g нужно наложить дополнительное ограничение, которое заключается в том, что должна существовать такая проколотая окрестность ○U0 (x0 ) точки x0 , на которой значения функции t = g(x ) не равны t0 :
(1) g(x ) ≠ t0 для всех x ∈ ○U0 (x0 ) .
При таком условии формулируется первая теорема. Вторая теорема несколько сужает класс функций g(x ) , накладывая требование строгой монотонности. Для таких функций не нужно делать проверку (1). А можно сразу утверждать, что
если limx → x0 g(x ) = t0 , и limt → t0 f (t ) = y0 , то limx → x0 f (g(x )) = y0 .
Однако это довольно обширный класс функций. Он включает в себя элементарные функции, кроме постоянной и тригонометрических. Составные функции, составленные с помощью конечного числа операций, таких как сложение, умножение, не монотонны, но область определения составных функций можно разбить на конечное число интервалов, в каждом из которых функция монотонна. Поэтому для любой точки можно указать ее окрестность, в которой функция монотонна, и применить вторую теорему о пределе функции от монотонной функции.
Пример
Все примеры Найти односторонние пределы сложной функции в точке x = 0 :
limx → 0 – 0 e 1x и limx → 0 + 0 e 1x .
Решение
Функцию y(x ) = e 1x можно рассматривать как композицию двух элементарных функций:
y(x ) = f (g(x )) ,
где t = g(x ) = 1x , y = f (t ) = e t .
Рассмотрим функцию t = g(x ) = 1x . Она определена для всех значений переменной x , за исключением точки x = 0 , и имеет в этой точке односторонние пределы:
t01 = limx → 0 – 0 g(x ) = – ∞, t02 = limx → 0 + 0 g(x ) = + ∞ .
Поскольку t01 и t02 бесконечно удаленные точки, то
g(x ) ≠ t01 и g(x ) ≠ t02 для всех x .
Таким образом, чтобы найти левый предел сложной функции в точке x0 = 0 , надо найти левый предел функции f (t ) = e t в бесконечно удаленной точке – ∞ . Этот предел известен и равен нулю (см. свойства экспоненты):
limt → – ∞ e t = 0 .
Тогда
limx → 0 – 0 e 1x = limt → – ∞ e t = 0 .
Схематично процесс решения можно записать так:
При x → 0 – 0, t = 1x → 1– 0 = – ∞ .
При t → – ∞, y = e 1x = e t → e – ∞ = 0 .
Аналогично для предела справа:
При x → 0 + 0, t = 1x → 1+ 0 = + ∞ .
При t → + ∞, y = e 1x = e t → e + ∞ = + ∞ .
Ответ
limx → 0 – 0 e 1x = 0 ;
limx → 0 + 0 e 1x = + ∞ .
Доказательства теорем
Теорема о пределе сложной функции
Все теоремы Пусть функции t = g(x ) и y = f (t ) имеют пределы:limx → x0 g(x ) = t0 ;
limt → t0 f (t ) = y0 .
И пусть существует такая проколотая окрестность ○U0 (x0 ) точки x0 , на которой
g(x ) ≠ t0 ; x ∈ ○U0 (x0 ) .
Тогда существует предел сложной функции f (g(x )) , и он равен y0 :
limx → x0 f (g(x )) = y0 .
Здесь x0 , t0 , y0 – конечные или бесконечно удаленные точки: x0 , t0 , y0 ∈ R . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Воспользуемся определением предела функции в точке по Коши с использованием произвольных окрестностей. Возьмем произвольную окрестность Uε (y0 ) точки y0 . Нам нужно доказать, что существует такая проколотая окрестность ○Uδ(ε ) (x0 ) точки x0 , на которой сложная функция f (g(x )) определена, и ее значения принадлежат окрестности Uε (y0 ) :
f (g(x )) ∈ Uε (y0 ) для всех x ∈ ○Uδ(ε ) (x0 ) .
Поскольку существует предел limt → t0 f (t ) = y0 , то существует такая проколотая окрестность ○Uσ(ε ) (t0 ) точки t0 , на которой функция f (t ) определена, и ее значения принадлежат произвольно выбранной нами окрестности Uε (y0 ) :
f (t ) ∈ Uε (y0 ) для всех t ∈ ○Uσ(ε ) (t0 ) .
Теперь возьмем окрестность точки t0 , полученную из проколотой окрестности ○Uσ(ε ) (t0 ) , добавлением в нее точки t0 :
Uσ(ε ) (t0 ) = ○Uσ(ε ) (t0 ) ∪ {t0 } .
Поскольку существует предел limx → x0 g(x ) = t0 , то, для окрестности Uσ(ε ) (t0 ) , существует такая проколотая окрестность ○Uχ(σ(ε )) (x0 ) точки x0 , на которой функция g(x ) определена, и ее значения принадлежат окрестности Uσ(ε ) (t0 ) :
g(x ) ∈ Uσ(ε ) (t0 ) для всех x ∈ ○Uχ(σ(ε )) (x0 ) .
Пусть ○Uδ(ε ) (x0 ) – пересечение множеств ○U0 (x0 ) и ○Uχ(σ(ε )) (x0 ) . Тогда на этом пересечении, g(x ) ∈ Uσ(ε ) (t0 ) и g(x ) ≠ t0 . То есть значения функции g(x ) принадлежат проколотой окрестности ○Uσ(ε ) (t0 ) точки t0 .
Таким образом, существует такая проколотая окрестность ○Uδ(ε ) (x0 ) = ○U0 (x0 ) ∩ ○Uχ(σ(ε )) (x0 ) точки x0 , на которой функция f (t ) определена, и ее значения принадлежат проколотой окрестности ○Uσ(ε ) (t0 ) точки t0 :
g(x ) ∈ ○Uσ(ε ) (t0 ) для всех x ∈ ○Uδ(ε ) (x0 ) .
Итак, мы нашли, что для произвольной окрестности Uε (y0 ) точки y0 , существуют проколотые окрестности ○Uσ(ε ) (t0 ) и ○Uδ(ε ) (x0 ) точек t0 и x0 , на которых функции f и g определены и
y = f (t ) ∈ Uε (y0 ) для всех t ∈ ○Uσ(ε ) (t0 ) ;
t = g(x ) ∈ ○Uσ(ε ) (t0 ) для всех x ∈ ○Uδ(ε ) (x0 ) ,
где ○Uδ(ε ) (x0 ) = ○U0 (x0 ) ∩ ○Uχ(σ(ε )) (x0 ) .
Это означает, что для любых x ∈ ○Uδ(ε ) (x0 ) , значения сложной функции f (g(x )) принадлежат окрестности Uε (y0 ) . То есть, для произвольно выбранной окрестности Uε (y0 ) точки y0 , мы нашли окрестность ○Uδ(ε ) (x0 ) = ○U0 (x0 ) ∩ ○Uχ(σ(ε )) (x0 ) точки x0 , так что
1) при x ∈ ○Uδ(ε ) (x0 ) определена сложная функция f (g(x )) ;
2) f (t ) ∈ Uε (y0 ) для всех x ∈ ○Uδ(ε ) (x0 ) .
То есть существует предел сложной функции, и он равен y0 :
limx → x0 f (g(x )) = y0 .
Теорема доказана.
Теорема о пределе функции от монотонной функции
Все теоремы Пусть функции t = g(x ) и y = f (t ) имеют пределы:limx → x0 g(x ) = t0 ;
limt → t0 f (t ) = y0 .
И пусть существует такая проколотая окрестность ○U0 (x0 ) точки x0 , на которой функция g(x ) строго монотонна. Причем монотонность слева и справа от x0 может иметь разные знаки.
Тогда существует предел сложной функции f (g(x )) , и он равен y0 :
limx → x0 f (g(x )) = y0 .
Здесь x0 , t0 , y0 – конечные или бесконечно удаленные точки: x0 , t0 , y0 ∈ R . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Эта теорема отличается от теоремы о пределе сложной функции ⇑ только тем, что вместо требования, чтобы существовала такая проколотая окрестность точки x0 , в которой g(x ) ≠ t0 , на g(x ) накладывается ограничение, чтобы она была строго монотонной на некоторой проколотой окрестности точки x0 . Поэтому нам только нужно доказать, что если g(x ) строго монотонна, то существует такая проколотая окрестность точки x0 , в которой g(x ) ≠ t0 .
Доказательство основывается на том факте, что если функция f строго монотонна на некотором интервале X , то она может принимать наперед заданное значение y0 = f (x0 ) не более чем в одной точке этого интервала. Действительно, допустим противное, что существуют две точки x01 и x02 , x01 ≠ x02 , в которых функция равна y0 :
f (x01 ) = y0 ; f (x02 ) = y0 .
Но тогда f (x01 ) = f (x02 ) , что противоречит определению строгой монотонности.
По условию теоремы, существует такая проколотая окрестность ○U0 (x0 ) точки x0 , на которой функция g(x ) строго монотонна. Разобьем эту окрестность на два открытых интервала:
○U0 (x0 ) = {x : a < x < x0 ∪ x0 < x < b } .
Рассмотрим левый интервал {x : a < x < x0 } . Согласно сказанному выше, на нем функция g(x ) может принимать значение t0 не более, чем в одной точке. Если функция не принимает значения t0 в этом интервале, то положим xa = a . Если она принимает значение t0 в некоторой точке x1 , то положим xa = x1 . Тогда в интервале {x : xa < x < x0 } функция не равна t0 :
g(x ) ≠ t0 при xa < x < x0 .
Аналогичным образом рассмотрим правый интервал {x : x0 < x < b } . На нем также g(x ) может принимать значение t0 не более, чем в одной точке. Если функция не принимает значения t0 в этом интервале, то положим xb = b . Если она принимает значение t0 в некоторой точке x2 , то положим xb = x2 . Тогда в интервале {x : x0 < x < xb } функция не равна t0 :
g(x ) ≠ t0 при x0 < x < xb } .
Таким образом мы нашли проколотую окрестность {x : xa < x < x0 ∪ x0 < x < xb } точки x0 , в которой g(x ) ≠ t0 . Тогда по теореме о пределе сложной функции ⇑, существует предел функции f (g(x )) , и он равен y0 :
limx → x0 f (g(x )) = y0 .
Теорема доказана.
В заключении заметим, что при соблюдении условий теоремы, строго монотонная функция g(x ) не может иметь значения t0 ни в одной точке проколотой окрестности ○U0 (x0 ) . Иначе ее предел при x → x0 не будет равняться t0 . Но этот факт нужно доказывать, используя определение предела. А так мы допустили заведомо невыполнимое предположение, что g(x ) равно t0 на проколотой окрестности точки x0 . В результате получили более короткое и изящное доказательство.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: