Теорема о пределе промежуточной функции

Теорема о пределе промежуточной функции

Пусть на некоторой проколотой окрестности ^○U(x₀ ) конечной, или бесконечно удаленной точки x₀ выполняются неравенства:
φ(x ) ≤  f (x ) ≤ ψ(x ) .
И пусть существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
lim_x → x0 φ(x ) = lim_x → x0 ψ(x ) = a .
Тогда существует предел функции  f (x ) :
lim_x → x0  f (x ) = a .

Доказательство

Пусть {x_n } есть произвольная последовательность, сходящаяся к x₀ : lim_{n → ∞} x_n  = x₀ . И пусть ее элементы принадлежат проколотой окрестности ^○U(x₀ ) точки x₀ , на которой выполняются неравенства
(1)   φ(x ) ≤  f (x ) ≤ ψ(x ) .

Рассмотрим последовательности { f (x_n )} , {φ(x_n )} и {ψ(x_n )} . По условию теоремы,
lim_x → x0 φ(x ) = lim_x → x0 ψ(x ) = a .
Тогда, согласно определению предела функции по Гейне, последовательности {φ(x_n )} и {ψ(x_n )} имеют пределы:
lim_{n → ∞} φ(x_n ) = a ,   lim_{n → ∞} ψ(x_n ) = a .
В силу (1), элементы последовательностей связаны неравенствами:
φ(x_n ) ≤  f (x_n ) ≤ ψ(x_n ) .
Тогда, согласно теореме о промежуточных последовательностях, существует предел последовательности { f (x_n )} :
lim_{n → ∞}  f (x_n ) = a .

Поскольку {x_n } есть произвольная последовательность, сходящаяся к x₀ , то, согласно определению предела функции по Гейне,
lim_{n → ∞}  f (x_n ) = a .

Теорема доказана.