Методы определения реакций опор твердого тела

Рассмотрены методы определения реакций опор твердого тела для статически определимых схем закреплений тел в опорах.

Как определить реакции опор твердого тела

Чтобы определить реакции опор твердого тела нужно выполнить следующие шаги.

• Вместо связей в опорах приложить силы реакций.
• Если есть распределенная нагрузка, то заменить ее равнодействующей силой. Ее величина равна площади эпюры нагрузки. Точка приложения находится в центре тяжести эпюры. Так для равномерно распределенной на отрезке нагрузки, ее равнодействующая приложена к середине этого отрезка.
• Выбрать систему координат. Ее начало желательно выбрать в точке крепления одной из опор.
• Составить уравнения равновесия.
  Векторная сумма всех действующих на тело сил (включая реакции опор) равна нулю:
  (1)   .
  Векторная сумма моментов этих сил относительно начала системы координат O равна нулю:
  (2)   .
• Составить проекции уравнений равновесия (1) и (2) на оси системы координат.
  Суммы проекций сил на оси координат равны нулю:
  (1.x)     ;
  (1.y)     ;
  (1.z)     .
  Суммы моментов сил относительно координатных осей равны нулю:
  (2.x)     ;
  (2.y)     ;
  (2.z)     .
• Для трехмерной задачи мы получим систему из шести уравнений, решая которую, определяем шесть неизвестных проекций реакций опор.
• Для плоской задачи, в которой все действующие силы направлены вдоль осей x и y, получаем три уравнения равновесия: (1.x), (1.y) и (2.z). Из них определяем три неизвестные проекции реакций опор.
• Для упрощения расчетов, иногда бывает полезно спроектировать уравнения равновесия (1) и (2) на другие оси, и составить дополнительные уравнения для моментов относительно других точек. См. Три формы уравнений равновесия твердого тела
• Если полученная система не имеет решения, то при такой схеме закрепления тела равновесие не возможно.
• Если число неизвестных превышает число линейно независимых уравнений, то задача имеет бесконечно много решений, она статически неопределима. Такую задачу можно решить только методами сопротивления материалов. Пример: плоское тело с четырьмя опорами.

Далее мы рассмотрим вопросы, связанные с определением реакций опор твердого тела более подробно и разберем пример решения задачи.

Методы определения реакций опор твердого тела

Рассмотрим некоторое твердое тело, на которое действуют заданные внешние силы. Пусть оно определенным образом закреплено в некоторых точках – опорах, и находится в состоянии равновесия. Эти точки закрепления также называются связями. Это могут быть шарниры, заделки, поверхности и т. п.

Отбросим опоры, и приложим вместо них силы. Они называются силами реакций опор. Их направления определяются устройствами соответствующих опор. В некоторых опорах реакции возникают в виде пары сил, которые задаются значением момента пары. Нам нужно найти такие значения сил реакций, чтобы при их действии на тело, оно покоилось, как это происходит в закрепленном состоянии.

Воспользуемся двумя законами, которые выполняются, если тело находится в покое.
1) Векторная сумма всех действующих на тело внешних сил равна нулю:
(M.1)   .
2) Векторная сумма моментов всех внешних сил относительно любой точки O равна нулю:
(M.2)   .
Эти законы называются уравнениями равновесия. В них также включены силы (пары сил) реакций опор.

Самый простой способ составления уравнений равновесия

Разберем самый простой способ составления уравнений равновесия. С его помощью можно гарантированно получить значения сил реакций опор или определить, что схема закрепления тела в опорах является статически неопределимой.

Выберем прямоугольную систему координат с началом в любой точке. Часто за начало системы координат удобно выбрать точку крепления одной из опор, но это не обязательно. Итак, пусть мы выбрали систему координат Oxyz с началом в точке O.

Спроектируем (M.1) на оси этой системы. В результате мы получим три уравнения, связывающие проекции сил на оси xyz:
(M.1.x)   ;
(M.1.y)   ;
(M.1.z)   .
Здесь – n сил, действующих на тело. В их состав также включены и силы реакций опор.

Составим уравнения равновесия (M.2) для моментов, относительно осей Ox, Oy, Oz системы координат:
(M.2.x)   ;
(M.2.y)   ;
(M.2.z)   .
Заметим, что эти уравнения являются проекциями векторного уравнения (M.2) на оси Ox, Oy и Oz.

Уравнения (M.1.x), (M.1.y), (M.1.z) и (M.2.x), (M.2.y), (M.2.z) представляют собой полную систему уравнений равновесия твердого тела. Если мы попытаемся добавить сюда еще одно уравнение, то оно будет являться линейной комбинацией уже существующих уравнений, и никак не повлияет на численные значения определяемых реакций опор. Например, мы можем выбрать еще одну ось, и спроектировать на нее уравнение (M.1) для сил. Или мы можем составить уравнение для моментов (M.2) относительно другой точки, отличной от начала координат. В результате получим дополнительные уравнения, но число линейно независимых уравнений от этого не изменится.

Таким образом, для одного тела, методами статики, мы можем составить максимум шесть независимых уравнений равновесия. В некоторых случаях их число может быть еще меньше.

Так, в случае плоской системы сил, у нас будет всего три независимых уравнения. Чтобы в этом убедиться, выберем систему координат, у которой оси Ox и Oy лежат в плоскости действия сил. Ось Oz перпендикулярна. Тогда проекции всех сил на ось Oz равны нулю. Поэтому уравнение (M.1.z) выполняется автоматически, и его можно вычеркнуть. В уравнениях (M.2.x) и (M.2.y) все силы или пересекают оси Ox и Oy, или параллельны им. Поэтому их моменты относительно этих осей равны нулю. Тогда и уравнения (M.2.x) и (M.2.y) выполняется автоматически. Их также можно вычеркнуть. Остаются три уравнения равновесия (M.1.x), (M.1.y) и (M.2.z).

Неизвестными в уравнениях равновесия являются проекции сил реакций опор на оси координат, или проекции пар сил. При решении этих уравнений могут возникнуть следующие случаи.

1. Число неизвестных совпадает с числом линейно независимых уравнений. Тогда задача статически определима, и мы можем получить значения неизвестных реакций, решив линейную систему уравнений.
2. Число неизвестных меньше числа линейно независимых уравнений и система не имеет решений – при такой схеме закрепления тела равновесие не возможно.
3. Число неизвестных превышает число независимых уравнений – система имеет бесконечное множество решений. Выбрать единственное решение, используя только методы статики, нельзя. Задача является статически неопределимой. Такие задачи решаются методами сопротивления материалов. Например, если балка имеет четыре опоры, то у нас минимум четыре неизвестные величины и три уравнения равновесия (для плоской системы сил). В этом случае, для определения реакций, необходимо учитывать возникающие в балке деформации и напряжения.

Эффективные способы составления уравнений равновесия

Уравнений (M.1) и (M.2) достаточно для определения опорных реакций, но иногда бывает удобным дополнить их другими уравнениями, из которых можно определить реакции более легким способом.

Один из способов заключается в соответствующем выборе начала системы координат. Так, если за ее начало взять точку крепления одной из опор тела, то сила реакции в этой опоре будет пересекать начало координат, и поэтому ее момент будет равен нулю (это не относится к паре сил). Тогда компоненты этих сил реакций не будут входить в уравнения для моментов (M.2.x), (M.2.y), (M.2.z).

Уравнения (М.1.x) – (М.1.z) представляют собой проекции векторного уравнения (М.1) на оси координат. Но это уравнение можно спроектировать на любую ось. Тогда в него не войдут силы, перпендикулярные выбранной оси. На рисунке слева изображено тело ADB. Реакция в скользящей заделке A состоит из силы R_A и пары сил с моментом M_A; в опоре на катках B – из силы R_B. Для определения только одной реакции R_B, мы можем спроектировать уравнение для сил на ось AD (см. рисунок). Поскольку реакция перпендикулярна этой оси, то ее проекция на AD равна нулю. Равномерно распределенная нагрузка q, и ее равнодействующая Q также перпендикулярна AD. В результате получим уравнение, содержащее только одну реакцию R_B:
;
;
.
Отсюда сразу определяем R_B:
.

Поскольку в равновесии сумма моментов сил равна нулю относительно любой точки, то можно выбрать дополнительную точку, и относительно нее составить уравнение для моментов:
.
Число линейно независимых уравнений при этом не изменится, но мы можем дополнить систему более простым уравнением. См. Три формы уравнений равновесия твердого тела.

Вернемся к нашему примеру ⇑. Пусть нам нужно определить только момент . Тогда можно выбрать точку O₂ на пересечении линий действия сил и . Поскольку эти силы пересекают O₂, то их моменты относительно этой точки равны нулю. Составим уравнение для моментов:
.
Спроектируем его на ось z, перпендикулярную плоскости рисунка:
;
;
.
Отсюда находим :
.

Для трехмерного распределения сил, уравнения (M.2.x), (M.2.y) и (M.2.z) являются проекциями векторного уравнения для моментов (M.2) на оси координат. Но это уравнение можно спроектировать на любую ось, не обязательно параллельной одной из осей системы координат, как мы делали для сил.

Далее приводится подробно разобранный пример решения задачи, в котором требуемая реакция определяется из одного уравнения за счет соответствующего выбора оси, относительно которой вычисляются суммы моментов сил.
Определение реакций опор твердого тела - решение задачи

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 30-10-2017   Изменено: 06-01-2022