Метод интегрирования неопределенного интеграла по частям
Формула интегрирования по частям
Формула интегрирования по частям имеет вид:
.
Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы. При практическом применении стоит отметить, что u и v являются функциями от переменной интегрирования. Пусть переменная интегрирования обозначена как x (символ после знака дифференциала d в конце записи интеграла) . Тогда u и v являются функциями от x: u(x) и v(x).
Тогда
, .
И формула интегрирования по частям принимает вид:
.
То есть подынтегральная функция должна состоять из произведения двух функций:
,
одну из которых обозначаем как u: g(x) = u, а у другой должен вычисляться интеграл (точнее находиться первообразная):
, тогда dv = f(x) dx.
В некоторых случаях f(x) = 1. То есть в интеграле
,
можно положить g(x) = u, x = v.
Резюме
Итак, в данном методе, формулу интегрирования по частям стоит запомнить и применять в двух видах:
;
.
Интегралы, вычисляющиеся интегрированием по частям
Интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические (гиперболические) функции
По частям часто интегрируются интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические или гиперболические функции. При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u, оставшуюся часть – через dv.
Вот примеры таких интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям:
, , , , , , .
Подробное решение этих интегралов >>>
Интегралы, содержащие произведение многочлена и sin x, cos x или ex
По формуле интегрирования частям находятся интегралы вида:
, , ,
где P(x) – многочлен от x. При интегрировании, многочлен P(x) обозначают через u, а eax dx, cos ax dx или sin ax dx – через dv.
Вот примеры таких интегралов:
, , .
Подробное решение этих интегралов >>>
Примеры вычисления интегралов методом интегрирования по частям
Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Пример
Вычислить интеграл:
Подробное решение
Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x,
dv = x2 dx.
Тогда
,
.
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений нужно обязательно добавить постоянную C, поскольку неопределенный интеграл – это множество всех первообразных. Также ее можно было добавлять и в промежуточных вычислениях, но это лишь загромождало бы выкладки.
Более короткое решение
Можно представить решение и в более коротком варианте. Для этого не нужно делать подстановки с u и v, а можно сгруппировать сомножители и применить формулу интегрирования по частям во втором виде.
.Ответ
Другие примеры
Примеры решений подобных интегралов >>>
Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex
Пример
Вычислить интеграл:
.
Решение
Введем экспоненту под знак дифференциала:
e – x dx = – e – x d(–x) = – d(e – x).
Интегрируем по частям.
.
Также применяем метод интегрирования по частям.
.
.
.
Окончательно имеем:
.
Ответ
.
Другие примеры
Примеры решений подобных интегралов >>>
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: