Производная функции, заданной параметрическим способом

Формула производной функции, заданной параметрическим способом. Доказательство и примеры применения этой формулы. Примеры вычисления производных первого, второго и третьего порядка.

Содержание

Формула производной

Пусть функция y = f (x) задана параметрическим способом:
(1)

{

y = y(t),

x = x(t),

где t некоторая переменная, называемая параметром. И пусть функции y = y(t) и x = x(t) имеют производные при некотором значении переменной t. Причем x^′(t) ≠ 0 и функция x = x(t) имеет обратную функцию в некоторой окрестности точки t. Тогда функция (1) имеет в точке x = x(t) производную dydx ≡ y^′_x, которая, в параметрическом виде, определяется по формулам:
(2)

{

y^′_x = y^′(t)x^′(t),

x = x(t).

Здесь y^′(t) и x^′(t) – производные функций y = y(t) и x = x(t) по переменной (параметру) t. Их часто записывают в следующем виде:
y^′(t) ≡ y^′_t ≡ dydt;
x^′(t) ≡ x^′_t ≡ dxdt.

Тогда систему (2) можно записать так:

{

dydx = dydt dxdt ,

x = x(t).

Доказательство

По условию, функция x = x(t) имеет обратную функцию. Обозначим ее как
t = t(x).
Тогда исходную функцию y = f (x) можно представить как сложную функцию:
y = y(t(x)).
Найдем ее производную, применяя правила дифференцирования сложной и обратной функций:
dydx = (y(t(x)))^′_x = (y(t))^′_t ⋅ (t(x))^′_x = y^′(t) ⋅ dtdx = y^′(t) ⋅ 1dxdt = y^′(t)x^′(t).

Правило доказано.

Доказательство вторым способом

Найдем производную dydx вторым способом, исходя из определения производной функции y = f (x) в точке x:
dydx = lim_{Δx → 0} f (x + Δx) – f (x)Δx.
Введем обозначение:
x₁ = x + Δx.
Тогда Δx = x₁ – x и предыдущая формула принимает вид:
dydx = lim_{x₁ → x} f (x₁) – f (x)x₁ – x.

Воспользуемся тем, что функция x = x(t) имеет обратную функцию t = t(x), в окрестности точки x.
Введем обозначения:
t = t(x); t₁ = t(x₁);
y = f (x) = y(t); y₁ = f (x₁) = y(t₁).
Разделим числитель и знаменатель дроби на t₁ – t:
y₁ – yx₁ – x = y₁ – yt₁ – tx₁ – xt₁ – t.
При x₁ → x, t₁ → t. Тогда
dydx = lim_{x₁ → x} y₁ – yx₁ – x = lim_{t₁ → t} y₁ – yt₁ – tlim_{t₁ → t} x₁ – xt₁ – t = y^′(t)x^′(t).

Правило доказано.

Производные высших порядков

Чтобы найти производные высших порядков, надо выполнять дифференцирование несколько раз. Допустим, нам надо найти производную второго порядка от функции, заданной параметрическим способом, следующего вида:
(1)

{

y = y(t),

x = x(t).

По формуле (2) находим первую производную, которая также определяется параметрическим способом:
(2)

{

y^′_x = y^′(t)x^′(t),

x = x(t).

Обозначим первую производную, y^′_x посредством переменной u:
u = u(t) = y^′(t)x^′(t).
Тогда, чтобы найти вторую производную от функции y по переменной x, нужно найти первую производную от функции u по переменной x. Зависимость переменной u от переменной x также задана параметрическим способом:
(3)

{

u = u(t),

x = x(t).

Сравнивая (3) с формулами (1) и (2), находим:

{

u^′_x = u^′(t)x^′(t),

x = x(t).

Теперь выразим результат через функции y(t) и x(t). Для этого подставим u(t) = y^′(t)x^′(t) и применим формулу производной дроби:
u^′(t) = ( y^′(t)x^′(t) )^′ = y^′′(t)x^′(t) – y^′(t)x^′′(t)(x^′(t))².
Тогда
u^′_x = u^′(t)x^′(t) = y^′′(t)x^′(t) – y^′(t)x^′′(t)(x^′(t))³.

Отсюда получаем вторую производную функции y по переменной x:

{

d² ydx² ≡ y^′′_xx = y^′′(t)x^′(t) – y^′(t)x^′′(t)(x^′(t))³,

x = x(t).

Она также задана в параметрическом виде. Заметим, что первую строку также можно записать следующим образом:
d² ydx² ≡ y^′′_xx = y^′′(t)x^′(t) – y^′(t)x^′′(t)(x^′(t))³ ≡ y^′′_ttx^′_t – y^′_tx^′′_tt(x^′_t)³.

Продолжая процесс, можно получить производные функции y от переменной x третьего и более высоких порядков.

Заметим, что можно не вводить обозначение u для производной y^′_x. Можно записать так:
( y^′_x )^′_t = ( y^′(t)x^′(t) )^′ = y^′′(t)x^′(t) – y^′(t)x^′′(t)(x^′(t))²;
y^′′_xx ≡ ( y^′_x )^′_x = ( y^′_x )^′_tx^′(t) = y^′′(t)x^′(t) – y^′(t)x^′′(t)(x^′(t))³.

Примеры

Все примеры

Здесь мы рассмотрим примеры вычисления производной функций, заданных параметрическим способом.
Ниже рассмотрены следующие примеры.

ρ = ( 45 ⁴√ α + 1 )α,

θ = ⁴√ α e^⁴√ α.

Найти производные второго и третьего порядков

{

y = cos³ t,

x = sin³ t.

Пример 1

Все примеры

Найдите производную y^′_x от функции, заданной параметрическим способом:

{

y = cos³ t,

x = sin³ t.

Решение

Находим производные x и y по t.
Из таблицы производных находим:
( sin t )^′ = cos t;
( cos t )^′ = –sin t.
Применяем формулу производной сложной функции:
y^′_t = ( cos³ t )^′ ≡ ( ( cos t )³ )^′ = ( v³ )^′_t = ( v³ )^′_v ⋅ v^′_t = 3v^3 – 1 ⋅ ( cos t )^′_t =
3v² ⋅ (–sin t) = –3 cos² t ⋅ sin t.
Здесь v = cos t.
x^′_t = ( sin³ t )^′ ≡ ( ( sin t )³ )^′ = ( w³ )^′_t = ( w³ )^′_w ⋅ w^′_t = 3w^3 – 1 ⋅ ( sin t )^′_t =
3w² ⋅ cos t = 3 sin² t ⋅ cos t.
Здесь w = sin t.

Искомая производная:
y^′_x ≡ dydx = dydtdxdt ≡ y^′_tx^′_t = –3 cos² t ⋅ sin t3 sin² t ⋅ cos t = – cos tsin t = –ctg t.

Ответ

{

dydx ≡ y^′_x = –ctg t,

x = sin³ t.

Пример 2

Все примеры

Найдите производную dρdθ от функции, выраженной через параметр α:

{

ρ = ( 45 ⁴√ α + 1 )α,

θ = ⁴√ α e^⁴√ α.

Решение

Раскроим скобки, применяя формулы для степенных функций и корней:
ρ = ( 45 ⁴√ α + 1 )α = ( 45 α^1 / 4 + 1 )α = 45 α^1 / 4 α¹ + α = 45 α^14 + 44 + α = 45 α^5 / 4 + α.

Находим производную dρdα:
dρdα = ( 45 α^5 / 4 + α )^′ = 45 ( α^5 / 4 )^′ + ( α¹ )^′ = 45 ⋅ 54 α^54 – 1 + 1 ⋅ α^1 – 1 =
α^1 / 4 + α⁰ = α^1 / 4 + 1.

Находим производную dθdα. Для этого введем переменную u = ⁴√ α = α^1 / 4 и применим формулу производной сложной функции.
dθdα = ( ⁴√ α e^⁴√ α )^′_α = ( u e^u )^′_α = ( u e^u )^′_u ⋅ u^′_α = ( (u)^′_u e^u + u ( e^u )^′_u ) ⋅ ( α^1 / 4 )^′_α =
( 1 ⋅e^u + u e^u ) ⋅ ( 14 α^14 – 1 ) = (1 + u) e^u ⋅ ( 14 α^–3 / 4 ) = 14 (1 + α^1 / 4)α^–3 / 4 e^⁴√ α.

Находим искомую производную:
dρdθ = dρdα dθdα = α^1 / 4 + 114 (1 + α^1 / 4)α^–3 / 4 e^⁴√ α = 4α^3 / 4 e^{– ⁴√ α}.

Ответ

{

dρdθ = 4α^3 / 4 e^{– ⁴√ α},

θ = ⁴√ α e^⁴√ α.

Пример 3

Все примеры

Найдите производные второго d² ydx² ≡ y^′′_xx и третьего d³ ydx³ ≡ y^′′′_xxx порядков от функции, заданной параметрическим способом в примере 1:

{

y = cos³ t,

x = sin³ t.

Решение

В примере 1 мы нашли производную первого порядка:

{

y^′_x = –ctg t,

x = sin³ t.

Введем обозначение u = y^′_x. Тогда функция u = g(x) является производной y по x. Она задана параметрическим способом:

{

u = –ctg t,

x = sin³ t.

Чтобы найти вторую производную y по x, нам надо найти первую производную u по x.

Дифференцируем u по t.
u^′_t = (–ctg t)^′ =– (ctg t)^′ = 1sin² t.
Производную x по t мы нашли в примере 1:
x^′_t = 3 sin² t ⋅ cos t.
Производная второго порядка y по x равна производной первого порядка u по x:
y^′′_xx = u^′_x = u^′_tx^′_t = 1sin² t ⋅ 3 sin² t ⋅ cos t = 13 sin⁴ t ⋅ cos t.

Итак, мы нашли производную второго порядка y по x в параметрическом виде:

{

y^′′_xx = 13 sin⁴ t ⋅ cos t,

x = sin³ t.

Теперь находим производную третьего порядка. Введем обозначение v = y^′′_xx. Тогда нам нужно найти производную первого порядка от функции v = s(x), которая задана параметрическим способом:

{

v = 13 sin⁴ t ⋅ cos t,

x = sin³ t.

Находим производную v по t. Для этого перепишем v в эквивалентном виде:
v = 13 sin⁴ t ⋅ cos t = 13 (sin t)^–4 (cos t)^–1.
Из таблицы производных находим:
( sin t )^′ = cos t;
( cos t )^′ = –sin t.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
( (sin t)^–4 )^′ = ( (w)^–4 )^′_t = ( w^–4 )^′_w ⋅ w^′_t = –4w^{–4 – 1} ⋅ (sin t)^′_t = –4(sin t)^–5 ⋅ cos t;
( (cos t)^–1 )^′ = ( (z)^–1 )^′_t = ( z^–1 )^′_z ⋅ z^′_t = –1 ⋅ w^{–1 – 1} ⋅ (cos t)^′_t =
– (cos t)^–2 ⋅ (–sin t) = (cos t)^–2 ⋅ sin t.
Выносим постоянную за знак производной и применяем формулу производной произведения:
v^′_t = 13 ( (sin t)^–4 (cos t)^–1 )^′ = 13 ( ( (sin t)^–4 )^′(cos t)^–1+ (sin t)^–4 ( (cos t)^–1 )^′ ) =
13 ( –4(sin t)^–5 ⋅ cos t ⋅ (cos t)^–1+ (sin t)^–4 ⋅ (cos t)^–2 ⋅ sin t ) =
13 ( –4 sin^–5 t + sin^–3 t ⋅ cos^–2 t ) = –4 cos² t + sin² t3 sin⁵ t ⋅ cos² t.

Производная третьего порядка y по x равна производной первого порядка v по x:
y^′′′_xxx = v^′_x = v^′_tx^′_t = –4 cos² t + sin² t3 sin⁵ t ⋅ cos² t ⋅ 3 sin² t ⋅ cos t = sin² t – 4 cos² t9 sin⁷ t ⋅ cos³ t.

Замечание

Можно не вводить переменные u и v, которые являются производными y^′_x ≡ dydx и y^′′_xx ≡ d² ydx², соответственно. Тогда можно записать так:
y = cos³ t;
x = sin³ t;
y^′_t = –3 cos² t ⋅ sin t;
x^′_t = 3 sin² t ⋅ cos t;
y^′_x = y^′_tx^′_t = –ctg t;
( y^′_x )^′_t =– (ctg t)^′ = 1sin² t;
d² ydx² ≡ y^′′_xx ≡ ( y^′_x )^′_x = ( y^′_x )^′_tx^′_t = 1sin² t ⋅ 3 sin² t ⋅ cos t = 13 sin⁴ t ⋅ cos t;
( y^′′_xx )^′_t = 13 ( (sin t)^–4 (cos t)^–1 )^′ = ... = –4 cos² t + sin² t3 sin⁵ t ⋅ cos² t;
d³ ydx³ ≡ y^′′′_xxx ≡ ( y^′′_xx )^′_x = ( y^′′_xx )^′_tx^′_t = sin² t – 4 cos² t9 sin⁷ t ⋅ cos³ t.

Ответ

В параметрическом представлении, производная второго порядка имеет следующий вид:

{

d² ydx² ≡ y^′′_xx = 13 sin⁴ t ⋅ cos t,

x = sin³ t.

Производная третьего порядка:

{

d³ ydx³ ≡ y^′′′_xxx = sin² t – 4 cos² t9 sin⁷ t ⋅ cos³ t,

x = sin³ t.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 22-01-2017