Методы решения физико-математических задач

Пределы монотонных функций

Теорема о пределе монотонной функции
Теорема о пределе монотонной функции. Приводится доказательство теоремы, используя два метода. Также даны определения строго возрастающей, неубывающей, строго убывающей и невозрастающей функций. Определение монотонной функции.

Определения

Определение возрастающей и убывающей функции
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве действительных чисел X.
Функция называется строго возрастающей, если для всех x′, x′′ X таких что x′ < x′′ выполняется неравенство:
f(x′) < f(x′′).
Функция называется строго убывающей, если для всех x′, x′′ X таких что x′ < x′′ выполняется неравенство:
f(x′) > f(x′′).
Функция называется неубывающей, если для всех x′, x′′ X таких что x′ < x′′ выполняется неравенство:
f(x′) ≤  f(x′′).
Функция называется невозрастающей, если для всех x′, x′′ X таких что x′ < x′′ выполняется неравенство:
f(x′) ≥  f(x′′).

Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.

Определение монотонной функции
Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Для исследования монотонности функции на некотором множестве X, нужно найти разность ее значений в двух произвольных точках , принадлежащих этому множеству. Если , то функция строго возрастает; если , то функция не убывает; если , то строго убывает; если , то не возрастает.

Если на некотором множестве функция положительна: , то для определения монотонности, можно исследовать частное от деления ее значений в двух произвольных точках этого множества. Если , то функция строго возрастает; если , то функция не убывает; если , то строго убывает; если , то не возрастает.

Теорема о пределе монотонной функции

Теорема
Пусть функция f(x) не убывает на интервале (a, b), где .
Если она ограничена сверху числом M: , то существует конечный левый предел в точке b: . Если f(x) не ограничена сверху, то .
Если f(x) ограничена снизу числом m: , то существует конечный правый предел в точке a: . Если f(x) не ограничена снизу, то .

Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.

Пусть функция f(x) не убывает на интервале (a, b), где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b:
;
.

Аналогичная теорема для невозрастающей функции.

Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.

Следствие
Пусть функция является монотонной на интервале . Тогда в любой точке из этого интервала, существуют односторонние конечные пределы функции :
  и .

Доказательство теоремы

Функция не убывает

b – конечное число
Функция ограничена сверху

1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.1. Пусть число b конечное: .
1.1.1. Пусть функция ограничена сверху числом M: при .
Докажем, что в этом случае существует предел .

Поскольку функция ограничена сверху, то существует конечная верхняя грань
.
Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:
;
для любого положительного существует такой аргумент , для которого
.

Поскольку функция не убывает, то при . Тогда
  при  .
Преобразуем последнее неравенство:
;
;
.
Поскольку , то . Тогда
при .

Обозначим . Тогда для любого существует , так что
при .
Это означает, что предел слева в точке b равен   (см. «Определения односторонних пределов функции в конечной точке»).

Функция не ограничена сверху

1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.1. Пусть число b конечное: .
1.1.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .

Поскольку функция не ограничена сверху, то для любого числа M существует такой аргумент , для которого
.

Поскольку функция не убывает, то при . Тогда   при  . Или
  при  .

Обозначим . Тогда для любого существует , так что
при .
Это означает, что предел слева в точке b равен   (см. «Определения односторонних бесконечных пределов функции в конечной точке»).

b рано плюс бесконечности
Функция ограничена сверху

1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2. Пусть число b равно плюс бесконечности: .
1.2.1. Пусть функция ограничена сверху числом M: при .
Докажем, что в этом случае существует предел .

Поскольку функция ограничена сверху, то существует конечная верхняя грань
.
Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:
;
для любого положительного существует такой аргумент , для которого
.

Поскольку функция не убывает, то при . Тогда   при  . Или
при .

Итак, мы нашли, что для любого существует число , так что
при .
Это означает, что предел при равен   (см. «Определения односторонних пределов на бесконечности»).

Функция не ограничена сверху

1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2. Пусть число b равно плюс бесконечности: .
1.2.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .

Поскольку функция не ограничена сверху, то для любого числа M существует такой аргумент , для которого
.

Поскольку функция не убывает, то при . Тогда   при  .

Итак, для любого существует число , так что
при .
Это означает, что предел при равен   (см. «Определения односторонних бесконечных пределов на бесконечности»).

Функция не возрастает

Теперь рассмотрим случай, когда функция не возрастает. Можно, как и выше, рассмотреть каждый вариант по отдельности. Но мы охватим их сразу. Для этого используем универсальное определение предела функции по Коши. Докажем, что в этом случае существует предел .

Рассмотрим конечную нижнюю грань множества значений функции:
.
Здесь B может быть как конечным числом, так и бесконечно удаленной точкой . Согласно определению точной нижней грани, выполняются следующие условия:
;
для любой окрестности точки B существует такой аргумент , для которого
.
По условию теоремы, . Поэтому .

Поскольку функция не возрастает, то при . Поскольку , то
  при  .
Или
  при  .
Далее замечаем, что неравенство определяет левую проколотую окрестность точки b.

Итак, мы нашли, что для любой окрестности точки , существует такая проколотая левая окрестность точки b, что
  при  .
Это означает, что предел слева в точке b равен :

(см. универсальное определение предела функции по Коши).

Предел в точке a

Теперь покажем, что существует предел в точке a и найдем его значение.

Рассмотрим функцию . По условию теоремы, функция является монотонной при . Заменим переменную x на – x (или сделаем подстановку , а затем заменим переменную t на x). Тогда функция является монотонной при . Умножая неравенства на –1 и меняя их порядок приходим к выводу, что функция является монотонной при .

Аналогичным способом легко показать, что если не убывает, то не возрастает. Тогда согласно доказанному выше, существует предел
.
Если не возрастает, то не убывает. В этом случае существует предел
.

Далее замечаем, что   и  .
Тогда если не убывает, то
.
Если не возрастает, то
.

Теперь осталось показать, что если существует предел функции при , то существует предел функции при , и эти пределы равны:
.

Введем обозначение:
(1)   .
Выразим f через g:
.
Возьмем произвольное положительное число . Пусть есть эпсилон окрестность точки A. Эпсилон окрестность определяется как для конечных, так и для бесконечных значений A (см. «Окрестность точки»). Поскольку существует предел (1), то, согласно определению предела, для любого существует такое , что
при .

Пусть a – конечное число. Выразим левую проколотую окрестность точки –a, используя неравенства:
  при  .
Заменим x на –x и учтем, что :
  при  .
Последние два неравенства определяют проколотую правую окрестность точки a. Тогда
  при  .

Пусть a – бесконечное число, . Повторяем рассуждения.
  при  ;
  при  ;
  при  ;
  при  .

Итак, мы нашли, что для любого существует такое , что
при .
Это означает, что
.

Теорема доказана.

.     Опубликовано: