Определение функции

Определение функции, области задания и множества значений. Определения, связанные с обозначением функции. Определения сложной, числовой, действительной, монотонной и многозначной функции. Определения максимума, минимума, верхней и нижней граней для ограниченных функций. Сужение и продолжение функций.

Определение функции

Функцией

y = f(x) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Область определения функции

Множество X называется областью определения функции. Область определения иногда называют
множеством определения или множеством задания функции.

Множество значений функции

Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы во множестве X , называется множеством значений функции, или областью значений.

Аргумент функции

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.

Значение функции

Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.

Характеристика функции

Само отображение  f  называется характеристикой функции.

Характеристика  f  обладает тем свойством, что если два элемента x₁ и x₂ из множества определения имеют равные значения: x₁  = x₂ , то  f (x₁ ) =  f (x₂ ) .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: y = y(x ) . При этом стоит помнить, что y – это элемент из множества значений функции, а y(x ) – это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y .

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X . Далее, с помощью правила  f (x ) , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y . На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y .

Частным значением функции

называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.

Графиком функции

f  называется множество пар {(x,  f (x )) : x ∈ X } .

Сложные функции

Сложная функция

Пусть заданы функции y =  f (x ) и x = g(t ) . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g . Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x , а этому x соответствует y . Такое соответствие называют сложной функцией:  y =  f (g(t )) . Сложную функцию также называют
композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так:  ( f  ○ g )(t ) =  f (g(t )) .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения  f (x ) и  f (t ) считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты p(x ) . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени x(t ) . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией p(x(t )) . Но ее, для краткости, обозначают так: p(t ) . При таком подходе p(x ) и p(t ) – это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например p(x(t )) = P(t ) . Тогда явно видно, что p(x ) и P(t ) – это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности – это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений – вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение ^→y = [^→x₁  × ^→x₂ ] тоже функция, поскольку для двух векторов ^→x₁ и ^→x₂ имеется только одно значение вектора ^→y . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов (^→x₁ , ^→x₂ ) . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение x > 0 является функцией. Ее область определения – это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов – “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция

– это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция

– это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Ограниченная сверху (снизу) функция

Действительная функция  f (x ) называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M , что для всех x ∈ X выполняется неравенство:
 f (x ) ≤ M  ( f (x ) ≥ M  ) .

Ограниченная функция

Числовая функция  f (x ) называется ограниченной, если существует такое число M , что для всех x ∈ X :
 |  f (x ) |  ≤ M .

Максимумом M (минимумом m) функции

f , на некотором множестве X , называют значение функции M =  f (x₀ ) (m =  f (x₀ )) при некотором значении ее аргумента x₀  ∈ X , при котором для всех x ∈ X ,
 f (x ) ≤  f (x₀ ) ( f (x ) ≥  f (x₀ )) .

Верхняя и нижняя грани

Верхняя грань (точная верхняя граница) функции

Верхней гранью или точной верхней границей sup  f действительной, ограниченной сверху функции  f (x ) называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого:
1)  f (x ) ≤ s для всех x ∈ X ;
2) для любого s^′ < s , найдется такой аргумент x₀  ∈ X , значение функции от которого превосходит s′ :  f (x₀ ) > s^′ .
Верхняя грань функции  f (x ) может обозначаться так:
sup  f ,  sup_X  f ,  sup_x ∈ X  f (x ) .
Верхней гранью неограниченной сверху функции  f (x ) является бесконечно удаленная точка + ∞ .

Нижняя грань (точная нижняя граница) функции

Нижней гранью или точной нижней границей inf  f действительной, ограниченной снизу функции  f (x ) называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого:
1)  f (x ) ≥ i для всех x ∈ X ;
2) для любого i^′ > i , найдется такой аргумент x₀  ∈ X , значение функции от которого меньше чем i′ :  f (x₀ ) < i^′ .
Нижняя грань функции  f (x ) может обозначаться так:
inf  f ,  inf_X  f ,  inf_x ∈ X  f (x ) .
Нижней гранью неограниченной снизу функции  f (x ) является бесконечно удаленная точка – ∞ .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X , имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию  f (x ) = x , заданную на открытом интервале X = {x : 0 < x < 1 } .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу – значением 0 :
0 ≤  f (x ) ≤ 1 для всех x ∈ X .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
sup_x ∈ X  f (x ) = 1,  inf_x ∈ X  f (x ) = 0 .
Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке X^′ = {x : 0 ≤ x ≤ 1 } , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
0 ≤  f (x ) ≤ 1 для всех x ∈ X^′ ;
sup_{x ∈ X^′}  f (x ) = 1,  inf_{x ∈ X^′}  f (x ) = 0 ;
max_{x ∈ X^′}  f (x ) =  f (1 ) = 1,  min_{x ∈ X^′}  f (x ) =  f (0 ) = 0 .

Монотонные функции

Возрастающая (убывающая) функция

Пусть функция  f (x ) определена на некотором множестве действительных чисел X . Функция называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех x′, x′′ ∈ X таких что x′ < x′′ выполняется неравенство:
 f (x′ ) <  f (x′′ ) ( f (x′ ) >  f (x′′ )) .
Функция называется неубывающей (невозрастающей), если для всех x′, x′′ ∈ X таких что x′ < x′′ выполняется неравенство:
 f (x′ ) ≤  f (x′′ ) ( f (x′ ) ≥  f (x′′ )) .

Монотонная функция

Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус: y = arcsin x . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1)   x = sin y .
При заданном значении независимой переменной x , принадлежащему интервалу – 1 ≤ x ≤ 1 , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2)   – π2 ≤ y ≤ π2 .
При таком условии, заданному значению x ∈ [– 1,  + 1 ] , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n)   – π2 + nπ ≤ y ≤ π2 + nπ ,
где n – целое. В результате, для каждого значения n , мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией. А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функции.

Многозначная функция

– это совокупность функций, определенных на некотором множестве.

Ветвь многозначной функции

– это одна из функций, входящих в многозначную функцию.

Однозначная функция

– это функция.

Сужение и продолжение функции

Выше мы указали, что если область определения функции синус, y = sin x , сузить до отрезка – π2 ≤ x ≤ π2 , то полученная в результате новая функция будет строго монотонной на этом отрезке и иметь обратную функцию. Такая операция называется сужением функции. В результате ее применения получается новая функция, которая в данном примере обозначается так: y = sin  | _{– π2 ≤ x ≤ π2} (x ) .

Сужение функции

Пусть функция  f (x ) определена на множестве X . И пусть множество M является его подмножеством: M ⊂ X . Определим функцию g(x ) так, чтобы ее областью определения было множество M . И пусть на этом множестве она принимает те же значения, что и функция  f (x ) :
g(x ) =  f (x ),  x ∈ M .
Тогда функция g(x ) называется сужением функции f на множество M. Сужение функции обозначают так:
 f  | _M ,   или    f  | M .

Продолжение функции

Пусть функция  f (x ) определена на множестве X , а функция g(x ) – на множестве M , которое является подмножеством X : M ⊂ X . И пусть функция g(x ) является сужением функции  f (x ) на множество M . Тогда функция  f (x ) называется продолжением функции g на множество X.

Выполнить операцию сужения функции на заданное множество можно только одним способом. А вот выполнить продолжение можно бесконечным числом способов. Особую роль продолжение играет в теории функций комплексного переменного. Там показывается, что если функция g(x ) является аналитической (то есть имеет производную) на некотором множестве M , то существует только единственное ее аналитическое продолжение на множество X .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 10-04-2018   Изменено: 13-05-2021