Критерий Коши существования предела функции

Теорема. Критерий Коши существования предела функции

Пусть функция f(x) определена на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x₀ .
Для того, чтобы она имела в этой точке конечный предел,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:
∀ε > 0  ∃δ_ε  > 0   ∀x^′, x^′′ ∈ ^○U(x₀ , δ_ε ) :  |  f (x^′ ) –  f (x^′′ ) |  < ε .

Доказательство необходимости

Пусть функция  f (x ) имеет в точке x₀ конечный предел
a = lim_x → x0  f (x ) .
Согласно определению предела функции по Коши это означает, что имеется такая функция δ₁ (ε₁ ) > 0 , так что для любого числа ε₁  > 0 выполняется неравенство
 |  f (x ) – a |  < ε₁ при x ∈ ^○U(x₀ , δ₁ (ε₁ )) .

Тогда при выбранном числе ε₁  > 0 и при x^′, x^′′ ∈ ^○U(x₀ , δ₁ (ε₁ )) имеем:
 |  f (x^′ ) –  f (x^′′ ) |  =  |  f (x^′ ) – a – ( f (x^′′ ) – a ) |  ≤
  |  f (x^′ ) – a |  +  |  f (x^′′ ) – a |  < ε₁  + ε₁  = 2ε₁ .
Положим ε = 2ε₁ . Тогда
 |  f (x^′ ) –  f (x^′′ ) |  < ε при x^′, x^′′ ∈ ^○U(x₀ , δ₁ (ε / 2 )) .

То есть мы нашли такую функцию δ(ε ) = δ₁ (ε / 2 ) , так что для любого числа ε > 0 выполняется неравенство
 |  f (x^′ ) –  f (x^′′ ) |  < ε при x^′, x^′′ ∈ ^○U(x₀ , δ(ε )) .
Это означает, что выполняется условие Коши.

Доказательство достаточности

Пусть в точке x₀ выполняется условие Коши. То есть существует такая функция δ(ε ) , так что для любого числа ε > 0 выполняется неравенство
(1)    |  f (x^′ ) –  f (x^′′ ) |  < ε при x^′, x^′′ ∈ ^○U(x₀ , δ(ε )) .
Докажем, что функция  f (x ) имеет в точке x₀ конечный предел
a = lim_x → x0  f (x ) .
Для доказательства мы применим определение предела функции по Гейне и Критерий Коши сходимости последовательности.

Пусть {x_n } есть произвольная последовательность, элементы которой принадлежат проколотой окрестности ^○U(x₀ ) , на которой определена функция  f (x ) . И пусть эта последовательность сходится к x₀ :
lim_{n → ∞} x_n  = x₀ .
Рассмотрим последовательность { f (x_n )} . Сначала мы докажем, что она сходится. Затем докажем, что любые такие последовательности сходятся к одному числу.

Доказательство сходимости последовательности

Подставим в (1) x^′ = x_n  и  x^′′ = x_m :
(2)    |  f (x_n ) –  f (x_m ) |  < ε  при  x_n , x_m  ∈ ^○U(x₀ , δ(ε )) .
Воспользуемся универсальным определением предела последовательности. Поскольку lim_{n → ∞} x_n  = x₀ , то для любой окрестности точки x₀ существует такое натуральное число N_x , что все элементы последовательности {x_n } с номерами n > N_x принадлежат этой окрестности. Применим это определение к окрестности ^○U(x₀ , δ(ε )) . Тогда для любого числа δ(ε ) существует такое число N_x (δ(ε )) , так что
x_n  ∈ ^○U(x₀ , δ(ε )) при n > N_x (δ(ε )) .

Введем обозначение:
N(ε ) = N_x (δ(ε )) .
Тогда условие (2) примет вид:
 |  f (x_n ) –  f (x_m ) |  < ε  при  n, m > N(ε ) .
Но это есть условие Коши для последовательности { f (x_n )} . Поэтому она сходится.

Доказательство единственности предела

Допустим противное. Пусть существуют две последовательности {x^′_n } и {x^′′_n } , элементы которых принадлежат области определения функции  f (x ) и сходящиеся к x₀ , но последовательности { f (x^′_n )} и { f (x^′′_n )} сходятся к разным пределам:
lim_{n → ∞}  f (x^′_n ) = a,  lim_{n → ∞}  f (x^′′_n ) = b,  a ≠ b .

Составим новую последовательность {x_n } из последовательностей {x^′_n } и {x^′′_n } , чередованием их членов:
{x_n } = {x^′₁,  x^′′₁,  x^′₂,  x^′′₂,  x^′₃,  x^′′₃, ... } .
Последовательность {x_n } сходится к x₀ . Но последовательность { f (x_n )} = { f (x^′₁ ),   f (x^′′₁ ),   f (x^′₂ ),   f (x^′′₂ ),   f (x^′₃ ),   f (x^′′₃ ), ... } не имеет предела, поскольку содержит две подпоследовательности { f (x^′_n )} и { f (x^′′_n )} , сходящиеся к различным числам (см. свойства подпоследовательностей).

Возникает противоречие, поскольку, как мы только что доказали, любая последовательность { f (x_n )} должна иметь предел, если lim_{n → ∞} x_n  = x₀ и x_n  ∈ ^○U(x₀ ) .

Теорема доказана.