Методы решения физико-математических задач

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
Определения и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций в точке. Связь между ними. Доказательства свойств и теорем. Арифметические свойства пределов с бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
Содержание
См. также:

Определение бесконечно малой и бесконечно большой функции

Бесконечно малая функция
Функция α(x) называется бесконечно малой при x стремящемся к x0, если она имеет равный нулю предел при x → x0:
.
Здесь x0 есть конечная или бесконечно удаленная точка: , –∞ или +∞.
Бесконечно большая функция
Функция f(x) называется бесконечно большой при x стремящемся к x0, если она имеет равный бесконечности предел при x → x0:
.
Здесь x0 есть конечная или бесконечно удаленная точка: , –∞ или +∞.

См. также Определение предела функции в точке

Свойства бесконечно малых функций

Свойство суммы, разности и произведения бесконечно малых функций

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x0 является бесконечно малой функцией при x → x0.

Это свойство является прямым следствием арифметических свойств пределов функции.

Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x0, на бесконечно малую, при x → x0, является бесконечно малой функцией при x → x0.
Доказательство ⇓

Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Для того, чтобы функция f(x) имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где – бесконечно малая функция при x → x0.
Доказательство ⇓

Свойства бесконечно больших функций

Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x0, и бесконечно большой функции, при x → x0, является бесконечно большой функцией при x → x0.
Доказательство ⇓

Теорема о произведении ограниченной снизу функции на бесконечно большую

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно большой при x → x0:
,
то их произведение является бесконечно большой функцией при :
.
Доказательство ⇓

Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Если функция f(x) является бесконечно большой при x → x0, а функция g(x) – ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x0, то
.
Доказательство ⇓

Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно малой при x → x0:
,
и существует проколотая окрестность точки , на которой  , то
.
Доказательство ⇓

Свойство неравенств бесконечно больших функций

Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и , на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.
Доказательство ⇓

Это свойство имеет два частных случая.

Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки , функции и удовлетворяют неравенству:
.
Тогда если , то и .
Если , то и .

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,   .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то можно записать так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
,  или  .

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,   ,
,   .

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства».

Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций

Приведенные выше свойства выполняются, если функция ограничена, а функция ограничена снизу по абсолютной величине положительным числом. При этом эти функции не обязательно должны иметь конечный предел, а могут расходиться. Однако, эти функции будут обладать указанными свойствами, если они имеют соответствующие пределы. Это позволяет сформулировать арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Пусть существуют пределы функций
  и   .
И пусть, при , функция является бесконечно малой:
,   а функция – бесконечно большой:
.
Тогда существует пределы суммы и разности:
(A.1)   ;
существуют пределы произведений:
(A.2)   ;
существуют пределы частного:
(A.3)   .

Действительно, если функция имеет конечный предел при , то существует проколотая окрестность , на которой она ограничена (см. «Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел»).
Если функция имеет не равный нулю предел , то существует проколотая окрестность , на которой она ограничена снизу по абсолютной величине числом :
  при   .
(см. «Теорема об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел»).
Тогда, на основе изложенных выше теорем, существуют пределы (А.1 – А.3).

Свойство доказано.

Доказательство свойств и теорем

Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Все свойства ⇑ Произведение функции , ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x0:
при ,
на бесконечно малую , при x → x0:
,
является бесконечно малой функцией при x → x0:
.

Доказательство

Для доказательства этой теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. А также используем свойство бесконечно малых последовательностей, согласно которому произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно малой при :
.
И пусть функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой определена функция . Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно малой:
.

Воспользуемся тем, что произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность:
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Все свойства ⇑ Для того, чтобы функция f(x) имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где – бесконечно малая функция при x → x0.

Доказательство

Необходимость. Пусть функция имеет в точке конечный предел
.
Рассмотрим функцию:
.
Используя свойство предела разности функций, имеем:
.
То есть есть бесконечно малая функция при .

Достаточность. Пусть   и  . Применим свойство предела суммы функций:
.

Свойство доказано.

Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Все свойства ⇑ Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x0, и бесконечно большой функции, при x → x0, является бесконечно большой функцией при x → x0.

Доказательство

Для доказательства теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно большой при :
.
И пусть функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно большой:
.

Поскольку сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой является бесконечно большой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Теорема о произведении ограниченной снизу функции на бесконечно большую

Все свойства ⇑ Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно большой при x → x0:
,
то их произведение является бесконечно большой функцией при :
.

Доказательство

Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно большой при :
.
И пусть функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку существует предел функции при , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена.
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и . Причем .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной снизу:
,
а последовательность является бесконечно большой:
.

Поскольку произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью, то
.
Согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Все свойства ⇑ Если функция f(x) является бесконечно большой при x → x0, а функция g(x) – ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x0, то
.

Доказательство

Для доказательства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно большой при , а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку функция бесконечно большая, то существует проколотая окрестность точки , на которой она определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно большой с отличными от нуля членами:
,   .

Поскольку частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Все свойства ⇑ Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно малой при x → x0:
,
и существует проколотая окрестность точки , на которой  , то
.

Доказательство

Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно малой при , а функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки :
при .

По условию существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и . Причем   и  .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной снизу:
,
а последовательность является бесконечно малой с отличными от нуля членами:
,   .

Поскольку частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью, то
.
Согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Свойство неравенств бесконечно больших функций

Все свойства ⇑ Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и , на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.

Доказательство

Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также воспользуемся свойством неравенств бесконечно больших последовательностей.

Пусть функция является бесконечно большой при :
.
И пусть имеется проколотая окрестность точки , на которой
при .

Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к . Тогда, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности будут принадлежать этой окрестности:
при .
Тогда
при .

Согласно определению предела функции по Гейне,
.
Тогда по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
.
Поскольку последовательность произвольная, сходящаяся к , то по определению предела функции по Гейне,
.

Свойство доказано.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

.     Опубликовано:   Изменено:

Меню