Методы решения физико-математических задач

Арифметические свойства предела функции

Арифметические свойства пределов функции
Приводятся доказательства арифметических свойств пределов функций: предел от суммы, разности, произведения и частного двух функций. Произведено обобщение на конечное число функций. Рассмотрен пример применения арифметических свойств.

Формулировки свойств

Пусть функции и определены на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки . И пусть существуют конечные пределы:
  и  .
Тогда существует предел суммы (или разности) двух функций, и он равен сумме (или разности) их пределов:
;   доказательство ⇓
существует предел произведения функций и он равен произведению их пределов:
;   доказательство ⇓
если b ≠ 0, то существует предел частного функций и он равен частному их пределов:
.   доказательство ⇓
В частности, если C – постоянная, то есть заданное число, то постоянную можно выносить за знак предела:
;   доказательство ⇓

Предел абсолютного значения функции равен абсолютному значению ее предела:
если , то .   Доказательство ⇓

Мы привели арифметические свойства пределов для двух функций. Методом математической индукции легко показать, что они выполняются и для конечного числа функций.
Так, если n функций имеют конечные пределы в точке , то предел их суммы или разности равен сумме или разности их пределов; предел произведения равен произведению пределов.

В частности, если существует конечный предел , то предел от функции , возведенной в натуральную степень n, равен пределу этой функции в степени n:
.
Такое равенство справедливо не только для натуральных показателей степени n, но здесь мы рассматриваем только следствия арифметических свойств.

Доказательство арифметических свойств

Теорема о пределе суммы (или разности) двух функций

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций:
  и  .
Тогда существует предел суммы (или разности) двух функций, и он равен сумме (или разности) их пределов:
.

Доказательство

Поскольку существуют пределы   и  , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функции и определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности . Тогда определены последовательности и . Поскольку и , то эти последовательности имеют пределы и .

Рассмотрим функцию , которая является суммой (или разностью) функций и . Используя свойство предела суммы и разности числовых последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к и элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.

Теорема о пределе произведения двух функций

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций:
  и  .
Тогда существует предел произведения функций и он равен произведению их пределов:
.

Доказательство

Поскольку существуют пределы   и  , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функции и определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности . Тогда определены последовательности и . Поскольку и , то эти последовательности имеют пределы и .

Рассмотрим функцию . Используя свойство предела произведения числовых последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.

Теорема о пределе частного двух функций

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций:
  и  .
Тогда, если b ≠ 0, то существует предел частного функций и он равен частному их пределов:
.

Доказательство

Поскольку существуют пределы   и  , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функции и определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности, на которой определены функции и . Тогда определены последовательности   и  . Поскольку и , то эти последовательности имеют пределы и .

Рассмотрим функцию . По условию, . Воспользуемся теоремой об ограниченности снизу функции, имеющей конечный ненулевой предел. Согласно этой теореме, существует такая проколотая окрестность точки , на которой . Отсюда следует, что существует такая проколотая окрестность этой точки, на которой .
Пусть есть проколотая окрестность точки , на которой определены функции и , и на которой . Используя свойство предела частного числовых последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.

Теорема о вынесении постоянной за знак предела

Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел функции:
.
И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда постоянную можно выносить за знак предела:
.

Доказательство

Введем постоянную функцию , значения которой для всех x равны некоторому числу C. Согласно свойству о пределе постоянной функции,
.
Используя доказанное только что свойство предела произведения двух функций, имеем:
.

Теорема о пределе абсолютного значения функции

Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел функции:
.
Тогда существует предел абсолютного значения функции, равный абсолютному значению ее предела:
.

Доказательство

Поскольку существует предел , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть    есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке  , элементы которой принадлежат проколотой окрестности . Тогда определена последовательность . Поскольку , то эта последовательность имеет предел .

Используя свойство предела последовательности, состоящей из элементов, взятых по модулю, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
.

Пример

Найти предел функции
.

Решение

Воспользуемся тем, что .
Последовательно применяем арифметические свойства пределов функции.
;
;
;


;
.

Ответ

.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано:   Изменено: