Арифметические свойства предела функции
Теорема. Арифметические свойства конечных пределов функций
Пусть функции f (x ) и g(x ) определены на некоторой проколотой окрестности ○U(x0 ) конечной или бесконечно удаленной точки x0 .И пусть существуют конечные пределы:
limx → x0 f (x ) = a и limx → x0 g(x ) = b .
Тогда существует предел суммы (или разности) двух функций, и он равен сумме (или разности) их пределов:
limx → x0 ( f (x ) ± g(x )) = ( limx → x0 f (x ) ) ± ( limx → x0 g(x ) ) = a ± b . Доказательство
Существует предел произведения функций и он равен произведению их пределов:
limx → x0 ( f (x ) ⋅ g(x )) = ( limx → x0 f (x ) ) ⋅ ( limx → x0 g(x ) ) = a ⋅ b . Доказательство
Если b ≠ 0 ,
то существует предел частного функций и он равен частному их пределов:
limx → x0 f (x )g(x ) = limx → x0 f (x )limx → x0 g(x ) = ab . Доказательство
В частности, если C – постоянная, то есть заданное число, то
постоянную можно выносить за знак предела:
limx → x0 ( C ⋅ f (x ) ) = C ⋅ limx → x0 f (x ) = C ⋅ a . Доказательство
Предел абсолютного значения функции равен абсолютному значению ее предела:
limx → x0 | f (x ) | = | limx → x0 f (x ) | = | a | . Доказательство
Заметим, что в обратную сторону эта теорема не работает, кроме случая с постоянной C ≠ 0 . Пусть функция h(x ) не имеет предела при x → x0 . Рассмотрим функции
f 1 (x ) = f (x ) + h(x ) и g1 (x ) = g(x ) – h(x ) .
Хотя существует предел суммы
limx → x0 ( f 1 (x ) + g1 (x )) = limx → x0 ( f (x ) + g(x )) = a + b ,
но
limx → x0 ( f 1 (x ) + g1 (x )) ≠ ( limx → x0 f 1 (x ) ) + ( limx → x0 g1 (x ) ) ,
поскольку функции f 1 (x ) и g1 (x ) пределов не имеют.
Мы привели арифметические свойства пределов для двух функций. Методом математической индукции легко показать, что они выполняются и для конечного числа функций.
Так, если n функций f i (x ), i = 1, 2, ..., n имеют конечные пределы в точке x0 , то предел их суммы или разности равен сумме или разности их пределов; предел произведения равен произведению пределов.
В частности, если существует конечный предел limx → x0 f (x ) , то предел от функции f (x ) , возведенной в натуральную степень n , равен пределу этой функции в степени n :
limx → x0 [ f (x )] n = [ limx → x0 f (x ) ] n .
Такое равенство справедливо не только для натуральных показателей степени n , но здесь мы рассматриваем только следствия арифметических свойств.
Подобные свойства имеются и когда предел одной из функций равен бесконечности или нулю. Ниже мы приводим эти свойства. Более подробно они рассмотрены на странице Бесконечно малые и бесконечно большие функции
limx → x0 g(x ) = a ≠ ∞ и limx → x0 y(x ) = b ≠ 0 .
И пусть, при x → x0 , функция α(x ) является бесконечно малой:
limx → x0 α(x ) = 0 , а функция f (x ) – бесконечно большой:
limx → x0 f (x ) = ∞ .
Тогда существует пределы суммы и разности:
limx → x0 (g(x ) ± f (x )) = ∞ ;
существуют пределы произведений:
limx → x0 (g(x ) ⋅ α(x )) = 0; limx → x0 (y(x ) ⋅ f (x )) = ∞ ;
существуют пределы частного:
limx → x0 g(x ) f (x ) = 0; limx → x0 y(x )α(x ) = ∞ ,
если α(x) ≠ 0 на некоторой окрестности точки x0 ,
Доказательство
Эти свойства выполняются и в случае, если функции g(x ) и y(x ) не имеют пределов при x → x0 . При этом должна существовать проколотая окрестность точки x0 , на которой функция g(x ) ограничена: | g(x ) | ≤ M , а функция y(x ) ограничена снизу по абсолютной величине положительным числом: | y(x ) | ≥ M > 0 .
Символически свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций можно записать так:
∞ ± a = ∞ ;
a ⋅ 0 = 0; b ⋅ ∞ = ∞ ;
a∞ = 0; b0 = ∞ ,
где a ≠ ∞; b ≠ 0 .
Доказательство арифметических свойств
Теорема о пределе суммы (или разности) двух функций
Все свойства Пусть существуют конечные пределы функций:limx → x0 f (x ) = a и limx → x0 g(x ) = b .
Тогда существует предел суммы (или разности) двух функций, и он равен сумме (или разности) их пределов:
limx → x0 ( f (x ) ± g(x )) = ( limx → x0 f (x ) ) ± ( limx → x0 g(x ) ) = a ± b .
Поскольку существуют пределы limx → x0 f (x ) = a и limx → x0 g(x ) = b , то существует такая проколотая окрестность ○U(x0 ) точки x0 , на которой функции f (x ) и g(x ) определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть {xn } есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке x0 , элементы которой принадлежат проколотой окрестности ○U(x0 ) . Тогда определены последовательности { f (xn )} и {g(xn )} . Поскольку limx → x0 f (x ) = a и limx → x0 g(x ) = b , то эти последовательности имеют пределы limn → ∞ f (xn ) = a и limn → ∞ g(xn ) = b .
Рассмотрим функцию s(x ) = f (x ) ± g(x ) , которая является суммой (или разностью) функций f (x ) и g(x ) . Используя свойство предела суммы и разности числовых последовательностей, имеем:
limn → ∞ s(xn ) = limn → ∞ ( f (xn ) ± g(xn )) = limn → ∞ f (xn ) ± limn → ∞ g(xn ) = a ± b .
Поскольку {xn } есть произвольная последовательность, сходящаяся к x0 и элементы которой принадлежат проколотой окрестности ○U(x0 ) , то, согласно определению предела функции по Гейне,
limx → x0 s(x ) = a ± b , или
limx → x0 ( f (x ) ± g(x )) = a ± b .
Теорема о пределе произведения двух функций
Все свойства Пусть существуют конечные пределы функций:limx → x0 f (x ) = a и limx → x0 g(x ) = b .
Тогда существует предел произведения функций и он равен произведению их пределов:
limx → x0 ( f (x ) ⋅ g(x )) = ( limx → x0 f (x ) ) ⋅ ( limx → x0 g(x ) ) = a ⋅ b .
Поскольку существуют пределы limx → x0 f (x ) = a и limx → x0 g(x ) = b , то существует такая проколотая окрестность ○U(x0 ) точки x0 , на которой функции f (x ) и g(x ) определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть {xn } есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке x0 , элементы которой принадлежат проколотой окрестности ○U(x0 ) . Тогда определены последовательности { f (xn )} и {g(xn )} . Поскольку limx → x0 f (x ) = a и limx → x0 g(x ) = b , то эти последовательности имеют пределы limn → ∞ f (xn ) = a и limn → ∞ g(xn ) = b .
Рассмотрим функцию p(x ) = f (x ) ⋅ g(x ) . Используя свойство предела произведения числовых последовательностей, имеем:
limn → ∞ p(xn ) = limn → ∞ ( f (xn ) ⋅ g(xn )) = limn → ∞ f (xn ) ⋅ limn → ∞ g(xn ) = a ⋅ b .
Поскольку {xn } есть произвольная последовательность, сходящаяся к x0 , элементы которой принадлежат проколотой окрестности ○U(x0 ) , то, согласно определению предела функции по Гейне,
limx → x0 p(x ) = a ⋅ b , или
limx → x0 ( f (x ) ⋅ g(x )) = a ⋅ b .
Теорема о пределе частного двух функций
Все свойства Пусть существуют конечные пределы функций:limx → x0 f (x ) = a и limx → x0 g(x ) = b .
Тогда, если b ≠ 0 , то существует предел частного функций и он равен частному их пределов:
limx → x0 f (x )g(x ) = limx → x0 f (x )limx → x0 g(x ) = ab .
Поскольку существуют пределы limx → x0 f (x ) = a и limx → x0 g(x ) = b , то существует такая проколотая окрестность точки x0 , на которой функции f (x ) и g(x ) определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть {xn } есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке x0 , элементы которой принадлежат проколотой окрестности, на которой определены функции f (x ) и g(x ) . Тогда определены последовательности { f (xn )} и {g(xn )} . Поскольку limx → x0 f (x ) = a и limx → x0 g(x ) = b , то эти последовательности имеют пределы limn → ∞ f (xn ) = a и limn → ∞ g(xn ) = b .
Рассмотрим функцию q(x ) = f (x )g(x ) . По условию, limx → x0 g(x ) = b ≠ 0 . Воспользуемся теоремой об ограниченности снизу функции, имеющей конечный ненулевой предел. Согласно этой теореме, существует такая проколотая окрестность точки x0 , на которой | g(x ) | > | b | / 2 . Отсюда следует, что существует такая проколотая окрестность этой точки, на которой g(x ) ≠ 0 .
Пусть ○U(x0 ) есть проколотая окрестность точки x0 , на которой определены функции f (x ) и g(x ) , и на которой g(x ) ≠ 0 . Используя свойство предела частного числовых последовательностей, имеем:
limn → ∞ q(xn ) = limn → ∞ f (xn )g(xn ) = limn → ∞ f (xn )limn → ∞ g(xn ) = ab .
Поскольку {xn } есть произвольная последовательность, сходящаяся к x0 , элементы которой принадлежат проколотой окрестности ○U(x0 ) , то, согласно определению предела функции по Гейне,
limx → x0 q(x ) = a / b , или
limx → x0 f (x )g(x ) = ab .
Теорема о вынесении постоянной за знак предела
Все свойства Пусть существует конечный предел функции:limx → x0 f (x ) = a .
И пусть C – постоянная, то есть заданное число.
Тогда постоянную можно выносить за знак предела:
limx → x0 ( C ⋅ f (x ) ) = C ⋅ limx → x0 f (x ) = C ⋅ a .
Введем постоянную функцию g(x ) = C , значения которой для всех x равны некоторому числу C . Согласно теореме о пределе постоянной функции,
limx → x0 g(x ) = C .
Используя доказанное только что свойство предела произведения двух функций, имеем:
limx → x0 (C ⋅ f (x )) = limx → x0 (g(x ) ⋅ f (x )) = limx → x0 g(x ) ⋅ limx → x0 f (x ) = C ⋅ limx → x0 f (x ) .
Теорема о пределе абсолютного значения функции
Все свойства Пусть существует конечный предел функции:limx → x0 f (x ) = a .
Тогда существует предел абсолютного значения функции, равный абсолютному значению ее предела:
limx → x0 | f (x ) | = | limx → x0 f (x ) | = | a | .
Поскольку существует предел limx → x0 f (x ) = a , то существует такая проколотая окрестность ○U(x0 ) точки x0 , на которой функция f (x ) определена. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть {xn } есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке x0 , элементы которой принадлежат проколотой окрестности ○U(x0 ) . Тогда определена последовательность { f (xn )} . Поскольку limx → x0 f (x ) = a , то эта последовательность имеет предел limn → ∞ f (xn ) = a .
Используя свойство предела последовательности, состоящей из элементов, взятых по модулю, имеем:
limn → ∞ | f (xn ) | = | a | .
Поскольку {xn } есть произвольная последовательность, сходящаяся к x0 , элементы которой принадлежат проколотой окрестности ○U(x0 ) , то, согласно определению предела функции по Гейне,
limx → x0 | f (x ) | = | a | .
Пример
Все примеры Найти предел функции
limx → 1 (2x – 1 )(4x – 1 )x 3 + 6x 2 + 11x + 6 .
Решение
Воспользуемся тем, что limx → 1 x = 1 .
Последовательно применяем арифметические свойства пределов функции.
limx → 1 (2x – 1 ) = limx → 1 (2x ) – limx → 1 1 = 2 limx → 1 x – 1 = 2 ⋅ 1 – 1 = 1 ;
limx → 1 (4x – 1 ) = limx → 1 (4x ) – limx → 1 1 = 4 limx → 1 x – 1 = 4 ⋅ 1 – 1 = 3 ;
limx → 1 [(2x – 1 )(4x – 1 )] = limx → 1 (2x – 1 ) ⋅ limx → 1 (4x – 1 ) = 1 ⋅ 3 = 3 ;
limx → 1 (x 3 + 6x 2 + 11x + 6 ) = limx → 1 (x 3 ) + limx → 1 (6x 2 ) + limx → 1 (11x ) + limx → 1 6 =
( limx → 1 x ) 3 + 6 limx → 1 (x 2 ) + 11 limx → 1 x + 6 = ( 1 ) 3 + 6( limx → 1 x ) 2 + 11 ⋅ 1 + 6 =
1 + 6 ⋅ 1 2 + 11 + 6 = 24 ;
L = limx → 1 (2x – 1 )(4x – 1 )x 3 + 6x 2 + 11x + 6 = limx → 1 [(2x – 1 )(4x – 1 )]limx → 1 (x 3 + 6x 2 + 11x + 6 ) = 324 = 18 .
Ответ
L = 1 / 8 .
Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: