Методы решения физико-математических задач

Арифметические свойства пределов функции

Арифметические свойства пределов функции
Приводятся доказательства арифметических свойств пределов функций: предел от суммы, разности, произведения и частного двух функций. Произведено обобщение на конечное число функций. Рассмотрен пример применения арифметических свойств.

Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки . И пусть существуют конечные пределы:
  и  .
Тогда предел суммы (или разности) двух функций равен сумме (или разности) их пределов:
;
предел произведения функций равен произведению их пределов:
;
предел частного функций равен частному их пределов:
,   если .
В частности, если C – постоянная, то есть заданное число, то постоянную можно выносить за знак предела:
;

Предел от абсолютного значения функции равен абсолютному значению ее предела:
если , то .

Мы привели арифметические свойства пределов для двух функций. Методом математической индукции легко показать, что они выполняются и для конечного числа функций.
Так, если n функций имеют конечные пределы в точке , то предел их суммы или разности равен сумме или разности их пределов; предел произведения равен произведению пределов.

В частности, если существует конечный предел , то предел от функции , возведенной в натуральную степень n, равен пределу этой функции в степени n:
.
Такое равенство справедливо не только для натуральных показателей степени n, но здесь мы рассматриваем только следствия арифметических свойств.

Доказательство арифметических свойств

Для доказательства, мы используем определение предела функции по Гейне и арифметические свойства конечных пределов последовательностей.

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности , на которой определены функции и . Тогда определены последовательности и . Поскольку и , то эти последовательности имеют пределы и .

Доказательство предела суммы (или разности).
Рассмотрим функцию , которая является суммой (или разностью) функций и . Используя арифметические свойства пределов последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к и элементы которой принадлежат окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.

Доказательство предела произведения.
Рассмотрим функцию . Используя арифметические свойства пределов последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.

Доказательство предела частного.
Рассмотрим функцию . По условию, . Воспользуемся теоремой об ограниченности функции, имеющей конечный ненулевой предел. Согласно этой теореме, существует такая проколотая окрестность точки , на которой . Отсюда следует, что существует такая проколотая окрестность этой точки, на которой .
Пусть есть проколотая окрестность точки , на которой определены функции и , и на которой . Используя арифметические свойства пределов последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.

Доказательство вынесения постоянной за знак предела.
Пусть в окрестности точки , – постоянная. Согласно свойству о пределе постоянной функции,
.
Используя доказанное только что свойство предела произведения двух функций, имеем:
.

Доказательство предела абсолютного значения функции.
Используя аналогичное свойство пределов последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
.

Пример

Найти предел функции
.

Решение

Воспользуемся тем, что .
Последовательно применяем арифметические свойства пределов функции.
;
;
;


;
.

Ответ

.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано: