Методы решения физико-математических задач

Определение предела функции на бесконечности

Определение предела функции на бесконечности
Определения конечных и бесконечных пределов функции на бесконечности по Коши. Определения двусторонних и односторонних пределов (слева и справа). Примеры решений задач, в которых, используя определение Коши, требуется показать, что предел на бесконечности равен заданному значению, .

Конечный предел функции на бесконечности

Конечный предел функции на бесконечности по Коши

Предел функции на бесконечности:
|f(x) – a| < ε  при  |x| > N

Определение предела по Коши
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > K, где K – положительное число. Число a называется пределом функции f(x) при x стремящемся к бесконечности (), если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε > 0, существует такое число Nε > K, зависящее от ε, что для всех x, |x| > Nε, значения функции принадлежат ε - окрестности точки a:
|f(x) – a| < ε.
Предел функции на бесконечности обозначается так:
.
Или     при   .

Также часто используется следующее обозначение:
.

Запишем это определение, используя логические символы существования и всеобщности:
.
Здесь подразумевается, что значения принадлежат области определения функции.

Односторонние пределы

Левый конечный предел функции на бесконечности по Коши

Левый предел функции на бесконечности:
|f(x) – a| < ε  при  x < –N

Часто встречаются случаи, когда функция определена только для положительных или отрицательных значений переменной x (точнее в окрестности точки или ). Также пределы на бесконечности для положительных и отрицательных значений x могут иметь различные значения. Тогда используют односторонние пределы.

Левый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к минус бесконечности () определяется так:
.
Правый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к плюс бесконечности ():
.
Односторонние пределы на бесконечности часто обозначают так:
;   .

Бесконечный предел функции на бесконечности

Бесконечный предел функции на бесконечности по Коши

Бесконечный предел функции на бесконечности:
|f(x)| > M  при  |x| > N

Определение бесконечного предела по Коши
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > K, где K – положительное число. Предел функции  f(x)  при x стремящемся к бесконечности (), равен бесконечности, если для любого, сколь угодно большого числа M > 0, существует такое число NM > K, зависящее от M, что для всех x, |x| > NM, значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f(x)| > M.
Бесконечный предел при x стремящемся к бесконечности обозначают так:
.
Или   при  .

С помощью логических символов существования и всеобщности, определение бесконечного предела функции можно записать так:
.

Аналогично вводятся определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Определения односторонних пределов на бесконечности.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.

Определение предела функции по Гейне

Пусть функция f(x) определена на некоторой окрестности бесконечно удаленной точки x0, где или или .
Число a (конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f(x) в точке x0:
,
если для любой последовательности {xn}, сходящейся к x0: ,
элементы которой принадлежат окрестности , последовательность {f(xn)} сходится к a:
.

Если в качестве окрестности взять окрестность бесконечно удаленной точки без знака: , то получим определение предела функции при x стремящемся к бесконечности, . Если взять левостороннюю или правостороннюю окрестность бесконечно удаленной точки x0: или , то получим определение предела при x стремящемся к минус бесконечности и плюс бесконечности, соответственно.

Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны.

Примеры

Пример 1

Используя определение Коши показать, что
.

Решение

Введем обозначения:
.
Найдем область определения функции . Поскольку числитель и знаменатель дроби являются многочленами, то функция определена для всех x кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Найдем эти точки. Решаем квадратное уравнение. ;
.
Корни уравнения:
;   .
Поскольку , то и .
Поэтому функция определена при . Это мы будем использовать в дальнейшем.

Выпишем определение конечного предела функции на бесконечности по Коши:
.
Преобразуем разность:
.
Разделим числитель и знаменатель на и умножим на –1:
.

Пусть .
Тогда
;
;
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
  при ,    и  .

Поскольку всегда можно увеличить, то возьмем . Тогда для любого ,
  при  .
Это означает, что .

Пример 2

Пусть .
Используя определение предела по Коши показать, что:
1) ;
2) .

1) Решение при x стремящемся к минус бесконечности

Поскольку , то функция определена для всех x.
Выпишем определение предела функции при , равного минус бесконечности:
.

Пусть  . Тогда
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что для любого положительного числа M, имеется число , так что при ,
.

Это означает, что .

2) Решение при x стремящемся к плюс бесконечности

Преобразуем исходную функцию. Умножим числитель и знаменатель дроби на и применим формулу разности квадратов:
.
Имеем:

.
Выпишем определение правого предела функции при :
.

Введем обозначение: .
Преобразуем разность:
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Пусть
.
Тогда
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
  при   и  .

Поскольку это выполняется для любого положительного числа , то
.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано: