Определение предела функции на бесконечности

Определения конечных и бесконечных пределов функции на бесконечности по Коши. Определения двусторонних и односторонних пределов (слева и справа). Примеры решений задач, в которых, используя определение Коши, требуется показать, что предел на бесконечности равен заданному значению, .

Конечный предел функции на бесконечности

Предел функции по Коши на бесконечности

Число a называется пределом функции f(x) при x стремящемся к бесконечности (x → ∞), если
1) существует такая окрестность бесконечно удаленной точки |x| > K , на которой функция определена (здесь K – положительное число);
2) для любого, сколь угодно малого положительного числа ε > 0 , существует такое число N_ε > K , зависящее от ε , что для всех x, |x| > N_ε , значения функции принадлежат ε - окрестности точки a :
|f(x) – a| < ε .
Предел функции на бесконечности обозначается так:
a = lim_{x → ∞}  f (x ) .
Или    f (x ) → a   при   x → ∞ .

Также часто используется следующее обозначение:
 f (∞ ) = lim_{x → ∞}  f (x ) .

Запишем это определение, используя логические символы существования и всеобщности:
a = lim_{x → ∞}  f (x ) ^def⇐⇒ ∀ε > 0  ∃N_ε  > 0   ∀x,   | x |  > N_ε  :  |  f (x ) – a |  < ε .
Здесь подразумевается, что значения  | x |  > N_ε принадлежат области определения функции.

Односторонние пределы

Часто встречаются случаи, когда функция  f (x ) определена только для положительных или отрицательных значений переменной x (точнее в окрестности точки + ∞ или – ∞). Также пределы на бесконечности для положительных и отрицательных значений x могут иметь различные значения. Тогда используют односторонние пределы.

Левый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к минус бесконечности (x →  – ∞) определяется так:
a = lim_{x →  – ∞}  f (x ) ^def⇐⇒ ∀ε > 0  ∃N_ε  > 0   ∀x < – N_ε  :  |  f (x ) – a |  < ε .
Правый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к плюс бесконечности (x →  + ∞):
a = lim_{x →  + ∞}  f (x ) ^def⇐⇒ ∀ε > 0  ∃N_ε  > 0   ∀x > N_ε  :  |  f (x ) – a |  < ε .
Односторонние пределы на бесконечности часто обозначают так:
 f (– ∞ ) = lim_{x →  – ∞}  f (x ) ;    f (+ ∞ ) = lim_{x →  + ∞}  f (x ) .

Бесконечный предел функции на бесконечности

Бесконечный предел функции по Коши на бесконечности

Предел функции  f(x)  при x стремящемся к бесконечности (x → ∞), равен бесконечности, если
1) существует такая окрестность бесконечно удаленной точки |x| > K , на которой функция определена (здесь K – положительное число);
2) для любого, сколь угодно большого числа M > 0 , существует такое число N_M > K , зависящее от M , что для всех x, |x| > N_M , значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f(x)| > M .
Бесконечный предел при x стремящемся к бесконечности обозначают так:
lim_{x → ∞}  f (x ) = ∞ .
Или  f (x ) → ∞  при  x → ∞ .

С помощью логических символов существования и всеобщности, определение бесконечного предела функции можно записать так:
lim_{x → ∞}  f (x ) = ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃N_M  > 0  ∀x,   | x |  > N_M  :  |  f (x ) |  > M .

Аналогично вводятся определения бесконечных пределов определенных знаков, равных + ∞ и – ∞ :
lim_{x → ∞}  f (x ) = + ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃N_M  > 0  ∀x,   | x |  > N_M  :  f (x ) > M .
lim_{x → ∞}  f (x ) = – ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃N_M  > 0  ∀x,   | x |  > N_M  :  f (x ) < – M .

Определения односторонних пределов на бесконечности.
Левые пределы.
lim_{x →  – ∞}  f (x ) = ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃N_M  > 0  ∀x < – N_M  :  |  f (x ) |  > M .
lim_{x →  – ∞}  f (x ) = + ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃N_M  > 0  ∀x < – N_M  :  f (x ) > M .
lim_{x →  – ∞}  f (x ) = – ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃N_M  > 0  ∀x < – N_M  :  f (x ) < – M .
Правые пределы.
lim_{x →  + ∞}  f (x ) = ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃N_M  > 0  ∀x > N_M  :  |  f (x ) |  > M .
lim_{x →  + ∞}  f (x ) = + ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃N_M  > 0  ∀x > N_M  :  f (x ) > M .
lim_{x →  + ∞}  f (x ) = – ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃N_M  > 0  ∀x > N_M  :  f (x ) < – M .

Определение предела функции по Гейне

Предел функции по Гейне на бесконечности

Число a (конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f(x) в бесконечно удаленной точке x₀:
a = lim_x → x0  f (x ) ,
если
1) существует такая окрестность U(x₀ ) бесконечно удаленной точки x₀ , на которой функция определена (здесь x₀  = ∞ или x₀  = – ∞ или x₀  = + ∞);
2) для любой последовательности {x_n} , сходящейся к x₀ : lim_{n → ∞} x_n  = x₀ ,
элементы которой принадлежат окрестности U(x₀ ) :  x_n  ∈ U(x₀ ) , последовательность {f(x_n)} сходится к a :
lim_{n → ∞}  f (x_n ) = a .

Если в качестве окрестности U(x₀ ) взять окрестность бесконечно удаленной точки ∞ без знака: U(∞ ) , то получим определение предела функции при x стремящемся к бесконечности, x → ∞ . Если взять левостороннюю или правостороннюю окрестность бесконечно удаленной точки x₀ : U(– ∞ ) или U(+ ∞ ) , то получим определение предела при x стремящемся к минус бесконечности и плюс бесконечности, соответственно.

Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения двух примеров, в которых, используя определение Коши, нужно показать, что пределы имеют определенные значения:
lim_{x → ∞} x²  + 11 – x – x² = – 1 ⇓;
lim_{x →  – ∞}  f (x ) = – ∞ ⇓,   lim_{x →  + ∞}  f (x ) = 1 / 2 ⇓,   где  f (x ) = x( √ x²  + 1  – x  ) .

Пример 1

Все примеры ⇑ Используя определение Коши показать, что
lim_{x → ∞} x²  + 11 – x – x² = – 1 .

Решение

Введем обозначения:
 f (x ) = x²  + 11 – x – x² ,  a = – 1 .
Найдем область определения функции  f (x ) . Поскольку числитель и знаменатель дроби являются многочленами, то функция  f (x ) определена для всех x кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Найдем эти точки. Решаем квадратное уравнение. – x²  – x + 1 = 0 ;
x = 1 ± √ (– 1 )²  – 4 ⋅ (– 1 ) ⋅ 1 2 ⋅ (– 1 ) = 1 ± √ 5 – 2 .
Корни уравнения:
x₁  = – 12 – √ 5 2 ;   x₂  = – 12 + √ 5 2 .
Поскольку √ 5  < 3 , то  | x₁  |  < 2 и  | x₂  |  < 2 .
Поэтому функция  f (x ) определена при  | x |  ≥ 2 . Это мы будем использовать в дальнейшем.

Выпишем определение конечного предела функции на бесконечности по Коши:
a = lim_{x → ∞}  f (x ) ^def⇐⇒ ∀ε > 0  ∃N_ε  > 0   ∀x,   | x |  > N_ε  :  |  f (x ) – a |  < ε .
Преобразуем разность:
 f (x ) – a = x²  + 11 – x – x² – (– 1 ) = x²  + 11 – x – x² + 1 – x – x²1 – x – x² = 2 – x1 – x – x² .
Разделим числитель и знаменатель на x² и умножим на –1 :
 f (x ) – a = 1x ⋅ 1 – 2x1 + 1x – 1x² .

Пусть  | x |  ≥ 2 .
Тогда
| 1x  | ≤ 12 ;
| 1 – 2x  | ≤ 1 + | 2x  | ≤ 1 + 2 ⋅ 12 = 2 ;
| 1 + 1x – 1x²  | ≥ 1 – | 1x  | – | 1x²  | ≥ 1 – 12 – ( 12  )²  = 14 ;
 |  f (x ) – a |  = 1 | x |  ⋅ | 1 – 2x  || 1 + 1x – 1x²  | ≤ 1 | x |  ⋅ 214 = 8 | x |  .

Итак, мы нашли, что при  | x |  ≥ 2 ,
 |  f (x ) – a |  ≤ 8 | x |  .
Вводим положительные числа N_ε и ε :
 |  f (x ) – a |  ≤ 8 | x |  < 8N_ε = ε .
Отсюда следует, что
 |  f (x ) – a |  < ε  при  | x |  ≥ 2 ,   | x |  > N_ε  и  N_ε  = 8 / ε .

Поскольку N_ε всегда можно увеличить, то возьмем N_ε  = max (8 / ε, 2 ) . Тогда для любого ε > 0 ,
 |  f (x ) – a |  < ε  при   | x |  > N_ε .
Это означает, что lim_{x → ∞} x²  + 11 – x – x² = – 1 .

Пример 2

Все примеры ⇑ Пусть  f (x ) = x( √ x²  + 1  – x  ) .
Используя определение предела по Коши показать, что:
1) lim_{x →  – ∞}  f (x ) = – ∞ ;
2) lim_{x →  + ∞}  f (x ) = 1 / 2 .

1) Решение при x стремящемся к минус бесконечности

Поскольку x²  + 1 > 0 , то функция  f (x ) определена для всех x .
Выпишем определение предела функции при x →  – ∞ , равного минус бесконечности:
lim_{x →  – ∞}  f (x ) = – ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃N_M  > 0  ∀x < – N_M  :  f (x ) < – M .

Пусть  x < 0 . Тогда
(– x ) > 0 ;
–  f (x ) = – x( √ x²  + 1  + (– x ) ) > – x(  | x |  + (– x ) ) = – x(– x + (– x )) = 2x² .

Итак, мы нашли, что при x < 0 ,
 f (x ) < – 2x² .
Вводим положительные числа N_M и M :
 f (x ) < – 2x²  < – 2N²_M  = – M .
Отсюда следует, что для любого положительного числа M , имеется число N_M  = √ M / 2  , так что при x < – N_M ,
 f (x ) < – M .

Это означает, что lim_{x →  – ∞}  f (x ) = – ∞ .

2) Решение при x стремящемся к плюс бесконечности

Преобразуем исходную функцию. Умножим числитель и знаменатель дроби на ( √ x²  + 1  + x  ) и применим формулу разности квадратов:
a²  – b²  = (a – b )(a + b ) .
Имеем:
 f (x ) = x ( √ x²  + 1  – x  )( √ x²  + 1  + x  )√ x²  + 1  + x = x ( √ x²  + 1   )²  – x²√ x²  + 1  + x = x x²  + 1 – x²√ x²  + 1  + x =
 x√ x²  + 1  + x .
Выпишем определение правого предела функции при x →  + ∞ :
a = lim_{x →  + ∞}  f (x ) ^def⇐⇒ ∀ε > 0  ∃N_ε  > 0   ∀x > N_ε  :  |  f (x ) – a |  < ε .

Введем обозначение: a = 12 .
Преобразуем разность:
 f (x ) – a = 2x2(√ x²  + 1  + x ) – √ x²  + 1  + x2(√ x²  + 1  + x ) = x – √ x²  + 1 2(x + √ x²  + 1  ) .
Умножим числитель и знаменатель на (x + √ x²  + 1  ) :
 f (x ) – a = x²  – (x²  + 1 )2(x + √ x²  + 1  )² = – 12(x + √ x²  + 1  )² .

Пусть
x > 0 .
Тогда
√ x²  + 1  > √ x²  =  | x |  = x ;
 |  f (x ) – a |  = 12(x + √ x²  + 1  )² < 12(x + x )² = 18x² .

Итак, мы нашли, что при x > 0 ,
 |  f (x ) – a |  < 18x² .
Вводим положительные числа N_ε и ε :
 |  f (x ) – a |  < 18x² < 18N²_ε = ε .
Отсюда следует, что
 |  f (x ) – a |  < ε  при x > N_ε  и  N_ε  = 1√ 8ε  .

Поскольку это выполняется для любого положительного числа ε , то
lim_{x →  + ∞}  f (x ) = a .

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 17-05-2018