Определение предела функции в конечной точке

Даны определения пределов функции в конечной точке по Коши. Рассмотрены определения двусторонних и односторонних пределов (слева и справа). Также приводятся определения бесконечных пределов в конечной точке. Разобраны примеры решений задач, в которых требуется показать, что предел равен заданному значению, используя определение Коши.

Определение предела функции по Коши

Конечный предел функции в конечной точке

Конечный предел функции по Коши

Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀ , если
1) существует такая проколотая окрестность конечной точки x₀ , на которой функция определена;
2) для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует такое число δ_ε > 0 , зависящее от ε , что для всех x , принадлежащих проколотой δ_ε - окрестности точки x₀ : 0 < |x – x₀| < δ_ε , значения функции принадлежат ε - окрестности точки a :
|f(x) – a| < ε .
Предел функции обозначается так:
a = lim_x → x0  f (x ) .
Или    f (x ) → a   при   x → x₀ .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
a = lim_x → x0  f (x ) ^def⇐⇒ ∀ε > 0  ∃δ_ε  > 0  ∀x,  0 <  | x – x₀  |  < δ_ε  :  |  f (x ) – a |  < ε .

Односторонние пределы

Функция  f (x ) может быть определена не с двух сторон от точки x₀ , а в некоторой левой окрестности точки x₀ , при x < x₀ или в некоторой правой окрестности, при x > x₀ . Также функция может иметь разрыв в точке x₀ . Тогда используют односторонние пределы.

Левый предел в точке x₀ (левосторонний предел):
a = lim_{x → x0  – 0}  f (x ) ^def⇐⇒ ∀ε > 0  ∃δ_ε  > 0  ∀x,  0 < x₀  – x < δ_ε  :  |  f (x ) – a |  < ε .
Правый предел в точке x₀ (правосторонний предел):
a = lim_{x → x0  + 0}  f (x ) ^def⇐⇒ ∀ε > 0  ∃δ_ε  > 0  ∀x,  0 < x – x₀  < δ_ε  :  |  f (x ) – a |  < ε .
Пределы слева и справа часто обозначают так:
 f (x₀  – 0 ) = lim_{x → x0  – 0}  f (x ) ;    f (x₀  + 0 ) = lim_{x → x0  + 0}  f (x ) .

Бесконечный предел функции в конечной точке

Бесконечный предел функции по Коши

Предел функции  f(x)  при  x → x₀  равен бесконечности, если
1) существует такая проколотая окрестность конечной точки x₀ , на которой функция определена;
2) для любого, сколь угодно большого числа M > 0 , существует такое число δ_M > 0 , зависящее от M , что для всех x , принадлежащих проколотой δ_M - окрестности точки x₀ : 0 < |x – x₀| < δ_M , значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f(x)| > M .
Бесконечный предел обозначают так:
lim_x → x0  f (x ) = ∞ .
Или  f (x ) → ∞  при  x → x₀ .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
lim_x → x0  f (x ) = ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃δ_M  > 0  ∀x,  0 <  | x – x₀  |  < δ_M  :  |  f (x ) |  > M .

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных + ∞ и – ∞ :
lim_x → x0  f (x ) = + ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃δ_M  > 0  ∀x,  0 <  | x – x₀  |  < δ_M  :  f (x ) > M .
lim_x → x0  f (x ) = – ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃δ_M  > 0  ∀x,  0 <  | x – x₀  |  < δ_M  :  f (x ) < – M .

Аналогичным образом вводятся определения односторонних пределов.
Левые пределы.
lim_{x → x0  – 0}  f (x ) = ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃δ_M  > 0  ∀x,  0 < x₀  – x < δ_M  :  |  f (x ) |  > M .
lim_{x → x0  – 0}  f (x ) = + ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃δ_M  > 0  ∀x,  0 < x₀  – x < δ_M  :  f (x ) > M .
lim_{x → x0  – 0}  f (x ) = – ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃δ_M  > 0  ∀x,  0 < x₀  – x < δ_M  :  f (x ) < – M .
Правые пределы.
lim_{x → x0  + 0}  f (x ) = ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃δ_M  > 0  ∀x,  0 < x – x₀  < δ_M  :  |  f (x ) |  > M .
lim_{x → x0  + 0}  f (x ) = + ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃δ_M  > 0  ∀x,  0 < x – x₀  < δ_M  :  f (x ) > M .
lim_{x → x0  + 0}  f (x ) = – ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃δ_M  > 0  ∀x,  0 < x – x₀  < δ_M  :  f (x ) < – M .

Определение предела функции по Гейне

Предел функции по Гейне

Число a (конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f(x) в точке x₀ :
a = lim_x → x0  f (x ) ,
если
1) существует такая проколотая окрестность ^○U(x₀ ) точки x₀ , на которой функция определена;
2) для любой последовательности {x_n} , сходящейся к x₀ : lim_{n → ∞} x_n  = x₀ ,
элементы которой принадлежат окрестности ^○U(x₀ ) :  x_n  ∈ ^○U(x₀ ) , последовательность {f(x_n)} сходится к a :
lim_{n → ∞}  f (x_n ) = a .

Если в качестве окрестности ^○U(x₀ ) взять левостороннюю окрестность точки x₀ , то получим определение левого предела. Если правостороннюю – то получим определение правого предела.

Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения задач, в которых нужно показать существование пределов, используя определение предела по Коши.
lim_x → 1 x²  + x + 1x²  + 1 = 32 ⇓,   lim_x → 1 x²  + x + 1(x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) = ∞ ⇓,   lim_{x → 1 – 0} x²  + x + 1(x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) = – ∞ ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Используя эпсилон и дельта - рассуждения показать, что
lim_x → 1 x²  + x + 1x²  + 1 = 32 .

Решение

Введем обозначения:
 f (x ) = x²  + x + 1x²  + 1 ,  a = 32 .
Выпишем определение конечного предела функции в точке x₀ по Коши:
a = lim_x → x0  f (x ) ^def⇐⇒ ∀ε > 0  ∃δ_ε  > 0  ∀x,  0 <  | x – x₀  |  < δ_ε  :  |  f (x ) – a |  < ε .
Преобразуем разность:
 f (x ) – a = 2(x²  + x + 1 )2(x²  + 1 ) – 3(x²  + 1 )2(x²  + 1 ) = – x²  + 2x – 12(x²  + 1 ) =
 – 12 (x – 1 )²(x – 1 )²  + 2(x – 1 ) + 2 .

Пусть
 | x – 1 |  ≤ 12 .
Тогда
(x – 1 )²  =  | x – 1 |  ⋅  | x – 1 |  ≤ 12  | x – 1 |  ;
(x – 1 )²  + 2(x – 1 ) + 2 ≥ 2 – 2 | x – 1 |  – (x – 1 )²  ≥ 2 – 2 ⋅ 12 – ( 12  )²  = 34 ;
 |  f (x ) – a |  = 12 (x – 1 )²(x – 1 )²  + 2(x – 1 ) + 2 ≤ 12 12  | x – 1 | 34 = 13  | x – 1 |  .

Итак, мы нашли, что при  | x – 1 |  ≤ 12 ,
 |  f (x ) – a |  ≤ 13  | x – 1 |  .
Вводим положительные числа δ_ε и ε :
 |  f (x ) – a |  ≤ 13  | x – 1 |  < 13 δ_ε  = ε .
Отсюда следует, что
 |  f (x ) – a |  < ε  при  | x – 1 |  ≤ 12 ,   | x – 1 |  < δ_ε  и  δ_ε  = 3ε .

Поскольку δ_ε всегда можно уменьшить, то возьмем δ_ε  = min (3ε, 1 / 2 ) . Тогда для любого ε > 0 ,
 |  f (x ) – a |  < ε  при   | x – 1 |  < δ_ε .
Это означает, что lim_x → 1 x²  + x + 1x²  + 1 = 32 .

Пример 2

Все примеры ⇑ Используя определение предела по Коши показать, что
lim_x → 1 x²  + x + 1(x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) = ∞ .

Решение

Введем обозначение:
 f (x ) = x²  + x + 1(x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) .
Выпишем определение предела функции в точке x₀ , равного бесконечности, по Коши:
lim_x → x0  f (x ) = ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃δ_M  > 0∀x,  0 <  | x – x₀  |  < δ_M  :  |  f (x ) |  > M .
Выразим многочлены в числителе и знаменатели через многочлены от (x – 1 ) .
x²  + x + 1 = (x – 1 )²  + 3(x – 1 ) + 3 ;
(x – 2 )(x – 3 ) = (x – 1 – 1 )(x – 1 – 2 ) = (x – 1 )²  – 3(x – 1 ) + 2 .

Пусть
 | x – 1 |  ≤ 12 .
Тогда
x²  + x + 1 = (x – 1 )²  + 3(x – 1 ) + 3 ≥ 3 – 3 | x – 1 |  ≥ 3 – 3 ⋅ 12 = 32 ;
 | (x – 2 )(x – 3 ) |  =
  | (x – 1 )²  – 3(x – 1 ) + 2 |  ≤ (x – 1 )²  + 3 | x – 1 |  + 2 ≤ ( 12  )²  + 3 ⋅ 12 + 2 = 154 ;
 |  f (x ) |  = x²  + x + 1 | x – 1 |  ⋅  | (x – 2 )(x – 3 ) |  ≥ 32 | x – 1 | 154 = 25 | x – 1 |  .

Итак, мы нашли, что при  | x – 1 |  ≤ 12 ,
 |  f (x ) |  ≥ 25 | x – 1 |  .
Вводим положительные числа δ_M и M :
 |  f (x ) |  ≥ 25 | x – 1 |  > 25δ_M = M .
Отсюда следует, что
 |  f (x ) |  > M  при  | x – 1 |  ≤ 12 ,  0 <  | x – 1 |  < δ_M  и  δ_M  = 25M .

Поскольку δ_M всегда можно уменьшить, то возьмем δ_M  = min ( 25M , 12  ) . Тогда для любого M > 0 ,
 |  f (x ) |  > M  при  0 <  | x – 1 |  < δ_M .
Это означает, что lim_x → 1 x²  + x + 1(x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) = ∞ .

Пример 3

Все примеры ⇑ Используя определение предела по Коши показать, что
lim_{x → 1 – 0} x²  + x + 1(x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) = – ∞ .

Решение

Введем обозначение:
 f (x ) = x²  + x + 1(x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) .
Выпишем определение левого предела в точке x₀ , равного – ∞ , по Коши:
lim_{x → x0  – 0}  f (x ) = – ∞ ^def⇐⇒ ∀M > 0  ∃δ_M  > 0  ∀x,  0 < x₀  – x < δ_M  :  f (x ) < – M .
В нашем случае x₀  = 1,  x₀  – x = 1 – x > 0 .
Выразим многочлены в числителе и знаменатели через многочлены от (1 – x ) .
x²  + x + 1 = (1 – x )²  – 3(1 – x ) + 3 ;
(x – 2 )(x – 3 ) = (x – 1 – 1 )(x – 1 – 2 ) = (x – 1 )²  – 3(x – 1 ) + 2 =
 (1 – x )²  + 3(1 – x ) + 2 .

Пусть
0 < 1 – x ≤ 12 .
Тогда
x²  + x + 1 > 0 ;   (x – 2 )(x – 3 ) > 0 ;
x²  + x + 1 = (1 – x )²  – 3(1 – x ) + 3 > 0²  – 3 ⋅ 12 + 3 = 32 ;
(x – 2 )(x – 3 ) = (1 – x )²  + 3(1 – x ) + 2 ≤ ( 12  )²  + 3 ⋅ 12 + 2 = 154 ;
 f (x ) = – x²  + x + 1(1 – x )(x – 2 )(x – 3 ) < – 32(1 – x ) 154 = – 25(1 – x ) .

Итак, мы нашли, что при 0 < 1 – x ≤ 12 ,
 f (x ) < – 25(1 – x ) .
Вводим положительные числа δ_M и M :
 f (x ) < – 25(1 – x ) < – 25δ_M = – M .
Отсюда следует, что
 f (x ) < – M  при 1 – x ≤ 12 ,  0 < 1 – x < δ_M  и  δ_M  = 25M .

Поскольку δ_M всегда можно уменьшить, то возьмем δ_M  = min ( 25M , 12  ) . Тогда для любого M > 0 ,
 f (x ) < – M  при  0 < 1 – x < δ_M .
Это означает, что lim_{x → 1 – 0} x²  + x + 1(x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) = – ∞ .

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 12-05-2018