Методы решения физико-математических задач

Определение предела функции в конечной точке

Определение предела функции в конечной точке
Даны определения пределов функции в конечной точке по Коши. Рассмотрены определения двусторонних и односторонних пределов (слева и справа). Также приводятся определения бесконечных пределов в конечной точке. Разобраны примеры решений задач, в которых требуется показать, что предел равен заданному значению, используя определение Коши.

Определение предела функции по Коши

Конечный предел функции в конечной точке

Предел функции в точке по Коши

Предел функции в точке:
|f(x) – a| < ε  при  0 < |x – x0| < δ

Определение конечного предела функции по Коши
Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности конечной точки x0. Число a называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует такое число δε > 0, зависящее от ε, что для всех x, принадлежащих проколотой δε - окрестности точки x0: 0 < |x – x0| < δε, значения функции принадлежат ε - окрестности точки a:
|f(x) – a| < ε.
Предел функции обозначается так:
.
Или     при   .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.

Односторонние пределы

Левый предел функции в точке по Коши

Левый предел функции в точке:
|f(x) – a| < ε  при  0 < x0 – x < δ

Функция может быть определена не с двух сторон от точки , а в некоторой левой окрестности точки , при или в некоторой правой окрестности, при . Также функция может иметь разрыв в точке . Тогда используют односторонние пределы.

Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
;   .

Бесконечный предел функции в конечной точке

Бесконечный предел функции в точке по Коши

Бесконечный предел функции в точке:
|f(x)| > M  при  0 < |x – x0| < δ

Определение бесконечного предела функции по Коши
Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности конечной точки x0. Предел функции  f(x)  при  x → x0  равен бесконечности, если для любого, сколь угодно большого числа M > 0, существует такое число δM > 0, зависящее от M, что для всех x, принадлежащих проколотой δM - окрестности точки x0: 0 < |x – x0| < δM, значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f(x)| > M.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или   при  .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Аналогичным образом вводятся определения односторонних пределов.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.

Определение предела функции по Гейне

Пусть функция f(x) определена на некоторой проколотой окрестности точки x0.
Число a (конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f(x) в точке x0:
,
если для любой последовательности {xn}, сходящейся к x0: ,
элементы которой принадлежат окрестности , последовательность {f(xn)} сходится к a:
.

Если в качестве окрестности взять левостороннюю окрестность точки x0, то получим определение левого предела. Если правостороннюю – то получим определение правого предела.

Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны.

Примеры

Пример 1

Используя эпсилон и дельта - рассуждения показать, что
.

Решение

Введем обозначения:
.
Выпишем определение конечного предела функции в точке по Коши:
.
Преобразуем разность:

.

Пусть
.
Тогда
;
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
  при ,    и  .

Поскольку всегда можно уменьшить, то возьмем . Тогда для любого ,
  при  .
Это означает, что .

Пример 2

Используя определение предела по Коши показать, что
.

Решение

Введем обозначение:
.
Выпишем определение предела функции в точке , равного бесконечности, по Коши:
.
Выразим многочлены в числителе и знаменатели через многочлены от .
;
.

Пусть
.
Тогда

;

;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
  при ,    и  .

Поскольку всегда можно уменьшить, то возьмем . Тогда для любого ,
  при  .
Это означает, что .

Пример 3

Используя определение предела по Коши показать, что
.

Решение

Введем обозначение:
.
Выпишем определение левого предела в точке , равного , по Коши:
.
В нашем случае .
Выразим многочлены в числителе и знаменатели через многочлены от .
;

.

Пусть
.
Тогда
;   );
;
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
  при ,    и  .

Поскольку всегда можно уменьшить, то возьмем . Тогда для любого ,
  при  .
Это означает, что .

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано: