Методы решения физико-математических задач

Способы задания функций

Способы задания функций
Приводятся основные способы задания функций: явный аналитический; интервальный; параметрический; неявный; задание функции с помощью ряда; табличный; графический. Примеры применения этих способов
Содержание
См. также:
()(\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits})() ()(\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits})() ()(\newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits})() ()(\newcommand{\arcctg}{\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits})() ()(\newcommand{\sh}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits})() ()(\newcommand{\ch}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits})() ()(\newcommand{\cosec}{\mathop{\mathrm{cosec}}\nolimits})()

Существуют следующие способы задания функции y = f(x) :

  1. Явный аналитический способ по формуле вида y = f(x) .
  2. Интервальный.
  3. Параметрический: x = x(t), y = y(t) .
  4. Неявный, как решение уравнения F(x, y) = 0 .
  5. В виде ряда, составленного из известных функций.
  6. Табличный.
  7. Графический.

Явный аналитический способ задания функции

При явном способе, значение функции определяется по формуле, представляющем собой уравнение y = f(x) . В левой части этого уравнения стоит зависимая переменная y , а в правой – выражение, составленное из независимой переменной x , постоянных, известных функций и операций сложения, вычитания, умножения и деления. Известными функциями являются элементарные функции и специальные функции, значения которых можно вычислить, используя средства вычислительной техники.

Вот несколько примеров явного задания функции с независимой переменной x и зависимой переменной y :
y = 1√ 2π  e – x 22 ;
y = sin x + sin 3xcos x + 2 cos 3x ;
y = x 2x + 1x 2  + 1 .

Интервальный способ задания функции

При интервальном способе задания функции, область определения разбивается на несколько интервалов, и функция задается отдельно для каждого интервала.

Вот несколько примеров интервального способа задания функции:
y = { 
e 1 – x ,x > 1
x,0 < x ≤ 1
0,x ≤ 0
 

y = { 
x + 1x 2  + x + 2 ,x > 3
x 2  – 1,x ≤ 3
 

y = { 
1x 2  + x + 2 ,x > 3
x + 1,– 2 < x ≤ 3
5,– 3 < x ≤ – 2
x 2  – 1,x ≤ – 3
 

Параметрический способ задания функции

При параметрическом способе, вводится новая переменная, которую называют параметром. Далее задают значения x и y как функции от параметра, используя явный способ задания:
(1)  
{ 
y = y(t )
x = x(t )
 
Вот примеры параметрического способа задания функции, используя параметр t :
{ 
y = sin t
x = cos 2t
 

{ 
y = e t
x = t 3
 

Преимущество параметрического способа заключается в том, что одну и ту же функцию можно задать бесконечным числом способов. Например, функцию y = x 6 можно задать так:
{ 
y = t 6
x = t
 

А можно и так:
{ 
y = t 2
x = 3 √ t 
 

Такая свобода выбора, в некоторых случаях, позволяет применять этот способ для решения уравнений (см. «Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных»). Суть применения заключается в том, что мы подставляем в уравнение вместо переменных x и y две функции x(t ) и y(t ) . Затем задаем одну из них по собственному усмотрению, чтобы из получившегося уравнения можно было определить другую.

Также этот способ применяется для упрощения расчетов. Например, зависимость координат точек эллипса с полуосями a и b можно представить так:
y = ± b  √ 1 – x 2a 2  .
В параметрическом виде этой зависимости можно придать более простую форму:
x = a cos t,  y = b sin t .

Уравнения (1) – это не единственный способ параметрического задания функции. Можно вводить не один, а несколько параметров, связав их дополнительными уравнениями. Например можно ввести два параметра u и v . Тогда задание функции будет выглядеть так:
{ 
y = y(u, v )
x = x(u, v )
φ(u, v ) = 0
 

Здесь появляется дополнительное уравнение φ(u, v ) = 0 , связывающее параметры. Если число параметров равно n , то должно быть n – 1 дополнительных уравнений.

Пример применения нескольких параметров изложен на странице «Дифференциальное уравнение Якоби». Там решение ищется в следующем виде:
(2)   x = ξη ,  y = ζη .
В результате получается система уравнений. Чтобы ее решить, вводят четвертый параметр t . После решения системы получается три уравнения, связывающие четыре параметра ξ,  ζ,  η  и  t .

Неявный способ задания функции

При неявном способе, значения функции y =  f (x ) определяется из решения уравнения F(x, y ) = 0 .

Например, уравнение эллипса имеет вид:
(3)   x 2a 2 + y 2b 2 = 1 .
Это простое уравнение. Если мы рассматриваем только верхнюю часть эллипса, y ≥ 0 , то можно выразить переменную y как функцию от x явным способом:
(4)   y = b  √ 1 – x 2a 2  .
Но даже если можно свести (3) к явному способу задания функции (4), последней формулой не всегда удобно пользоваться. Например, чтобы найти производную dydx , удобно дифференцировать уравнение (3), а не (4):
2xa 2 + 2yy ′b 2 = 0 ;
y ′ = – b 2a 2 xy .

Задание функции рядом

Исключительно важным способом задания функции является ее представление в виде ряда, составленного из известных функций. Этот способ позволяет исследовать функцию математическими методами и вычислять ее значения для прикладных задач.

Самым распространенным представлением является задание функции с помощью степенного ряда. При этом используется ряд функций:
1,  x,  x 2 ,  x 3 , ...  x n , ... .
Также применяется ряд и с отрицательными степенями:
...  1x n , ... ,  1x 3 ,  1x 2 ,  1x ,  1,  x,  x 2 ,  x 3 , ...  x n , ... .
Например, функция синус имеет следующее разложение:
(5)   sin x = x – x 33! + x 55! – x 77! + ⋅ ⋅ ⋅ .
Подобные разложения широко применяются в вычислительной технике, поскольку они позволяют свести вычисления к арифметическим операциям.

В качестве иллюстрации, вычислим значение синуса от 30°, используя разложение (5).
Переводим градусы в радианы:
x = 30 ⋅ π180 = 0, 5235987755982988 .
Подставляем в (5):
sin (30 ○ ) = sin (0, 5235987755982988 ) = 0, 5235987755982988 –
 0, 5235987755982988 33! + 0, 5235987755982988 55! – 0, 5235987755982988 77! =
 0, 5235987755982988 – 0, 02392459620393504 + 0, 0003279531944286708 –
 0, 000002140719769235795 = 0, 4999999918690232 ≈ 0, 5 .

В математике, на ряду со степенными рядами, широко применяются разложения в тригонометрические ряды по функциям sin nx и cos nx , а также по другим специальным функциям. С помощью рядов можно производить приближенные вычисления интегралов, уравнений (дифференциальных, интегральных, в частных производных) и исследовать их решения.

Табличный способ задания функции

При табличном способе задания функции мы имеем таблицу, которая содержит значения независимой переменной x и соответствующие им значения зависимой переменной y . Независимая и зависимая переменные могут иметь разные обозначения, но мы здесь используем x и y . Чтобы определить значение функции при заданном значении x , мы по таблице, находим значение x , наиболее близкое к нашему. После этого определяем соответствующее значение зависимой переменной y .

Для более точного определения значения функции, мы считаем, что функция между двумя соседними значениями x линейна, то есть имеет следующий вид:
y(x ) = yi  + yi + 1  – yixi + 1  – xi ⋅ (x – xi ),  xi  ≤ x ≤ xi + 1 .
Здесь yi ,  yi + 1 – значения функции, найденные из таблицы, при соответствующих им значениях аргументов xi ,  xi + 1 .
Рассмотрим пример. Пусть нам нужно найти значение функции y = 1√ 2π  e – x 2  / 2 при x = 0, 5542 . Из таблицы находим:
y(0, 55 ) = 0, 3429;  y(0, 56 ) = 0, 3410 .
Тогда
y(0, 5542 ) = y(0, 55 ) + y(0, 56 ) – y(0, 55 )0, 56 – 0, 55 ⋅ (0, 5542 – 0, 55 ) =
 0, 3429 + 0, 3410 – 0, 34290, 01 ⋅ 0, 0042 = 0, 3421 .
Точное значение:
y(0, 5542 ) = 0, 34214955122 .
Из этого примера видно, что применение линейной аппроксимации привело к повышению точности в определении значения функции.

Табличный способ применяется в прикладных науках. До развития вычислительной техники, он широко применялся в инженерных и других расчетах. Сейчас табличный способ применяется в статистике и экспериментальных науках для сбора и анализа экспериментальных данных.

Графический способ задания функции

При графическом способе, значение функции определяется из графика, по оси абсцисс которого откладываются значения независимой переменной, а по оси ординат – зависимой.

Графический способ дает наглядное представление о поведении функции. Результаты исследования функции часто иллюстрируют ее графиком. Из графика можно определить приближенное значение функции. Это позволяет использовать графический способ в прикладных и инженерных расчетах.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

См. также:
▲
Меню