Методы решения физико-математических задач

Способы задания функций

Способы задания функций
Приводятся основные способы задания функций: явный аналитический; интервальный; параметрический; неявный; задание функции с помощью ряда; табличный; графический. Примеры применения этих способов

Существуют следующие способы задания функции y = f(x):

  1. Явный аналитический способ по формуле вида y = f(x).
  2. Интервальный.
  3. Параметрический: x = x(t), y = y(t).
  4. Неявный, как решение уравнения F(x, y) = 0.
  5. В виде ряда, составленного из известных функций.
  6. Табличный.
  7. Графический.

Явный способ задания функции

При явном способе, значение функции определяется по формуле, представляющем собой уравнение y = f(x). В левой части этого уравнения стоит зависимая переменная y, а в правой – выражение, составленное из независимой переменной x, постоянных, известных функций и операций сложения, вычитания, умножения и деления. Известными функциями являются элементарные функции и специальные функции, значения которых можно вычислить, используя средства вычислительной техники.

Вот несколько примеров явного задания функции с независимой переменной x и зависимой переменной y:
;
;
.

Интервальный способ задания функции

При интервальном способе задания функции, область определения разбивается на несколько интервалов, и функция задается отдельно для каждого интервала.

Вот несколько примеров интервального способа задания функции:


Параметрический способ задания функции

При параметрическом способе, вводится новая переменная, которую называют параметром. Далее задают значения x и y как функции от параметра, используя явный способ задания:
(1)  

Вот примеры параметрического способа задания функции, используя параметр t:


Преимущество параметрического способа заключается в том, что одну и ту же функцию можно задать бесконечным числом способов. Например, функцию можно задать так:

А можно и так:

Такая свобода выбора, в некоторых случаях, позволяет применять этот способ для решения уравнений (см. «Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных»). Суть применения заключается в том, что мы подставляем в уравнение вместо переменных x и y две функции и . Затем задаем одну из них по собственному усмотрению, чтобы из получившегося уравнения можно было определить другую.

Также этот способ применяется для упрощения расчетов. Например, зависимость координат точек эллипса с полуосями a и b можно представить так:
.
В параметрическом виде этой зависимости можно придать более простую форму:
.

Уравнения (1) – это не единственный способ параметрического задания функции. Можно вводить не один, а несколько параметров, связав их дополнительными уравнениями. Например можно ввести два параметра и . Тогда задание функции будет выглядеть так:

Здесь появляется дополнительное уравнение , связывающее параметры. Если число параметров равно n, то должно быть n – 1 дополнительных уравнений.

Пример применения нескольких параметров изложен на странице «Дифференциальное уравнение Якоби». Там решение ищется в следующем виде:
(2)   .
В результате получается система уравнений. Чтобы ее решить, вводят четвертый параметр t. После решения системы получается три уравнения, связывающие четыре параметра   и  .

Неявный способ задания функции

При неявном способе, значения функции определяется из решения уравнения .

Например, уравнение эллипса имеет вид:
(3)   .
Это простое уравнение. Если мы рассматриваем только верхнюю часть эллипса, , то можно выразить переменную y как функцию от x явным способом:
(4)   .
Но даже если можно свести (3) к явному способу задания функции (4), последней формулой не всегда удобно пользоваться. Например, чтобы найти производную , удобно дифференцировать уравнение (3), а не (4):
;
.

Задание функции рядом

Исключительно важным способом задания функции является ее представление в виде ряда, составленного из известных функций. Этот способ позволяет исследовать функцию математическими методами и вычислять ее значения для прикладных задач.

Самым распространенным представлением является задание функции с помощью степенного ряда. При этом используется ряд степенных функций:
.
Также применяется ряд и с отрицательными степенями:
.
Например, функция синус имеет следующее разложение:
(5)   .
Подобные разложения широко применяются в вычислительной технике для вычисления значений функций, поскольку они позволяют свести вычисления к арифметическим операциям.

В качестве иллюстрации, вычислим значение синуса от 30°, используя разложение (5).
Переводим градусы в радианы:
.
Подставляем в (5):



.

В математике, на ряду со степенными рядами, широко применяются разложения в тригонометрические ряды по функциям и , а также по другим специальным функциям. С помощью рядов можно производить приближенные вычисления интегралов, уравнений (дифференциальных, интегральных, в частных производных) и исследовать их решения.

Табличный способ задания функции

При табличном способе задания функции мы имеем таблицу, которая содержит значения независимой переменной x и соответствующие им значения зависимой переменной y. Независимая и зависимая переменные могут иметь разные обозначения, но мы здесь используем x и y. Чтобы определить значение функции при заданном значении x, мы по таблице, находим значение x, наиболее близкое к нашему значению. После этого определяем соответствующее значение зависимой переменной y.

Для более точного определения значения функции, мы считаем, что функция между двумя соседними значениями x линейна, то есть имеет следующий вид:
.
Здесь – значения функции, найденные из таблицы, при соответствующих им значениях аргументов .
Рассмотрим пример. Пусть нам нужно найти значение функции при . Из таблицы находим:
.
Тогда

.
Точное значение:
.
Из этого примера видно, что применение линейной аппроксимации привело к повышению точности в определении значения функции.

Табличный способ применяется в прикладных науках. До развития вычислительной техники, он широко применялся в инженерных и других расчетах. Сейчас табличный способ применяется в статистике и экспериментальных науках для сбора и анализа экспериментальных данных.

Графический способ задания функции

При графическом способе, значение функции определяется из графика, по оси абсцисс которого откладываются значения независимой переменной, а по оси ординат – зависимой.

Графический способ дает наглядное представление о поведении функции. Результаты исследования функции часто иллюстрируют ее графиком. Из графика можно определить приближенное значение функции. Это позволяет использовать графический способ в прикладных и инженерных науках.

.     Опубликовано: