Подпоследовательности и частичные пределы последовательностей

Даны определения подпоследовательности, частичного предела последовательности, верхнего и нижнего частичного предела. Представлены формулировки и доказательства теорем и свойств подпоследовательностей, верхних и нижних частичных пределов последовательностей.

Содержание

Определение подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности: Подпоследовательностью последовательности {x_n } называется последовательность {x_{n_k} } = {x_n₁ , x_n₂ , x_n₃ , ... } , полученная из {x_n } , удалением ряда ее членов без изменения порядка следования членов.

То есть подпоследовательность состоит из членов исходной последовательности {x_n } с номерами n_k , где {n_k } – строго монотонная последовательность натуральных чисел.

Также можно сказать, что подпоследовательность {x_{n_k} } последовательности {x_n } – это подмножество множества {x_n } , сохраняющее порядок следования членов.

Частичный предел последовательности: Точка a ∈ R называется частичным пределом последовательности {x_n } , если существует подпоследовательность {x_{n_k} } , сходящаяся к точке a .
Верхний (нижний) частичный предел последовательности: Верхним (нижним) частичным пределом последовательности {x_n } называется число a ∈ R , которое является наибольшим (наименьшим) частичным пределом последовательности. Верхний и нижний частичные пределы обозначаются, соответственно, так:
lim_{n → ∞} x_n , lim_{n → ∞} x_n .

Свойства подпоследовательностей

Далее мы используем понятие расширенного множества действительных чисел R . Выражение a ∈ R означает, что a является или действительным числом, или элементом + ∞ , или элементом – ∞ .
См. «Бесконечно удаленные точки и их свойства».

1. Свойство подпоследовательностей сходящейся последовательности
Если последовательность {x_n } сходится к числу a ∈ R , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу.
Доказательство ⇓

2. Свойство последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному числу
Если любая подпоследовательность последовательности {x_n } содержит подпоследовательность, сходящуюся к одному и тому же числу a ∈ R , то и сама последовательность {x_n } сходится к этому числу:
lim_{n → ∞} x_n = a .
Доказательство ⇓

3. Свойство эквивалентности сходимости последовательности и всех ее подпоследовательностей
Последовательность {x_n } сходится тогда и только тогда, когда любая ее подпоследовательность сходится к одному числу a ∈ R .

Свойство 3 является следствием свойств 1 и 2.

Частичный предел последовательности

4. Теорема Больцано – Вейерштрасса
Из любой последовательности действительных чисел можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу a ∈ R .

См. «Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса»

Произвольная последовательность может иметь конечное или бесконечное число частичных пределов ⇑.

5. Свойство частичного предела последовательности
Точка a ∈ R является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности.
Доказательство ⇓

Верхний и нижний частичные пределы

6. Теорема о существовании верхнего и нижнего частичных пределов
У любой последовательности существует как верхний, так и нижний частичные пределы ⇑, принадлежащие расширенному множеству действительных чисел R .
Доказательство ⇓

Рассмотрим множество частичных пределов последовательности. Эта теорема утверждает, что верхняя и нижняя грани этого множества являются ее элементами. То есть множество частичных пределов последовательности замкнуто, оно содержит свою границу. Для произвольного множества это может не выполняться. Например, для открытого интервала {x : a < x < b } не существует наибольшего и наименьшего элемента, поскольку и верхняя грань b и нижняя a не принадлежит этому множеству.

Если последовательность {x_n } не ограничена сверху, то ее верхний частичный предел равен плюс бесконечности:
lim_{n → ∞} x_n = + ∞ .
Соответственно, если последовательность не ограничена снизу, то
lim_{n → ∞} x_n = – ∞ .

Если последовательность ограничена, то ее верхний и нижний частичные пределы конечны.

7. Свойство верхнего и нижнего частичных пределов
Пусть {x_n } – ограниченная последовательность. Пусть a – ее верхний (нижний) частичный предел. Тогда, для любого ε > 0 , в интервале (a – ε, a + ε ) содержится бесконечное число членов последовательности, а в полуинтервале [a + ε, + ∞ ) ((– ∞, a – ε ]) – конечное или пустое множество.
Доказательство ⇓

8. Теорема о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами
Верхний и нижний частичные пределы последовательности удовлетворяют неравенству:
lim_{n → ∞} x_n ≤ lim_{n → ∞} x_n .
Частичные пределы равны друг другу lim_{n → ∞} x_n = lim_{n → ∞} x_n тогда и только тогда, когда существует предел последовательности:
lim_{n → ∞} x_n = lim_{n → ∞} x_n = lim_{n → ∞} x_n = a; a ∈ R .
Доказательство ⇓

9. Связь верхних и нижних пределов между последовательностями {x_n} и {–x_n}.
Имеет место очевидное равенство:
lim_{n → ∞} x_n = – lim_{n → ∞} (– x_n ) .

10. Свойства верхних и нижних пределов суммы последовательностей
Верхний и нижний частичные пределы от суммы последовательностей удовлетворяют следующим неравенствам:
lim_{n → ∞} (x_n + y_n ) ≤ lim_{n → ∞} x_n + lim_{n → ∞} y_n ;
lim_{n → ∞} (x_n + y_n ) ≥ lim_{n → ∞} x_n + lim_{n → ∞} y_n ,
где последовательности {x_n } и {y_n } ограничены.
Доказательство ⇓

11. Свойство верхних пределов произведения последовательностей
Пусть последовательность {x_n } сходится к конечному положительному числу:
lim_{n → ∞} x_n = a; a ∈ R; a > 0 .
И пусть {y_n } – любая последовательность. Тогда
lim_{n → ∞} (x_n y_n ) = a lim_{n → ∞} y_n .
Отсюда
lim_{n → ∞} (ay_n ) = a lim_{n → ∞} y_n .
Доказательство ⇓

Применяя равенство
lim_{n → ∞} x_n = – lim_{n → ∞} (– x_n ) ,
можно получить другие подобные соотношения.

Доказательство свойств и теорем

Далее перечислены определения и свойства, которые мы будем использовать при доказательстве свойств подпоследовательностей.

Определение окрестности точки. Окрестностью конечной точки a ∈ R называется любой открытый интервал, содержащий эту точку: {x : a – ε₁ < a < a + ε₂ } , где ε₁ и ε₂ – произвольные положительные числа.
См. «Определение окрестности точки».
Окрестностью точки + ∞ называется множество {x : x > M } ;
Окрестностью точки – ∞ называется множество {x : x < – M } ,
где M – произвольное действительное число.
См. «Окрестности бесконечно удаленных точек».

Также мы будем использовать следующие обозначения для ε-окрестностей точек:
U(a, ε ) = {x : | x – a | < ε } ;
U(+ ∞, ε ) = { x : x > 1ε } ;
U(– ∞, ε ) = { x : x < – 1ε } .

Определение предела последовательности. Точка a ∈ R является пределом последовательности {x_n } , если для любой окрестности этой точки существует такое натуральное число N , что все элементы последовательности с номерами n > N принадлежат этой окрестности.
См. «Универсальное определение предела последовательности».

Свойство (*) предела последовательности. Для того, чтобы точка a ∈ R являлась пределом последовательности {x_n } , необходимо и достаточно, чтобы за пределами любой окрестности этой точки находилось конечное число членов последовательности или пустое множество.
См. «Определение бесконечно большой последовательности: Свойство 1».

1. Свойство подпоследовательностей сходящейся последовательности

Все свойства ⇑ Если последовательность {x_n } сходится к числу a ∈ R , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу.

Доказательство

Действительно, поскольку последовательность {x_n } сходится к числу a , то, согласно свойству (*) ⇑, за пределами любой окрестности точки a находится конечное число членов последовательности или пустое множество. Но, поскольку подпоследовательность получается из последовательности путем вычеркивания ряда ее членов, то за пределами любой окрестности точки a может находиться только конечное число членов подпоследовательности (или пустое множество). Согласно свойству (*) ⇑ это означает, что точка a является пределом подпоследовательности.

2. Свойство последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному числу

Все свойства ⇑ Если любая подпоследовательность последовательности {x_n } содержит подпоследовательность, сходящуюся к одному и тому же числу a ∈ R , то и сама последовательность {x_n } сходится к этому числу:
lim_{n → ∞} x_n = a .

Доказательство

Допустим противное. Пусть последовательность {x_n } не сходится к числу a . Тогда существует такая окрестность U(a, ε ) точки a , вне которой имеется бесконечное число членов x_n (см. «Определение отсутствия предела последовательности»). Составим из этих членов подпоследовательность {x_{n_k} } . Из нее нельзя выделить подпоследовательность, сходящуюся к a , поскольку все члены подпоследовательности {x_{n_k} } находятся за пределами окрестности U(a, ε ) .

Мы получили противоречие, так как по условию теоремы, из любой подпоследовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу a .
Свойство доказано.

5. Свойство частичного предела последовательности

Все свойства ⇑ Точка a ∈ R является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности.

Доказательство

Пусть в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности {x_n } . Покажем, что из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к a .

Возьмем произвольную окрестность точки a : U(a, 1 ) ⇑. В качестве первого члена подпоследовательности x_n₁ возьмем любой член последовательности, принадлежащий этой окрестности.

Возьмем более узкую окрестность: U(a, 1 / 2 ) и выберем из нее второй член x_n₂ с номером n₂ > n₁ .

И так далее. Поскольку любая окрестность точки a содержит бесконечное число членов последовательности, то мы на k - ом шаге можем выбрать член последовательности x_{n_k} , принадлежащий окрестности U(a, 1 / k ) с номером n_k > n_k – 1 .

Так как член подпоследовательности с номером k принадлежит окрестности U(a, 1 / k ) , то эта подпоследовательность сходится к числу a . Действительно, для любого ε > 0 имеется такой номер N > 1 / ε , что все члены подпоследовательности x_{n_k} с номерами k > N принадлежат ε - окрестности U(a, ε ) точки a .
Пусть теперь точка a является частичным пределом последовательности {x_n } . Это означает, что существует подпоследовательность x_{n_k} , сходящаяся к точке a . Тогда по свойству сходящихся последовательностей, в любой окрестности точки a находится бесконечное число членов подпоследовательности.

Свойство доказано.

6. Теорема о существовании верхнего и нижнего частичных пределов

Все свойства ⇑ У любой последовательности существует как верхний, так и нижний частичный пределы, принадлежащие расширенному множеству действительных чисел R .

Доказательство

Пусть у нас имеется некоторая последовательность {x_n } . Докажем, что у нее существует верхний частичный предел.

Пусть последовательность {x_n } неограниченна сверху. То есть для любого числа M существует член последовательности x_n₁ , превышающий M : x_n₁ > M . В свою очередь существует член последовательности x_n₂ , превышающий x_n₁ : x_n₂ > x_n₁ . Продолжая подобные рассуждения мы приходим к выводу, что существует бесконечное число членов последовательности, превышающих M . Поскольку это утверждение справедливо для любого числа M , то в любой окрестности точки + ∞ содержится бесконечное число членов последовательности {x_n } . Тогда по свойству 4 ⇑, из последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к + ∞ .

В этом случае точка + ∞ является верхним частичным пределом последовательности.
Пусть последовательность {x_n } ограничена сверху x_n ≤ b и при этом любой отрезок {x : a ≤ x ≤ b } содержит только конечное число членов последовательности.

В этом случае последовательность сходится к – ∞ . Точка – ∞ является единственным частичным пределом последовательности – как верхним, так и нижним.
Пусть последовательность {x_n } ограничена сверху x_n ≤ b и при этом существует отрезок {x : a ≤ x ≤ b } , содержащий бесконечное число членов последовательности.

В этом случае поступаем как при доказательстве теоремы Больцано – Вейерштрасса, применяя систему вложенных отрезков. Делим отрезок [a, b ] пополам. Если правый отрезок содержит бесконечное число членов последовательности, то следующим отрезком будет [a₁ , b₁ ]; a₁ = (a + b ) / 2; b₁ = b . В противном случае выбираем левый отрезок a₁ = a; b₁ = (a + b ) / 2 . Из отрезка [a₁ , b₁ ] выбираем первый член подпоследовательности x_n₁ .

Затем делим отрезок [a₁ , b₁ ] пополам. Если в правой половине бесконечное число членов последовательности, то выбираем ее. В противном случае выбираем левую половину. Получаем отрезок [a₂ , b₂ ] . Из него выбираем второй член подпоследовательности x_n₁ с номером n₂ > n₁ . И так далее.

В результате получаем систему вложенных отрезков
a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_k ≤ ... ≤ b_k ≤ ... ≤ b₂ ≤ b₁
и подпоследовательность {x_{n_k} } . Поскольку длины отрезков стремятся к нулю, то согласно лемме о вложенных отрезках, существует единственная точка c ∈ R , принадлежащая всем отрезкам. Поскольку x_{n_k} ∈ [a_k , b_k ] , то lim_{k → ∞} x_{n_k} = c .

Поскольку мы выбирали самые правые отрезки с бесконечным числом членов, то точка c является верхним частичным пределом последовательности.

Аналогичным способом можно доказать, что у последовательности существует нижний частичный предел. Для этого сначала рассматриваем последовательность, неограниченную снизу. В конце рассматриваем последовательность, ограниченную снизу x_n ≥ a и имеющую бесконечное число членов в отрезке {x : a ≤ x ≤ b } . Только здесь, при делении отрезков, мы выбираем левый отрезок, если он содержит бесконечное число членов последовательности.

Теорема доказана.

7. Свойство верхнего и нижнего частичных пределов

Все свойства ⇑ Пусть {x_n } – ограниченная последовательность. Пусть a – ее верхний (нижний) частичный предел. Тогда, для любого ε > 0 , в интервале (a – ε, a + ε ) содержится бесконечное число членов последовательности, а в полуинтервале [a + ε, + ∞ ) ((– ∞, a – ε ]) – конечное или пустое множество.

Доказательство

Пусть точка a является верхним (нижним) частичным пределом последовательности {x_n } . Тогда, согласно свойству 4 ⇑, в любой окрестности этой точки, в том числе и в интервале (a – ε, a + ε ) , содержится бесконечное число членов последовательности.

Докажем, что в полуинтервале [a + ε, + ∞ ) ((– ∞, a – ε ]) содержится конечное число членов последовательности. Допустим противное, что в этом полуинтервале содержится бесконечное число членов. Тогда по теореме Больцано – Вейерштрасса ⇑ из них можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Согласно свойствам неравенств, предел b этой подпоследовательности удовлетворяет неравенству b ≥ a + ε (b ≤ a – ε ) , то есть больше (меньше) a . Возникает противоречие, поскольку a является верхним (нижним) частичным пределом последовательности.

Свойство доказано.

8. Теорема о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами

Все свойства ⇑ Верхний и нижний частичные пределы последовательности удовлетворяют неравенству:
lim_{n → ∞} x_n ≤ lim_{n → ∞} x_n .
Частичные пределы равны друг другу lim_{n → ∞} x_n = lim_{n → ∞} x_n тогда и только тогда, когда существует предел последовательности:
lim_{n → ∞} x_n = lim_{n → ∞} x_n = lim_{n → ∞} x_n = a; a ∈ R .

Доказательство

Неравенство lim_{n → ∞} x_n ≤ lim_{n → ∞} x_n следует из определения верхнего и нижнего частичных пределов ⇑.

Пусть последовательность {x_n } сходится к числу a : lim_{n → ∞} x_n = a .
Тогда согласно свойству 1 ⇑?, любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому lim_{n → ∞} x_n = lim_{n → ∞} x_n = a .

Пусть lim_{n → ∞} x_n = lim_{n → ∞} x_n = a . И пусть a – конечное число. Согласно свойству 6 ⇑, для любого ε > 0 , интервалу (a – ε, a + ε ) не принадлежат только конечное число членов последовательности. Тогда согласно свойству (*) ⇑,
lim_{n → ∞} x_n = a .

Пусть lim_{n → ∞} x_n = lim_{n → ∞} x_n = + ∞ . Тогда, для любого конечного числа M , неравенство x_n ≤ M выполняется только для конечного числа членов x_n . Отсюда lim_{n → ∞} x_n = + ∞ .
Пусть lim_{n → ∞} x_n = lim_{n → ∞} x_n = – ∞ . Тогда неравенство x_n ≥ M выполняется только для конечного числа членов x_n . Поэтому lim_{n → ∞} x_n = – ∞ .

Теорема доказана.

10. Свойства верхних и нижних пределов суммы последовательностей

Все свойства ⇑ Верхний и нижний частичные пределы от суммы последовательностей удовлетворяют следующим неравенствам:
lim_{n → ∞} (x_n + y_n ) ≤ lim_{n → ∞} x_n + lim_{n → ∞} y_n ;
lim_{n → ∞} (x_n + y_n ) ≥ lim_{n → ∞} x_n + lim_{n → ∞} y_n ,
где последовательности {x_n } и {y_n } ограничены.

Доказательство

Докажем, что lim_{n → ∞} (x_n + y_n ) ≤ lim_{n → ∞} x_n + lim_{n → ∞} y_n .
Из последовательности {x_n + y_n } выберем подпоследовательность {x_{n_k} + y_{n_k} } , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
lim_{k → ∞} (x_{n_k} + y_{n_k} ) = lim_{n → ∞} (x_n + y_n ) .
Из {x_{n_k} } выберем сходящуюся подпоследовательность {x_{n^′_k} } . Далее из {y_{n^′_k} } выберем сходящуюся подпоследовательность {y_{n^′′_k} } .

Тогда последовательность {x_{n^′′_k} + y_{n^′′_k} } является подпоследовательностью по отношению к {x_{n_k} + y_{n_k} } . Согласно свойству 1 ⇑, их пределы равны:
lim_{k → ∞} (x_{n^′′_k} + y_{n^′′_k} ) = lim_{k → ∞} (x_{n_k} + y_{n_k} ) = lim_{n → ∞} (x_n + y_n ) .
Также и последовательность {x_{n^′′_k} } является подпоследовательностью по отношению к {x_{n^′_k} } . Поэтому она сходится.

Применяем свойство предела суммы последовательностей и определение верхнего частичного предела ⇑:
lim_{n → ∞} (x_n + y_n ) = lim_{k → ∞} (x_{n^′′_k} + y_{n^′′_k} ) = lim_{k → ∞} x_{n^′′_k} + lim_{k → ∞} y_{n^′′_k} ≤ lim_{n → ∞} x_n + lim_{n → ∞} y_n .
Первое неравенство доказано.

Докажем второе неравенство:
lim_{n → ∞} (x_n + y_n ) ≥ lim_{n → ∞} x_n + lim_{n → ∞} y_n .
Умножим первое неравенство на – 1 :
– lim_{n → ∞} (x_n + y_n ) ≥ – lim_{n → ∞} x_n – lim_{n → ∞} y_n .
Применим свойство 8 ⇑:
lim_{n → ∞} (x_n + y_n ) = – lim_{n → ∞} ((– x_n ) + (– y_n )) ≥ – lim_{n → ∞} (– x_n ) – lim_{n → ∞} (– y_n ) = lim_{n → ∞} x_n + lim_{n → ∞} y_n .

Свойство доказано.

11. Свойство верхних пределов произведения последовательностей

Все свойства ⇑ Пусть последовательность {x_n } сходится к конечному положительному числу:
lim_{n → ∞} x_n = a; a ∈ R; a > 0 .
И пусть {y_n } – любая последовательность. Тогда
lim_{n → ∞} (x_n y_n ) = a lim_{n → ∞} y_n .
Отсюда
lim_{n → ∞} (ay_n ) = a lim_{n → ∞} y_n .

Доказательство

Из последовательности {y_n } выберем подпоследовательность {y_{n_k} } , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
lim_{k → ∞} y_{n_k} = lim_{n → ∞} y_n .
По условию, последовательность {x_n } сходится к числу a . Тогда и ее подпоследовательность {x_{n_k} } , согласно свойству 1 ⇑, также сходится к числу a . По свойству предела произведения последовательностей, последовательность {x_{n_k} y_{n_k} } сходится и
lim_{k → ∞} (x_{n_k} y_{n_k} ) = lim_{k → ∞} x_{n_k} ⋅ lim_{k → ∞} y_{n_k} = a lim_{n → ∞} y_n .
Поскольку lim_{k → ∞} (x_{n_k} y_{n_k} ) ≤ lim_{n → ∞} (x_n y_n ) , то
(10.1) a lim_{n → ∞} y_n ≤ lim_{n → ∞} (x_n y_n ) .

Аналогично предыдущему, из последовательности {x_n y_n } выберем подпоследовательность {x_{n^′_k} y_{n^′_k} } , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
lim_{k → ∞} (x_{n^′_k} y_{n^′_k} ) = lim_{n → ∞} (x_n y_n ) .
Из {y_{n^′_k} } выберем сходящуюся подпоследовательность {y_{n^′′_k} } . Тогда
lim_{n → ∞} (x_n y_n ) = lim_{k → ∞} (x_{n^′′_k} y_{n^′′_k} ) = a lim_{k → ∞} y_{n^′′_k} ≤ a lim_{n → ∞} y_n ;
(10.2) lim_{n → ∞} (x_n y_n ) ≤ a lim_{n → ∞} y_n .

Из (10.1) и (10.2) следует, что
lim_{n → ∞} (x_n y_n ) = a lim_{n → ∞} y_n .
Свойство доказано.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 21-12-2017