Методы решения физико-математических задач

Подпосле­довательности и частичные пределы после­довательностей

Частичный предел последовательности
Даны определения подпоследовательности, частичного предела последовательности, верхнего и нижнего частичного предела. Представлены формулировки и доказательства теорем и свойств подпоследовательностей, верхних и нижних частичных пределов последовательностей.

Определение подпосле­довательности

Определение
Подпоследовательность последовательности – это последовательность , полученная из , удалением ряда ее членов без изменения порядка следования членов.

То есть подпоследовательность состоит из членов исходной последовательности с номерами , где – строго монотонная последовательность натуральных чисел.

Также можно сказать, что подпоследовательность последовательности – это подмножество множества , сохраняющее порядок следования членов.

Свойства подпосле­довательностей

Далее мы используем понятие расширенного множества действительных чисел . Выражение означает, что a является или действительным числом, или элементом , или элементом .
См. «Бесконечно удаленные точки и их свойства».

Свойство 1
Если последовательность сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу.
Доказательство ⇓

Свойство 2
Если любая подпоследовательность последовательности содержит подпоследовательность, сходящуюся к одному и тому же числу , то и сама последовательность сходится к этому числу:
.
Доказательство ⇓

Свойство 3
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда любая ее подпоследовательность сходится к одному числу .

Свойство 3 является следствием свойств 1 и 2.

Частичный предел последовательности

Теорема Больцано – Вейерштрасса
Из любой последовательности действительных чисел можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу .

См. «Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса»

Определение частичного предела последовательности
Точка называется частичным пределом последовательности , если существует подпоследовательность , сходящаяся к точке a.

Произвольная последовательность может иметь конечное или бесконечное число частичных пределов.

Свойство 4
Точка является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности.
Доказательство ⇓

Верхний и нижний частичный предел последовательности

Определение
Верхний (нижний) частичный предел последовательности – это число , которое является наибольшим (наименьшим) частичным пределом последовательности. Верхний и нижний частичные пределы обозначаются, соответственно, так:
.

Свойство 5. Теорема 2
У любой последовательности существует как верхний, так и нижний частичный пределы, принадлежащие расширенному множеству действительных чисел .
Доказательство ⇓

Рассмотрим множество частичных пределов последовательности. Эта теорема утверждает, что верхняя и нижняя грани этого множества является ее элементами. То есть множество частичных пределов последовательности замкнуто, оно содержит свою границу. Для произвольного множества это может не выполняться. Например, для открытого интервала не существует наибольшего и наименьшего элемента, поскольку и верхняя грань b и нижняя a не принадлежит этому множеству.

Если последовательность не ограничена сверху, то ее верхний частичный предел равен плюс бесконечности:
.
Соответственно, если последовательность не ограничена снизу, то
.

Если последовательность ограничена, то ее верхний и нижний частичные пределы конечны.

Свойство 6
Пусть – ограниченная последовательность. Пусть a – ее верхний (нижний) частичный предел. Тогда, для любого , в интервале содержится бесконечное число членов последовательности, а в полуинтервале – конечное или пустое множество.
Доказательство ⇓

Свойство 7. Теорема 3
Верхний и нижний частичные пределы последовательности удовлетворяют неравенству:
.
Частичные пределы равны друг другу тогда и только тогда, когда существует предел последовательности:
.
Доказательство ⇓

Свойство 8
Имеют место очевидное равенство:
.

Свойство 9
Верхний и нижний частичные пределы от суммы последовательностей удовлетворяют следующим неравенствам:
;
,
где элементы и ограничены.
Доказательство ⇓

Свойство 10
Пусть последовательность сходится к конечному положительному числу:
.
И пусть – любая последовательность. Тогда
.
Отсюда
.
Доказательство ⇓

Применяя равенство
,
можно получить другие подобные соотношения.

Доказательство свойств и теорем

Далее перечислены определения и свойства, которые мы будем использовать при доказательстве свойств подпоследовательностей.

Определение окрестности точки. Окрестностью конечной точки называется любой открытый интервал, содержащий эту точку: , где и – произвольные положительные числа.
См. «Определение окрестности точки».
Окрестностью точки называется множество ;
Окрестностью точки называется множество ,
где M – произвольное действительное число.
См. «Окрестности бесконечно удаленных точек».

Также мы будем использовать следующие обозначения для ε-окрестностей точек:
;
;
.

Определение предела последовательности. Точка является пределом последовательности , если для любой окрестности этой точки существует такое натуральное число N, что все элементы последовательности с номерами n > N принадлежат этой окрестности.
См. «Универсальное определение предела последовательности».

Свойство (*) предела последовательности. Для того, чтобы точка являлась пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы за пределами любой окрестности этой точки находилось конечное число членов последовательности или пустое множество.
См. «Определение бесконечно большой последовательности: Свойство 1».

Доказательство свойства 1

Формулировка ⇑ Действительно, поскольку последовательность сходится к числу a, то, согласно свойству (*) ⇑, за пределами любой окрестности точки a находится конечное число членов последовательности или пустое множество. Но, поскольку подпоследовательность получается из последовательности путем вычеркивания ряда ее членов, то за пределами любой окрестности точки a может находиться только конечное число членов подпоследовательности (или пустое множество). Согласно свойству (*) ⇑ это означает, что точка a является пределом подпоследовательности.

Доказательство свойства 2

Формулировка ⇑ Допустим противное. Пусть последовательность не сходится к числу a. Тогда существует такая окрестность точки a, вне которой имеется бесконечное число членов (см. «Определение отсутствия предела последовательности»). Составим из этих членов подпоследовательность . Из нее нельзя выделить подпоследовательность, сходящуюся к a, поскольку все члены подпоследовательности находятся за пределами окрестности .

Мы получили противоречие, так как по условию теоремы, из любой подпоследовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу a.
Свойство доказано.

Доказательство свойства 4

Формулировка ⇑
  1. Пусть в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности . Покажем, что из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к a.

    Возьмем произвольную окрестность точки a: . В качестве первого члена подпоследовательности возьмем любой член последовательности, принадлежащий этой окрестности.

    Возьмем более узкую окрестность: и выберем из нее второй член с номером .

    И так далее. Поскольку любая окрестность точки a содержит бесконечное число членов последовательности, то мы на k - ом шаге можем выбрать член последовательности , принадлежащий окрестности с номером .

    Так как член подпоследовательности с номером k принадлежит окрестности , то эта подпоследовательность сходится к числу a. Действительно, для любого имеется такой номер , что все члены подпоследовательности с номерами принадлежат ε - окрестности точки a.

  2. Пусть теперь точка a является частичным пределом последовательности . Это означает, что существует подпоследовательность , сходящаяся к точке a. Тогда по свойству сходящихся последовательностей, в любой окрестности точки a находится бесконечное число членов подпоследовательности.

Свойство доказано.

Доказательство теоремы 2

Формулировка ⇑

Пусть у нас имеется некоторая последовательность . Докажем, что у нее существует верхний частичный предел.

  1. Пусть последовательность неограниченна сверху. То есть для любого числа M существует член последовательности , превышающий M: . В свою очередь существует член последовательности , превышающий : . Продолжая подобные рассуждения мы приходим к выводу, что существует бесконечное число членов последовательности, превышающих M. Поскольку это утверждение справедливо для любого числа M, то в любой окрестности точки содержится бесконечное число членов последовательности . Тогда по свойству 4 ⇑, из последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к .

    В этом случае точка является верхним частичным пределом последовательности.

  2. Пусть последовательность ограничена сверху и при этом любой отрезок содержит только конечное число членов последовательности.

    В этом случае последовательность сходится к . Точка является единственным частичным пределом последовательности – как верхним, так и нижним.

  3. Пусть последовательность ограничена сверху и при этом существует отрезок , содержащий бесконечное число членов последовательности.

    В этом случае поступаем как при доказательстве теоремы Больцано – Вейерштрасса, применяя систему вложенных отрезков. Делим отрезок пополам. Если правый отрезок содержит бесконечное число членов последовательности, то следующим отрезком будет . В противном случае выбираем левый отрезок . Из отрезка выбираем первый член подпоследовательности .

    Затем делим отрезок пополам. Если в правой половине бесконечное число членов последовательности, то выбираем ее. В противном случае выбираем левую половину. Получаем отрезок . Из него выбираем второй член подпоследовательности с номером . И так далее.

    В результате получаем систему вложенных отрезков

    и подпоследовательность . Поскольку длины отрезков стремятся к нулю, то согласно лемме о вложенных отрезках, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам. Поскольку , то .

    Поскольку мы выбирали самые правые отрезки с бесконечным числом членов, то точка c является верхним частичным пределом последовательности.

Аналогичным способом можно доказать, что у последовательности существует нижний частичный предел. Для этого сначала рассматриваем последовательность, неограниченную снизу. В конце рассматриваем последовательность, ограниченную снизу и имеющую бесконечное число членов в отрезке . Только здесь, при делении отрезков, мы выбираем левый отрезок, если он содержит бесконечное число членов последовательности.

Теорема доказана.

Доказательство свойства 6

Формулировка ⇑

Пусть точка a является верхним (нижним) частичным пределом последовательности . Тогда, согласно свойству 4 ⇑, в любой окрестности этой точки, в том числе и в интервале , содержится бесконечное число членов последовательности.

Докажем, что в полуинтервале содержится конечное число членов последовательности. Допустим противное, что в этом полуинтервале содержится бесконечное число членов. Тогда по теореме Больцано – Вейерштрасса ⇑ из них можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Согласно свойствам неравенств, предел b этой подпоследовательности удовлетворяет неравенству , то есть больше (меньше) a. Возникает противоречие, поскольку a является верхним (нижним) частичным пределом последовательности.

Свойство доказано.

Доказательство теоремы 3

Формулировка ⇑

Неравенство следует из определения верхнего и нижнего частичных пределов ⇑.

Пусть последовательность сходится к числу a:  .
Тогда согласно свойству 1 ⇑?, любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому  .

Пусть  . И пусть a – конечное число. Согласно свойству 6 ⇑, для любого , интервалу не принадлежат только конечное число членов последовательности. Тогда согласно свойству (*) ⇑,
.

Пусть . Тогда, для любого конечного числа M, неравенство выполняется только для конечного числа членов . Отсюда .
Пусть . Тогда неравенство выполняется только для конечного числа членов . Поэтому .

Теорема доказана.

Доказательство свойства 9

Формулировка ⇑

Докажем, что  .
Из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
Из выберем сходящуюся подпоследовательность . Далее из выберем сходящуюся подпоследовательность .

Тогда последовательность является подпоследовательностью по отношению к . Согласно свойству 1 ⇑, их пределы равны:
.
Также и последовательность является подпоследовательностью по отношению к . Поэтому она сходится.

Применяем свойство предела суммы последовательностей и определение верхнего частичного предела ⇑:
.
Первое неравенство доказано.

Докажем второе неравенство:
.
Умножим первое неравенство на – 1:
.
Применим свойство 8 ⇑:
.

Свойство доказано.

Доказательство свойства 10

Формулировка ⇑

Из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
По условию, последовательность сходится к числу a. Тогда и ее подпоследовательность , согласно свойству 1 ⇑, также сходится к числу a. По свойству предела произведения последовательностей, последовательность сходится и
.
Поскольку , то
(10.1)   .

Аналогично предыдущему, из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
Из выберем сходящуюся подпоследовательность . Тогда
;
(10.2)   .

Из (10.1) и (10.2) следует, что
.
Свойство доказано.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано: