Методы решения физико-математических задач

Свойства бесконечно больших последовательностей

Свойства бесконечно больших последовательностей
Приводятся формулировки и доказательства свойств бесконечно больших последовательностей. Часть этих свойств связана с бесконечно малыми последовательностями.

Формулировки свойств

Свойство 1. Связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностью

Если последовательность {βn} является бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N, определена последовательность {1/βn}, которая является бесконечно малой. Если {αn} является бесконечно малой последовательностью, с отличными от нуля членами, то последовательность {1/αn} является бесконечно большой.
Доказательство ⇓

Свойство (2) о частном ограниченной и бесконечно большой последовательностью

Если последовательность {βn} бесконечно большая, с неравными нулю членами, а последовательность {xn} ограничена, то
.
Доказательство ⇓

Свойство (3) о частном ограниченной снизу и бесконечно малой последовательностью

Если абсолютные значения элементов последовательности {yn} ограничены снизу положительным числом ( |yn| ≥ K > 0), а {αn} – бесконечно малая с неравными нулю членами, то
.
Доказательство ⇓

Свойство (4) о сумме ограниченной и бесконечно большой последовательностью

Сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой является бесконечно большой последовательностью.
Доказательство ⇓

Свойство (5) неравенств бесконечно больших последовательностей

Пусть последовательность бесконечно большая. И пусть элементы последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам:
.
Тогда последовательность также бесконечно большая.
Доказательство ⇓

Это свойство имеет два частных случая, которые доказываются аналогичным способом.

Свойство (5*)
Пусть элементы последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам:
.
Тогда, если последовательность сходится к : ,
то и последовательность сходится к : .
Если последовательность сходится к : ,
то и последовательность сходится к : .

Доказательства свойств

Доказательство свойства 1. Связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностью

Формулировка ⇑

Пусть последовательность являются бесконечно большой. Это означает, что имеется некоторая функция , так что для любого положительного числа M выполняется неравенство:
(1.1)    при  .

Подставим сюда :
.
Это означает, что начиная с номера , члены последовательности имеют отличные от нуля значения и поэтому определена последовательность .

Умножим первое неравенство (1.1) на положительное число :
.
Тогда вместо (1.1) имеем:
.
Введем положительное число . Тогда любому положительному значению переменной соответствует положительное значение переменной . И предыдущее неравенство приобретает вид:
 при  .

Итак, мы нашли такую функцию , при которой для любого положительного числа выполняется неравенство:
 при  .
Это означает, что предел последовательности равен нулю. То есть она является бесконечно малой последовательностью.

Первая часть свойства доказана.

Докажем вторую часть. Пусть последовательность являются бесконечно малой с отличными от нуля членами, . Это означает, что имеется некоторая функция , так что для любого положительного числа ε выполняется неравенство:
(1.2)    при  .

Умножим первое неравенство (1.2) на положительное число :
.
Тогда вместо (1.2) имеем:
.
Подставим   :
.

Итак, мы нашли такую функцию , при которой для любого положительного числа выполняется неравенство:
 при  .
Это означает, что последовательность является бесконечно большой.

Свойство доказано.

Доказательство свойства (2) о частном ограниченной и бесконечно большой последовательностью

Формулировка ⇑

Поскольку последовательность является бесконечно большой, то, согласно свойству 1, последовательность с членами является бесконечно малой. Но произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью. См. свойство 3: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую. Поэтому
.

Свойство доказано.

Доказательство свойства (3) о частном ограниченной снизу и бесконечно малой последовательностью

Формулировка ⇑

Поскольку последовательность являются бесконечно малой, то имеется некоторая функция , так что для любого положительного числа ε выполняется неравенство:
(3.1)    при  .

Согласно определению бесконечно большой последовательности, нам нужно найти такую функцию , так что для любого положительного числа M > 0 выполняется неравенство:
(3.2)    при  .

Сделаем оценку для дроби . Подставим и . При имеем:
.
Введем положительное число . Любому положительному M соответствует положительное ε. Подставим :
.

Сравнивая с (3.2) мы видим, что нашли такую функцию , при которой для любого положительного числа выполняется (3.2).

Свойство доказано.

Доказательство свойства (4) о сумме ограниченной и бесконечно большой последовательностью

Формулировка ⇑

Пусть члены последовательности ограничены, по абсолютной величине положительным числом:
(4.1)   .

Пусть последовательность являются бесконечно большой. Это означает, что имеется некоторая функция , так что для любого положительного числа M1 выполняется неравенство:
(4.2)    при  .

Нам нужно показать, что имеется некоторая функция , так что для любого положительного числа M выполняется неравенство:
(4.3)    при  .

Подставим в (4.2) :
.
Это означает, что
(4.4)     при   .

Сделаем оценку для . При этом мы воспользуемся свойствами неравенств и применим (4.1), (4.2) и (4.4):
.
Эти неравенства выполняются при   и   . Введем число . Тогда
,
где
.

То есть мы нашли такую функцию , при которой для любого выполняется (4.3).

Свойство доказано.

Доказательство свойства (5) неравенств бесконечно больших последовательностей

Формулировка ⇑

Поскольку последовательность являются бесконечно большой, то имеется некоторая функция , так что для любого положительного числа M выполняется неравенство:
(5.1)    при  .

Пусть при выполняется неравенство . Тогда при  и  имеем:
.

Итак, мы нашли функцию , так что для любого положительного числа M выполняется неравенство:
 при  .
Это означает, что последовательность являются бесконечно большой.

Свойство доказано.

.     Опубликовано:   Изменено: