Свойства бесконечно больших последовательностей

Приводятся формулировки и доказательство свойств бесконечно больших последовательностей. Часть этих свойств связана с бесконечно малыми последовательностями.

Содержание

См. также:

Формулировки свойств

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностью

Если последовательность {β_n} является бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N , определена последовательность {1/β_n} , которая является бесконечно малой. Если {α_n} является бесконечно малой последовательностью, с отличными от нуля членами, то последовательность {1/α_n} является бесконечно большой.
Доказательство ⇓

Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательности

Сумма или разность бесконечно большой и ограниченной последовательности является бесконечно большой последовательностью:
lim_{n → ∞} (β_n ± x_n ) = ∞ ,
где lim_{n → ∞} β_n = ∞, | x_n | ≤ K .
Доказательство ⇓

Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности

Если абсолютные значения элементов последовательности {y_n} ограничены снизу положительным числом ( |y_n| ≥ K > 0), а {β_n} – бесконечно большая последовательность: lim_{n → ∞} β_n = ∞ , то их произведение является бесконечно большой последовательностью:
lim_{n → ∞} (β_n ⋅ y_n ) = ∞ .
Доказательство ⇓

Частное ограниченной и бесконечно большой последовательности

Если последовательность {β_n} бесконечно большая, с неравными нулю членами, а последовательность {x_n} ограничена, то
lim_{n → ∞} x_nβ_n = 0 .
Доказательство ⇓

Частное ограниченной снизу и бесконечно малой последовательностью

Если абсолютные значения элементов последовательности {y_n} ограничены снизу положительным числом ( |y_n| ≥ K > 0), а {α_n} – бесконечно малая с неравными нулю членами, то
lim_{n → ∞} y_nα_n = ∞ .
Доказательство ⇓

Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей

Пусть последовательность {β_n } бесконечно большая. И пусть элементы последовательности {γ_n } , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам:
| γ_n | ≥ | β_n | .
Тогда последовательность {γ_n } также бесконечно большая.
Доказательство ⇓

Это свойство имеет два частных случая, которые доказываются аналогичным способом.

Пусть элементы последовательностей {β_n } и {γ_n } , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам:
γ_n ≥ β_n .
Тогда, если последовательность {β_n } сходится к + ∞ : lim_{n → ∞} β_n = + ∞ ,
то и последовательность {γ_n } сходится к + ∞ : lim_{n → ∞} γ_n = + ∞ .
Если последовательность {γ_n } сходится к – ∞ : lim_{n → ∞} γ_n = – ∞ ,
то и последовательность {β_n } сходится к – ∞ : lim_{n → ∞} β_n = – ∞ .

Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей

Приведенные выше свойства выполняются, если последовательность {x_n } ограничена, а последовательность абсолютных членов {y_n } ограничена снизу положительным числом. При этом эти последовательности не обязательно должны иметь конечный предел, а могут расходиться. Однако, эти последовательности будут обладать указанными свойствами, если они имеют соответствующие пределы. Это позволяет сформулировать арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

Пусть существуют пределы lim_{n → ∞} x_n = a и lim_{n → ∞} y_n = b числовых последовательностей {x_n } и {y_n } . Причем a ≠ ∞, b ≠ 0 . И пусть последовательность {α_n } бесконечно малая: lim_{n → ∞} α_n = 0 , а последовательность {β_n } бесконечно большая: lim_{n → ∞} β_n = ∞ .
Тогда существует пределы суммы и разности:
lim_{n → ∞} (β_n ± x_n ) = ∞ ;
существуют пределы произведений:
lim_{n → ∞} (α_n ⋅ x_n ) = 0, lim_{n → ∞} (β_n ⋅ y_n ) = ∞ ;
существуют пределы частного:
lim_{n → ∞} y_nα_n = ∞ при α_n ≠ 0 ,
lim_{n → ∞} x_nβ_n = 0 при β_n ≠ 0 .

Действительно, если последовательность {x_n } сходится к конечному числу, то она ограничена (см. «Теорема об ограниченности последовательности, имеющей конечный предел»).
Если последовательность {y_n } сходится к конечному числу b , отличному от нуля, то lim_{n → ∞} | y_n | > | b | / 2 . Тогда, начиная с некоторого номера, | y_n | > | b | / 2 (см. «Теорема о последовательностях, пределы которых связаны неравенством»). Конечное число членов мы можем отбросить. Это никак не влияет на сходимость (см. «Влияние конечного числа элементов на сходимость»).
Таким образом, при указанных значениях пределов последовательностей {x_n } и {y_n } , выполняются условия, применяемые при доказательстве приведенных выше свойств.

Доказательство свойств

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностью

Все свойства ⇑ Если последовательность {β_n} является бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N , определена последовательность {1/β_n} , которая является бесконечно малой. Если {α_n} является бесконечно малой последовательностью, с отличными от нуля членами, то последовательность {1/α_n} является бесконечно большой.

Доказательство

Пусть последовательность {β_n } являются бесконечно большой. Это означает, что имеется некоторая функция N_β (M ) , так что для любого положительного числа M выполняется неравенство:
(1.1) | β_n | > M при n > N_β (M ) .

Подставим сюда M = 0 :
| β_n | > 0; n > N_β (0 ) .
Это означает, что начиная с номера n = N_β (0 ) + 1 , члены последовательности имеют отличные от нуля значения и поэтому определена последовательность {1 / β_n } .

Умножим первое неравенство (1.1) на положительное число 1M | β_n | :
1M > 1 | β_n | .
Тогда вместо (1.1) имеем:
1 | β_n | < 1M ; n > N_β (M ) .
Введем положительное число ε = 1 / M . Тогда любому положительному значению переменной ε соответствует положительное значение переменной M = 1ε . И предыдущее неравенство приобретает вид:
| 1β_n | < ε при n > N_β (1 / ε ) .

Итак, мы нашли такую функцию N(ε ) = max (N_β (1 / ε ), N_β (0 )) , при которой для любого положительного числа ε > 0 выполняется неравенство:
| 1β_n – 0 | < ε при n > N(ε ) .
Это означает, что предел последовательности {1 / β_n } равен нулю. То есть она является бесконечно малой последовательностью.

Первая часть свойства доказана.

Докажем вторую часть. Пусть последовательность {α_n } являются бесконечно малой с отличными от нуля членами, α_n ≠ 0 . Это означает, что имеется некоторая функция N_α (ε ) , так что для любого положительного числа ε выполняется неравенство:
(1.2) | α_n | < ε при n > N_α (ε ) .

Умножим первое неравенство (1.2) на положительное число 1ε | α_n | :
1ε < 1 | α_n | .
Тогда вместо (1.2) имеем:
1 | α_n | > 1ε ; n > N_α (ε ) .
Подставим ε = 1M :
1 | α_n | > M; n > N_α (1 / M ) .

Итак, мы нашли такую функцию N(M ) = N_α (1 / M ) , при которой для любого положительного числа M > 0 выполняется неравенство:
| 1α_n | > M при n > N(M ) .
Это означает, что последовательность {1 / α_n } является бесконечно большой.

Свойство доказано.

Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательности

Все свойства ⇑ Сумма или разность бесконечно большой и ограниченной последовательности является бесконечно большой последовательностью:
lim_{n → ∞} (β_n ± x_n ) = ∞ ,
где lim_{n → ∞} β_n = ∞, | x_n | ≤ K .

Доказательство

Пусть члены последовательности {x_n } ограничены, по абсолютной величине положительным числом:
(2.1) | x_n | ≤ K .

Пусть последовательность {β_n } являются бесконечно большой. Это означает, что имеется некоторая функция N_β (M₁ ) , так что для любого положительного числа M₁ выполняется неравенство:
(2.2) | β_n | > M₁ при n > N_β (M₁ ) .

Нам нужно показать, что имеется некоторая функция N(M ) , так что для любого положительного числа M выполняется неравенство:
(2.3) | β_n ± x_n | > M при n > N(M ) .

Подставим в (2.2) M₁ = K :
| β_n | > K; n > N_β (K ) .
Это означает, что
(2.4) | β_n | > | x_n | при n > N_β (K ) .

Сделаем оценку для | β_n ± x_n | . При этом мы воспользуемся свойствами неравенств и применим (2.1), (2.2) и (2.4):
| β_n ± x_n | = √ (β_n ± x_n )² = √ β²_n ± 2β_n x_n + x²_n ≥ √ | β_n | ² – 2 | β_n | | x_n | + | x_n | ² =
√ ( | β_n | – | x_n | )² = | | β_n | – | x_n | | = | β_n | – | x_n | ≥ | β_n | – K > M₁ – K .
Эти неравенства выполняются при n > N_β (K ) и n > N_β (M₁ ) . Введем число M = M₁ – K . Тогда
| β_n ± x_n | > M при n > N(M ) ,
где
N(M ) = max (N_β (K ), N_β (M + K )) .

То есть мы нашли такую функцию N(M ) , при которой для любого M > 0 выполняется (4.3).

Свойство доказано.

Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности

Все свойства ⇑ Если абсолютные значения элементов последовательности {y_n} ограничены снизу положительным числом ( |y_n| ≥ K > 0), а {β_n} – бесконечно большая последовательность: lim_{n → ∞} β_n = ∞ , то их произведение является бесконечно большой последовательностью:
lim_{n → ∞} (β_n ⋅ y_n ) = ∞ .

Доказательство

Поскольку последовательность {β_n } являются бесконечно большой, то имеется некоторая функция N_β (M₁ ) , так что для любого положительного числа M₁ выполняется неравенство:
(3.1) | β_n | > M₁ при n > N_β (M₁ ) .

Согласно определению бесконечно большой последовательности, нам нужно найти такую функцию N(M ) , так что для любого положительного числа M > 0 выполняется неравенство:
(3.2) | β_n ⋅ y_n | > M при n > N(M ) .

Сделаем оценку произведения | β_n ⋅ y_n | . Подставим | y_n | ≥ K и | β_n | > M₁ . При n > N_β (M₁ ) имеем:
| β_n ⋅ y_n | = | β_n | ⋅ | y_n | > M₁ ⋅ K; n > N_β (M₁ ) .
Введем положительное число M = M₁ ⋅ K . Любому положительному M соответствует положительное M₁ . Подставим M₁ = M / K :
| β_n ⋅ y_n | > M; n > N_β (M / K ) .

Сравнивая с (3.2) мы видим, что нашли такую функцию N(M ) = N_β (M / K ) , при которой для любого положительного числа M > 0 выполняется (3.2).

Свойство доказано.

Частное ограниченной и бесконечно большой последовательности

Все свойства ⇑ Если последовательность {β_n} бесконечно большая, с неравными нулю членами, а последовательность {x_n} ограничена, то
lim_{n → ∞} x_nβ_n = 0 .

Доказательство

Поскольку последовательность {β_n } является бесконечно большой, то, согласно свойству 1, последовательность с членами α_n = 1 / β_n является бесконечно малой. Но произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью. См. «Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую». Поэтому
lim_{n → ∞} x_nβ_n = lim_{n → ∞} ( x_n α_n ) = 0 .

Свойство доказано.

Частное ограниченной снизу и бесконечно малой последовательностью

Все свойства ⇑ Если абсолютные значения элементов последовательности {y_n} ограничены снизу положительным числом ( |y_n| ≥ K > 0), а {α_n} – бесконечно малая с неравными нулю членами, то
lim_{n → ∞} y_nα_n = ∞ .

Доказательство

Поскольку последовательность {α_n } являются бесконечно малой, то имеется некоторая функция N_α (ε ) , так что для любого положительного числа ε выполняется неравенство:
(5.1) | α_n | < ε при n > N_α (ε ) .

Согласно определению бесконечно большой последовательности, нам нужно найти такую функцию N(M ) , так что для любого положительного числа M > 0 выполняется неравенство:
(5.2) | y_nα_n | > M при n > N(M ) .

Сделаем оценку для дроби | y_nα_n | . Подставим | y_n | ≥ K и | α_n | < ε . При n > N_α (ε ) имеем:
| y_nα_n | = | y_n | | α_n | > Kε ; n > N_α (ε ) .
Введем положительное число M = K / ε . Любому положительному M соответствует положительное ε . Подставим ε = K / M :
| y_nα_n | > M; n > N_α (K / M ) .

Сравнивая с (5.2) мы видим, что нашли такую функцию N(M ) = N_α (K / M ) , при которой для любого положительного числа M > 0 выполняется (5.2).

Свойство доказано.

Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей

Все свойства ⇑ Пусть последовательность {β_n } бесконечно большая. И пусть элементы последовательности {γ_n } , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам:
| γ_n | ≥ | β_n | .
Тогда последовательность {γ_n } также бесконечно большая.

Доказательство

Поскольку последовательность {β_n } являются бесконечно большой, то имеется некоторая функция N_β (M ) , так что для любого положительного числа M выполняется неравенство:
| β_n | > M при n > N_β (M ) .

Пусть при n > N₀ выполняется неравенство | γ_n | ≥ | β_n | . Тогда при n > N₀ и n > N_β (M ) имеем:
| γ_n | ≥ | β_n | > M .

Итак, мы нашли функцию N(M ) = max (N₀ , N_β (M )) , так что для любого положительного числа M выполняется неравенство:
| γ_n | > M при n > N(M ) .
Это означает, что последовательность {γ_n } являются бесконечно большой.

Свойство доказано.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 16-09-2017 Изменено: 19-12-2019

См. также: