Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши – Кантора)

Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши – Кантора)

Для любой последовательности вложенных отрезков (1)
существует точка , принадлежащая всем этим отрезкам.
Если длины отрезков стремятся к нулю:
,
то такая точка единственная.

Доказательство

Доказательство первой части леммы

Воспользуемся аксиомой полноты действительных чисел.

Аксиома полноты действительных чисел заключается в следующем. Пусть множества A и B есть два подмножества действительных чисел , таких что для любых двух элементов и этих множеств выполняется неравенство . Тогда существует такое действительное число c, что для всех и выполняются неравенства:
.

Применим эту аксиому. Пусть множество A есть множество левых концов отрезков, а множество B – правых. Тогда между двумя любыми элементами этих множеств выполняется неравенство . Тогда из аксиомы полноты действительных чисел следует, что существует такое число c, что для всех n выполняются неравенства:
.
Оно и означает, что точка c принадлежит всем отрезкам.

Доказательство второй части леммы

Пусть . В соответствии с определением предела последовательности, это означает, что для любого положительного числа существует такое натуральное число N, зависящее от ε, что для всех натуральных n > N выполняется неравенство
(2)   .

Допустим противное. Пусть существует две различные точки c₁ и c₂, c₁ ≠ c₂, принадлежащие всем отрезкам. Это означает, что для всех n выполняются следующие неравенства:
;
.
Отсюда
.
Применяя (2) имеем:
.
Это неравенство должно выполняться для любых положительных значений ε. Отсюда следует, что
c₁ = c₂.

Лемма доказана.