Методы решения физико-математических задач

Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши – Кантора)

Лемма о вложенных отрезках.
Определение вложенных отрезков. Доказательство леммы Коши – Кантора о вложенных отрезках.

Определение вложенных отрезков

Пусть a и b – два действительных числа (). И пусть . Множество чисел x, удовлетворяющих неравенствам , называется отрезком с концами a и b. Отрезок обозначается так: .

Вложенные отрезки
Последовательность числовых отрезков
(1)  
называется последовательностью вложенных отрезков, если каждый последующий отрезок содержится в предыдущем:
.
То есть концы отрезков связаны неравенствами:
.

Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши – Кантора)

Для любой последовательности вложенных отрезков (1)
существует точка , принадлежащая всем этим отрезкам.
Если длины отрезков стремятся к нулю:
,
то такая точка единственная.

Эту лемму также называют теоремой о вложенных отрезках или принципом Коши – Кантора.

Доказательство

Доказательство первой части леммы

Последовательности и монотонны и ограничены. Поэтому по теореме Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности, они имеют пределы
(1)   .
Причем для всех n
(2)   .

Возможны три варианта.
1.
2.
3.

1. При , в силу (2), любая точка принадлежит всем отрезкам .

2. При , также в силу (2), точка принадлежит всем отрезкам .

3. Докажем, что третьего случая не существует. Предположим противное. Пусть . Возьмем произвольную точку , принадлежащую интервалу . Согластно определению предела последовательности, в силу (1), существует такое число , так что для всех , выполняются неравенства:
.
Воспользуемся тем, что . Тогда в этих неравенствах можно раскрыть знаки модуля:
.
Отсюда , или
,
что противоречит условию вложенности .

Доказательство второй части леммы

Пусть . В соответствии с определением предела последовательности, это означает, что для любого положительного числа существует такое натуральное число N, зависящее от ε, что для всех натуральных n > N выполняется неравенство
(3)   .

Допустим противное. Пусть существует две различные точки c1 и c2, c1 ≠ c2, принадлежащие всем отрезкам. Это означает, что для всех n выполняются следующие неравенства:
;
.
Отсюда
.
Применяя (3) имеем:
.
Это неравенство должно выполняться для любых положительных значений ε. Отсюда следует, что
c1 = c2.

Лемма доказана.

Замечания

1. Существование точки, принадлежащей всем отрезкам, вытекает из определения действительного числа, как предела последовательности рациональных чисел. То есть и являются действительными числами, и могут быть иррациональными. Поэтому к множеству рациональных чисел, лемма о вложенных отрезках не применима.

Например, мы могли бы выбрать отрезки так, чтобы и левые и правые концы сходились к иррациональному числу . Тогда любое рациональное число, при увеличении n, всегда выпадало бы из системы отрезков. Единственное число, которое принадлежит всем отрезком – это иррациональное число .

2. Первую часть леммы можно доказать другим способом, воспользовавшись аксиомой полноты действительных чисел.

Аксиома полноты действительных чисел заключается в следующем. Пусть множества A и B есть два подмножества действительных чисел , таких что для любых двух элементов и этих множеств выполняется неравенство . Тогда существует такое действительное число c, что для всех и выполняются неравенства:
.

Применим эту аксиому. Пусть множество A есть множество левых концов отрезков, а множество B – правых. Тогда между двумя любыми элементами этих множеств выполняется неравенство . Тогда из аксиомы полноты действительных чисел следует, что существует такое число c, что для всех n выполняются неравенства:
.
Оно и означает, что точка c принадлежит всем отрезкам.

Использованная литература:
О.В. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

Меню