Методы решения физико-математических задач

Арифметические свойства конечных пределов последовательностей

Арифметические свойства конечных пределов последовательностей
Приводятся формулировки и доказательства арифметических свойств последовательностей, имеющих конечный предел. Сюда входят предел суммы, разности, произведения и частного числовых последовательностей.

Формулировки арифметических свойств

Пусть существуют конечные пределы   и    числовых последовательностей {xn} и {yn}. Тогда существуют пределы суммы, разности и произведения последовательностей, которые равны, соответственно, сумме, разности и произведению их пределов. Если  b ≠ 0  и  yn ≠ 0  для всех n, то существует предел частного последовательностей, равный частному пределов:
(1)   ;   Доказательство ⇓
(2)   ;   Доказательство ⇓
(3)   ,   если и ;   Доказательство ⇓
(4)   .   Доказательство ⇓
Здесь C – постоянная, то есть заданное число.

Если , то .   Доказательство ⇓

Формулировки всех определений, теорем и свойств сходящихся последовательностей собраны на странице
Предел последовательности – основные теоремы и свойства.

Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей

Подобные свойства имеются и когда предел одной из последовательностей равен бесконечности. Ниже мы приводим эти свойства. Их доказательство изложено на странице «Свойства бесконечно больших последовательностей».

Пусть существуют пределы и числовых последовательностей и . Причем . И пусть последовательность бесконечно малая: , а последовательность бесконечно большая: .
Тогда существует пределы суммы и разности:
;
существуют пределы произведений:
;
существуют пределы частного:
  при ,
  при .

Эти свойства выполняются и в случае, если последовательности и не имеют пределов. При этом последовательность должна быть ограниченной: , а абсолютные величины элементов последовательности должны быть ограничены снизу положительным числом: .

Доказательство арифметических свойств

При доказательстве свойств, мы будем использовать определение предела последовательности:
.

Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что для любого положительного числа ε1 выполняется неравенство:
(5)    при  .

Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что для любого положительного числа ε2 выполняется неравенство:
(6)    при  .

Теорема о пределе суммы и разности числовых последовательностей

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы   и   последовательностей и . Тогда существуют пределы суммы и разности последовательностей {xn ± yn}, и они равны сумме и разности их пределов:
(1)   .

Доказательство

Чтобы доказать свойство суммы и разности (1), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:
(1.1)    при  .
При этом мы имеем функции и , при которых выполняются неравенства (5) и (6), для любых положительных и .

Воспользуемся известным неравенством
.
Преобразуем модуль разности в (1.1) и применим (5) и (6):
.
Последнее неравенство справедливо при   и  . Положим . Тогда, при   и  ,
.
Пусть, при заданном ε,   есть наибольшее из чисел   и  . Тогда
 при  .

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:
(1.1)    при  .
Это и означает, что число a ± b является пределом последовательности .
Свойство доказано.

Теорема о пределе произведения числовых последовательностей

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы   и   числовых последовательностей и . Тогда существует предел произведения последовательностей {xn· yn}, и он равен произведению их пределов:
(2)   .

Доказательство

Для доказательства свойства произведения (2), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство
(2.1)    при  .
При этом мы имеем функции и , при которых, для любых положительных и , выполняются неравенства (5) и (6):
(5)    при  ;
(6)    при  .

Преобразуем модуль разности в (2.1), применяя свойства неравенств:

.
Поскольку последовательность имеет конечный предел, то она ограничена некоторым положительным числом My: (см. Основные свойства пределов последовательностей). Применим (5) и (6). Тогда
.
Положим . Тогда при   и  ,
.
Пусть, при заданном ε,   есть наибольшее из чисел   и  . Тогда
 при  .

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:
(2.1)    при  .
Это и означает, что число    является пределом последовательности .
Свойство доказано.

Теорема о вынесении постоянной за знак предела

Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел   числовой последовательности . И пусть последовательность образована из , умножением ее на постоянное число C. Тогда постоянную C можно выносить за знак предела:
(4)   .

Доказательство

Это свойство является следствием свойства произведения последовательностей. Для доказательства рассмотрим последовательность, все элементы которой равны числу C: . Предел этой последовательности равен этому числу:

(см. Основные свойства пределов последовательностей).

Применим свойство произведения последовательностей:
.
Свойство доказано.

Теорема о пределе частного числовых последовательностей

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы   и   числовых последовательностей и . Причем   и    для всех n. Тогда существует предел частного последовательностей {xn / y}, и он равен частному их пределов:
(3)   .

Доказательство

Для доказательства свойства частного (3), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного , выполняется неравенство:
(3.1)    при  .
При этом мы имеем функции и , при которых, для любых положительных и , выполняются неравенства (5) и (6):
(5)    при  ;
(6)    при  .

Преобразуем модуль разности в (3.1), применяя свойства неравенств:

.
Тем самым мы получили следующую оценку:
(3.2)   .

Сделаем оценку для . Подставим в (6) :
 при  .
Заметим, что есть расстояние между точками и на числовой прямой. Поскольку расстояние между точками и равно а расстояние между точками и меньше : , то расстояние между точками и больше :
, или
.
Это неравенство можно получить и другим способом. Применяя свойства неравенств и соотношение имеем:
;
;
.
Итак, мы нашли, что
 при  ,
где . Тогда
(3.3)    при  .

Подставим (5), (6) и (3.3) в (3.2):
.
Это неравенство выполняется при одновременном выполнении трех неравенств:
.
Подставим ,   . И пусть обозначает максимальное из чисел . Тогда
.

То есть мы нашли такую функцию
,
при которой, для любого положительного , выполняется неравенство
(3.1)    при  .
Это и означает, что число a/b является пределом последовательности .
Свойство доказано.

Теорема о пределе абсолютного значения элементов последовательности

Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел   числовой последовательности . И пусть последовательность составлена из элементов , взятых по абсолютной величине. Тогда
.

Доказательство

Для доказательства этого свойства, нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного , выполняется неравенство:
 при  .
При этом у нас есть функция , при которой выполняется неравенство (5):
(5)    при  .

Воспользуемся известным неравенством:

и применим (5):
.
Последнее выполняется при .
То есть мы можем взять .

Итак, для любого ,
 при  .
Свойство доказано.

.     Опубликовано:

Меню