Арифметические свойства конечных пределов последовательностей
Формулировки арифметических свойств
Пусть существуют конечные пределы и числовых последовательностей {xn} и {yn}. Тогда существуют пределы суммы, разности и произведения последовательностей, которые равны, соответственно, сумме, разности и произведению их пределов. Если b ≠ 0 и yn ≠ 0 для всех n, то существует предел частного последовательностей, равный частному пределов:
(1) ; Доказательство ⇓
(2) ; Доказательство ⇓
(3) , если и ; Доказательство ⇓
(4) . Доказательство ⇓
Здесь C – постоянная, то есть заданное число.
Если , то . Доказательство ⇓
Формулировки всех определений, теорем и свойств сходящихся последовательностей собраны на странице
Предел последовательности – основные теоремы и свойства.
Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей
Подобные свойства имеются и когда предел одной из последовательностей равен бесконечности. Ниже мы приводим эти свойства. Их доказательство изложено на странице «Свойства бесконечно больших последовательностей».
Пусть существуют пределы и числовых последовательностей и . Причем . И пусть последовательность бесконечно малая: , а последовательность бесконечно большая: .
Тогда существует пределы суммы и разности:
;
существуют пределы произведений:
;
существуют пределы частного:
при ,
при .
Эти свойства выполняются и в случае, если последовательности и не имеют пределов. При этом последовательность должна быть ограниченной: , а абсолютные величины элементов последовательности должны быть ограничены снизу положительным числом: .
Доказательство арифметических свойств
При доказательстве свойств, мы будем использовать определение предела последовательности:
.
Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что для любого положительного числа ε1 выполняется неравенство:
(5) при .
Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что для любого положительного числа ε2 выполняется неравенство:
(6) при .
Теорема о пределе суммы и разности числовых последовательностей
Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы и последовательностей и . Тогда существуют пределы суммы и разности последовательностей {xn ± yn}, и они равны сумме и разности их пределов:
(1) .
Доказательство
Чтобы доказать свойство суммы и разности (1), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:
(1.1) при .
При этом мы имеем функции и , при которых выполняются неравенства (5) и (6), для любых положительных и .
Воспользуемся известным неравенством
.
Преобразуем модуль разности в (1.1) и применим (5) и (6):
.
Последнее неравенство справедливо при и . Положим . Тогда, при и ,
.
Пусть, при заданном ε, есть наибольшее из чисел и . Тогда
при .
То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:
(1.1) при .
Это и означает, что число a ± b является пределом последовательности .
Свойство доказано.
Теорема о пределе произведения числовых последовательностей
Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы и числовых последовательностей и . Тогда существует предел произведения последовательностей {xn· yn}, и он равен произведению их пределов:
(2) .
Доказательство
Для доказательства свойства произведения (2), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство
(2.1) при .
При этом мы имеем функции и , при которых, для любых положительных и , выполняются неравенства (5) и (6):
(5) при ;
(6) при .
Преобразуем модуль разности в (2.1), применяя свойства неравенств:
.
Поскольку последовательность имеет конечный предел, то она ограничена некоторым положительным числом My: (см. Основные свойства пределов последовательностей). Применим (5) и (6). Тогда
.
Положим . Тогда при и ,
.
Пусть, при заданном ε, есть наибольшее из чисел и . Тогда
при .
То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:
(2.1) при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Свойство доказано.
Теорема о вынесении постоянной за знак предела
Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел числовой последовательности . И пусть последовательность образована из , умножением ее на постоянное число C. Тогда постоянную C можно выносить за знак предела:
(4) .
Доказательство
Это свойство является следствием свойства произведения последовательностей. Для доказательства рассмотрим последовательность, все элементы которой равны числу C: . Предел этой последовательности равен этому числу:
(см. Основные свойства пределов последовательностей).
Применим свойство произведения последовательностей:
.
Свойство доказано.
Теорема о пределе частного числовых последовательностей
Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы и числовых последовательностей и . Причем и для всех n. Тогда существует предел частного последовательностей {xn / y}, и он равен частному их пределов:
(3) .
Доказательство
Для доказательства свойства частного (3), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного , выполняется неравенство:
(3.1) при .
При этом мы имеем функции и , при которых, для любых положительных и , выполняются неравенства (5) и (6):
(5) при ;
(6) при .
Преобразуем модуль разности в (3.1), применяя свойства неравенств:
.
Тем самым мы получили следующую оценку:
(3.2) .
Сделаем оценку для . Подставим в (6) :
при .
Заметим, что есть расстояние между точками и на числовой прямой. Поскольку расстояние между точками и равно а расстояние между точками и меньше : , то расстояние между точками и больше :
, или
.
Это неравенство можно получить и другим способом. Применяя свойства неравенств и соотношение имеем:
;
;
.
Итак, мы нашли, что
при ,
где . Тогда
(3.3) при .
Подставим (5), (6) и (3.3) в (3.2):
.
Это неравенство выполняется при одновременном выполнении трех неравенств:
.
Подставим , . И пусть обозначает максимальное из чисел . Тогда
.
То есть мы нашли такую функцию
,
при которой, для любого положительного , выполняется неравенство
(3.1) при .
Это и означает, что число a/b является пределом последовательности .
Свойство доказано.
Теорема о пределе абсолютного значения элементов последовательности
Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел числовой последовательности . И пусть последовательность составлена из элементов , взятых по абсолютной величине. Тогда
.
Доказательство
Для доказательства этого свойства, нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного , выполняется неравенство:
при .
При этом у нас есть функция , при которой выполняется неравенство (5):
(5) при .
Воспользуемся известным неравенством:
и применим (5):
.
Последнее выполняется при .
То есть мы можем взять .
Итак, для любого ,
при .
Свойство доказано.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: