Свойства пределов последовательностей, связанных неравенствами
Формулировки свойств и теорем
Теорема о пределе последовательности, ограниченной с одной стороны
Пусть последовательность {xn} имеет конечный предел a: . И пусть элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b). Тогда и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).
Доказательство ⇓
Следствие о пределе последовательности, ограниченной с двух сторон
Пусть последовательность {xn} имеет конечный предел a: . И пусть элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту) b ≤ xn ≤ c. Тогда и предел a также принадлежит этому интервалу: b ≤ a ≤ c.
Это свойство является следствием теоремы 1.
Следствие о пределах последовательностей, связанных неравенствами
Пусть последовательности {xn} и {yn} имеют конечные пределы a и b: и . И пусть элементы этих последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ yn. Тогда a ≤ b.
Доказательство ⇓
Аналогичное свойство имеется и для бесконечно больших последовательностей.
Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей
Если и, начиная с некоторого номера,
, то
.
Доказательство
В частности, если, начиная с некоторого номера,
, то
если , то ;
если , то .
Теорема о промежуточной последовательности
Пусть последовательности {xn} и {zn} сходятся к одному конечному числу a: . И пусть элементы последовательности {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам xn ≤ yn ≤ zn, то есть находятся в промежутке между элементами последовательностей {xn} и {zn}. Тогда эта последовательность также сходится к числу a: .
Доказательство, Примеры.
Теорема о последовательностях, пределы которых связаны неравенством
Пусть последовательности {xn} и {yn} имеют конечные пределы a и b: и . Если a < b, то найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство xn < yn.
Доказательство ⇓
Доказательство свойств
Теорема о пределе последовательности, ограниченной с одной стороны
Все свойства ⇑ Пусть последовательность {xn} имеет конечный предел a: . И пусть элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b). Тогда и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).
Доказательство
1) Рассмотрим случай .
Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что, для любого положительного числа ε > 0, выполняется система неравенств:
(1) .
По условию теоремы, начиная с некоторого номера, . Предположим противное, что . Тогда – положительное число. Подставим в (1) :
.
Раскроем знак модуля и преобразуем:
;
.
То есть мы получили, что для всех номеров n, больших чем , должно выполняться неравенство . Но это противоречит исходному утверждению, что начиная с некоторого номера, .
2) Рассмотрим случай .
Можно построить доказательство, как и для первого случая, но мы воспользуемся полученным выше результатом. Умножим неравенство на –1:
.
Рассмотрим последовательность . Ее элементы, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству .
На основании арифметических свойств, последовательность имеет предел
.
Тогда, на основании первой части этой теоремы, . Или
;
.
Теорема доказана.
Примечание
Если элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют строгому неравенству , то предел a последовательности все равно удовлетворяет нестрогому неравенству .
Например, члены последовательности больше нуля: .
Но .
Следствие о пределах последовательностей, связанных неравенствами
Все свойства ⇑ Пусть последовательности {xn} и {yn} имеют конечные пределы a и b: и . И пусть элементы этих последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ yn. Тогда a ≤ b.
Доказательство
Это свойство также является следствием теоремы о пределе последовательности, ограниченной с одной стороны ⇑.
Для доказательства рассмотрим последовательность с общим членом . Тогда, начиная с некоторого номера, . На основании теоремы 1:
.
На основании арифметических свойств пределов:
.
Тогда
;
.
Теорема о последовательностях, пределы которых связаны неравенством
Все свойства ⇑ Пусть последовательности {xn} и {yn} имеют конечные пределы a и b: и . Если a < b, то найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство xn < yn.
Доказательство
Рассмотрим последовательность с элементами
.
Согласно арифметическим свойствам, эта последовательность сходится, и ее предел равен
.
Это означает, что имеется функция такая, что для любого положительного числа ε > 0 выполняется система неравенств:
(5.1) .
По условию . Подставим в (5.1) и введем обозначение . Тогда при имеем:
;
;
.
Поскольку , то
.
Или
.
То есть при ,
.
Теорема доказана.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: