Методы решения физико-математических задач

Свойства пределов последовательностей, связанных неравенствами

Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами
Приводятся формулировки и доказательства теорем и свойств числовых последовательностей, элементы которых связаны неравенствами, включая теорему о промежуточных последовательностях. Предполагается, что последовательности имеют конечные пределы.

Свойство 1. Теорема 1

Пусть последовательность {xn} имеет конечный предел a:  . И пусть элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b). Тогда и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).
Доказательство ⇓

Свойство 2. Следствие 1 Теоремы 1

Пусть последовательность {xn} имеет конечный предел a:  . И пусть элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту)  b ≤ xn ≤ c. Тогда и предел a также принадлежит этому интервалу:  b ≤ a ≤ c.

Это свойство является следствием теоремы 1.

Свойство 3. Следствие 2 Теоремы 1

Пусть последовательности {xn} и {yn} имеют конечные пределы a и b:    и  . И пусть элементы этих последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству   xn ≤ yn. Тогда   a ≤ b.
Доказательство ⇓

Свойство 4. Теорема о промежуточных последовательностях

Пусть последовательности {xn} и {zn} сходятся к одному числу a:   . И пусть элементы последовательности {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам   xn ≤ yn ≤ zn, то есть находятся в промежутке между элементами последовательностей {xn} и {zn}. Тогда эта последовательность также сходится к числу a:   .
Доказательство ⇓

Свойство 5. Теорема 3.

Пусть последовательности {xn} и {yn} имеют конечные пределы a и b:    и  . Если a < b, то найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство xn < yn.
Доказательство ⇓

Доказательства свойств

Доказательство свойства 1

Формулировка ⇑

1) Рассмотрим случай .

Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что, для любого положительного числа ε > 0, выполняется система неравенств:
(1)   .

По условию теоремы, начиная с некоторого номера, . Предположим противное, что . Тогда – положительное число. Подставим в (1) :
.
Раскроем знак модуля и преобразуем:
;
.

То есть мы получили, что для всех номеров n, больших чем , должно выполняться неравенство . Но это противоречит исходному утверждению, что начиная с некоторого номера, .

2) Рассмотрим случай .

Можно построить доказательство, как и для первого случая, но мы воспользуемся полученным выше результатом. Умножим неравенство   на  –1:
.
Рассмотрим последовательность . Ее элементы, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству .
На основании арифметических свойств, последовательность имеет предел
.
Тогда, на основании первой части этой теоремы, . Или
;
.

Теорема доказана.

Примечание

Если элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют строгому неравенству , то предел a последовательности все равно удовлетворяет нестрогому неравенству .

Например, члены последовательности больше нуля:  .
Но .

Доказательство свойства 3

Формулировка ⇑

Это свойство также является следствием теоремы 1 ⇑.

Для доказательства рассмотрим последовательность с общим членом . Тогда, начиная с некоторого номера, . На основании теоремы 1:
.
На основании арифметических свойств пределов:
.
Тогда
;
.

Доказательство теоремы о промежуточных последовательностях

Формулировка ⇑

Поскольку существуют пределы и , то, согласно определению предела последовательности, имеются функции и такие, что для любого положительного числа ε > 0 выполняются следующие неравенства:
  при  ;
  при  .
По условию, имеется некоторое число n0. Так что при выполняются неравенства:
.

Выберем произвольное положительное значение переменной ε. Пусть означает наибольшее из чисел , и . Тогда при выполняются следующие неравенства:
(4.1)   ;
(4.2)   ;
(4.3)   .

Из (4.1) и (4.2) следует, что
;
.
Учитывая (4.3), имеем:
;
.
Отсюда
.
Или
.

Итак, мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняются неравенства:
.
Это означает, что последовательность имеет предел и он равен a:
.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3

Формулировка ⇑

Рассмотрим последовательность с элементами
.
Согласно арифметическим свойствам, эта последовательность сходится, и ее предел равен
.
Это означает, что имеется функция такая, что для любого положительного числа ε > 0 выполняется система неравенств:
(5.1)   .

По условию  . Подставим в (5.1)    и введем обозначение . Тогда при имеем:
;
;
.
Поскольку  , то
.

Или
.
То есть при ,
.

Теорема доказана.

.     Опубликовано: