Монотонные последовательности
Определение монотонной последовательности
- Монотонная последовательность
- – это неубывающая или невозрастающая последовательность.
См. Определение числовой последовательности - Строго возрастающая последовательность
- – это последовательность, для всех элементов которой выполняются неравенства:
xn + 1 > xn .
Аналогичными неравенствами определяются другие монотонные последовательности.
- Строго убывающая последовательность
- xn + 1 < xn .
- Неубывающая последовательность
- xn + 1 ≥ xn .
- Невозрастающая последовательность
- xn + 1 ≤ xn .
Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.
Свойства
Монотонная последовательность {xn } ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением x1 . Неубывающая последовательность ограничена снизу: xn ≥ x1 . Невозрастающая последовательность ограничена сверху: xn ≤ x1 .
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Пусть {xn} – монотонная ограниченная последовательность.Тогда она имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup {xn} для неубывающей и точной нижней границе, inf {xn} для невозрастающей последовательности.
Пусть {xn} – монотонная неограниченная последовательность.
Тогда она имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, + ∞ для неубывающей и минус бесконечности, – ∞ для невозрастающей последовательности.
Доказательство
Применение
Пример
Все примеры Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
x1 = √ 12 , x2 = √ 12 + √ 12 , . . . , xn = √ 12 + √ 12 + ... + √ 12 n корней , . . .
После чего найти ее предел.
Решение
Число e
Последовательность с общим членом
xn = ( 1 + 1n ) n
имеет конечный предел. Этот предел называется числом e.
Доказательство
Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши – Кантора)
Для любой последовательности вложенных отрезков[a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...
существует точка c ∈ R , принадлежащая всем этим отрезкам.
Если длины отрезков стремятся к нулю:
limn → ∞ (bn – an ) = 0 ,
то такая точка единственная.
Доказательство
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: