Методы решения физико-математических задач

Монотонные последовательности

Предел монотонной последовательности
Определение и основные свойства монотонной последовательности. Предел ограниченной и неограниченной монотонной последовательности.
Содержание
См. также:

Определение монотонной последовательности

Монотонная последовательность
– это неубывающая или невозрастающая последовательность.
См. Определение числовой последовательности
Строго возрастающая последовательность
– это последовательность, для всех элементов которой выполняются неравенства:
.

Аналогичными неравенствами определяются другие монотонные последовательности.

Строго убывающая последовательность
.
Неубывающая последовательность
.
Невозрастающая последовательность
.

Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.

Свойства

Монотонная последовательность ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением . Неубывающая последовательность ограничена снизу:   . Невозрастающая последовательность ограничена сверху:   .

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

Пусть {xn} – монотонная ограниченная последовательность.
Тогда она имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup {xn} для неубывающей и точной нижней границе, inf {xn} для невозрастающей последовательности.
Пусть {xn} – монотонная неограниченная последовательность.
Тогда она имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.
Доказательство

Применение

Пример

Все примеры Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
,   ,   . . . ,   , . . .
После чего найти ее предел.
Решение

Число e

Последовательность с общим членом

имеет конечный предел. Этот предел называется числом e.
Доказательство

Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши – Кантора)

Для любой последовательности вложенных отрезков

существует точка , принадлежащая всем этим отрезкам.
Если длины отрезков стремятся к нулю:
,
то такая точка единственная.
Доказательство

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

См. также:
▲
Меню