Методы решения физико-математических задач

Основные свойства конечных пределов последовательностей

Основные свойства конечных пределов последовательностей
Приводятся формулировки и доказательства основных свойств числовых последовательностей, имеющих конечный предел. Среди них: теорема единственности предела, ограниченность сходящейся последовательности, влияние конечного числа элементов на сходимость.

Свойства и теоремы

Свойство окрестности сходящейся последовательности
Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.
Доказательство ⇓

Свойство окрестности последовательности, не сходящейся к числу a
Если число a не является пределом последовательности , то существует такая окрестность точки a, за пределами которой находится бесконечное число элементов последовательности.
Доказательство ⇓

Теорема единственности предела числовой последовательности
Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Доказательство ⇓

Теорема об ограниченности последовательности, имеющей предел
Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Доказательство ⇓

Свойство последовательности из постоянных элементов
Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу C: , то эта последовательность имеет предел, и этот предел равен числу C.
Доказательство ⇓

Влияние конечного числа элементов на сходимость
Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.
Доказательство ⇓

Доказательство свойств и теорем

При доказательстве свойств, мы будем использовать определение предела последовательности:
.

Доказательство свойства окрестности сходящейся последовательности

Формулировка ⇑
  1. Пусть точка a является пределом последовательности . Согласно определению предела последовательности это означает, что для любой окрестности точки a существует такое натуральное число N, что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности. (см. «Эквивалентное определение предела последовательности»).

    Тогда первые N элементов последовательности могут находиться где угодно. То есть за пределами окрестность могут находиться не более N элементов последовательности – конечное число или пустое множество.

    Первая часть доказана.

  2. Пусть теперь за пределами любой окрестности точки a находится конечное число элементов последовательности или пустое множество. Пусть N есть наибольший номер элемента, находящегося за пределами окрестности. Тогда все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности. Это означает, что точка a является пределом последовательности.

    Свойство доказано.

Свойство 2

Доказательство свойства окрестности последовательности, не сходящейся к числу a

Формулировка ⇑

Допустим противное. Пусть число a не является пределом последовательности и за пределами любой окрестности точки a находится только конечное число элементов последовательности. Рассмотрим произвольную окрестность точки a. Пусть N есть наибольший номер элемента, находящегося за ее пределами. Тогда все элементы с номерами принадлежат окрестности. Но это означает, что число a является пределом последовательности, что противоречит предположению.
Свойство доказано.

Доказательство теоремы единственности предела числовой последовательности

Формулировка ⇑

Предположим противное, что у последовательности существует два различных предела:
  и  . Причем .

Поскольку, по предположению, существует предел , то это означает, что имеется функция . Так что при , для любого , выполняется неравенство . То есть элементы последовательности, при , находятся в интервале
(1.1)   .

Точно также, поскольку существует предел , то имеется функция . Так что при , для любого , выполняется неравенство . Тогда при , элементы последовательности находятся в интервале
(1.2)   .

Возьмем . То есть ε равно половине длины отрезка ab. При таком выборе, интервалы (1.1) и (1.2) не имеют общих точек.

Пусть N – наибольшее из чисел и . Тогда для всех , должны выполняться соотношения (1.1) и (1.2). То есть элементы последовательности, при , должны находиться и в интервале (1.1) и в интервале (1.2). Возникает противоречие, поскольку эти интервалы не имеют общих точек.

Теорема доказана.

Мы взяли . Для доказательства можно было взять другие значения и , для которых интервалы (1.1) и (1.2) не имеют общих точек.

Доказательство теоремы об ограниченности последовательности, имеющей предел

Формулировка ⇑

Пусть последовательность имеет конечный предел a:
.
Это означает, что имеется функция такая, что при , для любого , выполняется неравенство
(2.1)   .

Возьмем любое значение ε. Например, . Тогда, в силу (2.1), элементы последовательности с номерами , находятся в пределах интервала
(2.2)   .

Элементы последовательности, с номерами , могут находиться за пределами интервала (2.2). Но их конечное число. Поэтому их значения ограничены некоторыми числами и . То есть, при , элементы последовательности ограничены интервалом
(2.3)   .
В качестве и можно взять значения наименьшего и наибольшего элемента при .

Итак, при , элементы последовательности ограничены неравенствами (2.3), а при – неравенствами (2.2). Тогда для любого n, выполняются следующие неравенства:
(2.4)   ,
где есть наименьшее из чисел и ; – наибольшее из чисел и .

Неравенства (2.4) означают, что последовательность ограничена снизу значением , и сверху – значением , или просто ограничена. Что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Также ограниченность элементов можно записать одним неравенством:
,
где M есть наибольшее из чисел и .

Доказательство свойства последовательности из постоянных элементов

Формулировка ⇑

В случае последовательности с равными элементами, какую бы ε - окрестность точки C мы не взяли, все элементы этой последовательности будут находиться в этой окрестности:
.
Действительно, подставив сюда , имеем:
;
,
что выполняется для всех n, поскольку .

Тогда в качестве функции мы можем взять любую постоянную, не зависящую от ε, например .

Тогда для любого положительного числа существует такое число , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
Это и означает, что число C является пределом последовательности .

Доказательство свойства о влиянии конечного числа элементов на сходимость

Формулировка ⇑

Пусть мы имеем последовательность . Рассмотрим случай, когда она имеет конечный предел
.
Это означает, что имеется такая функция , что для любого , элементы последовательности с номерами , находятся в ε - окрестности числа a:
(3.1)   .

Рассмотрим последовательность , которая получается из , добавлением первых m элементов. То есть
(3.2)  
и есть произвольные числа при .

Покажем, что . Для этого нам нужно найти такую функцию , что для любого , элементы последовательности с номерами , находятся в интервале:
(3.3)   .
Подставим в (3.1) и прибавим к обеим частям второго неравенства m:
.
Заменим n + m на k:
.
Эти неравенства совпадают с (3.3), если положить   и обозначить индекс k буквой n. Поэтому число a является пределом последовательности .

Теперь рассмотрим последовательность , которая получается из , удалением первых m элементов. То есть
(3.4)   .

Покажем, что . То есть нам нужно найти такую функцию , что для любого , элементы последовательности с номерами , находятся в интервале
(3.5)   .

Для этого преобразуем неравенства (3.1) ⇑. Заметим, что функция определена не однозначно. Ее всегда можно увеличить на любое натуральное число. То есть вместо (3.1) можно записать так:
(3.1.1)   .
Действительно, поскольку , то из неравенства следует неравенство .

Подставим в (3.1.1) n = k + m:
.
Подставим (3.4) и преобразуем:
.
Эти неравенства совпадают с (3.5), если положить и обозначить индекс k буквой n. Поэтому число a является пределом последовательности .

Итак, мы доказали, что если число a является пределом последовательности при , то число a также является пределом расширенной последовательности и усеченной последовательности .

Пусть теперь число a не является пределом последовательности . Докажем, что это число также не является пределом последовательности . Допустим противное, что число a является пределом последовательности . Но последовательность получается из последовательности удалением первых элементов. Поэтому, как мы только что доказали, последовательность должна иметь предел a. Возникает противоречие. Поэтому число a не может быть пределом последовательности . Таким же способом можно доказать, что если число a не является пределом последовательности , то оно не является и пределом последовательности .

Тем самым мы доказали, что добавление или удаление первых элементов не влияет на сходимость последовательности. Докажем, что изменение первых m элементов также не влияет на сходимость. Для доказательства удалим первые m элементов у исходной последовательности. Получим промежуточную последовательность, сходимость которой такая же, как у исходной. Затем добавим в промежуточную последовательность первые m элементов с произвольными значениями. Получим последовательность, у которой, по отношению к исходной, изменены первые m элементов. Сходимость такой последовательности такая же как и у промежуточной, а поэтому такая же как и у исходной.

Свойство доказано.

.     Опубликовано:   Изменено: