Основные свойства конечных пределов последовательностей

1. Пусть точка a является пределом последовательности {x_n } . Согласно определению предела последовательности это означает, что для любой окрестности точки a существует такое натуральное число N, что все элементы последовательности с номерами n > N принадлежат этой окрестности. (см. «Эквивалентное определение предела последовательности»).

   Тогда первые N элементов последовательности могут находиться где угодно. То есть за пределами окрестность могут находиться не более N элементов последовательности – конечное число или пустое множество.
   

   Первая часть доказана.

2. Пусть теперь за пределами любой окрестности точки a находится конечное число элементов последовательности или пустое множество. Пусть N есть наибольший номер элемента, находящегося за пределами окрестности. Тогда все элементы последовательности с номерами n > N принадлежат этой окрестности. Это означает, что точка a является пределом последовательности.

   Свойство доказано.

Допустим противное. Пусть число a не является пределом последовательности {x_n } и за пределами любой окрестности точки a находится только конечное число элементов последовательности. Рассмотрим произвольную окрестность точки a . Пусть N есть наибольший номер элемента, находящегося за ее пределами. Тогда все элементы с номерами n > N принадлежат окрестности. Но это означает, что число a является пределом последовательности, что противоречит предположению.
Свойство доказано.

Предположим противное, что у последовательности {x_n } существует два различных предела:
lim_{n → ∞} x_n  = a  и  lim_{n → ∞} x_n  = b . Причем a ≠ b .

Поскольку, по предположению, существует предел lim_{n → ∞} x_n  = a , то это означает, что имеется функция N_a (ε₁ ) . Так что при n > N_a (ε₁ ) , для любого ε₁  > 0 , выполняется неравенство  | x_n  – a |  < ε₁ . То есть элементы последовательности, при n > N_a (ε₁ ) , находятся в интервале
(1.1)   a – ε₁  < x_n  < a + ε₁ .

Точно также, поскольку существует предел lim_{n → ∞} x_n  = b , то имеется функция N_b (ε₂ ) . Так что при n > N_b (ε₂ ) , для любого ε₂  > 0 , выполняется неравенство  | x_n  – b |  < ε₂ . Тогда при n > N_b (ε₂ ) , элементы последовательности находятся в интервале
(1.2)   b – ε₂  < x_n  < b + ε₂ .

Возьмем ε₁  = ε₂  = ε =  | a – b |  / 2 . То есть ε равно половине длины отрезка ab . При таком выборе, интервалы (1.1) и (1.2) не имеют общих точек.

Пусть N – наибольшее из чисел N_a (ε ) и N_b (ε ) . Тогда для всех n > N , должны выполняться соотношения (1.1) и (1.2). То есть элементы последовательности, при n > N , должны находиться и в интервале (1.1) и в интервале (1.2). Возникает противоречие, поскольку эти интервалы не имеют общих точек.

Теорема доказана.

Пусть последовательность {x_n } имеет конечный предел a :
lim_{n → ∞} x_n  = a .
Это означает, что имеется функция N(ε ) такая, что при n > N(ε ) , для любого ε > 0 , выполняется неравенство
(2.1)    | x_n  – a |  < ε .

Возьмем любое значение ε . Например, ε = 1 . Тогда, в силу (2.1), элементы последовательности с номерами n > N(ε ) , находятся в пределах интервала
(2.2)   a – ε < x_n  < a + ε .

Элементы последовательности, с номерами n ≤ N(ε ) , могут находиться за пределами интервала (2.2). Но их конечное число. Поэтому их значения ограничены некоторыми числами m_N и M_N . То есть, при n ≤ N(ε ) , элементы последовательности ограничены интервалом
(2.3)   m_N  ≤ x_n  ≤ M_N .
В качестве m_N и M_N можно взять значения наименьшего и наибольшего элемента x_n при n ≤ N(ε ) .

Итак, при n ≤ N(ε ) , элементы последовательности ограничены неравенствами (2.3), а при n > N(ε ) – неравенствами (2.2). Тогда для любого n , выполняются следующие неравенства:
(2.4)   m₁  ≤ x_n  ≤ M₁ ,
где m₁ есть наименьшее из чисел m_N и a – ε ; M₁ – наибольшее из чисел M_N и a + ε .

Неравенства (2.4) означают, что последовательность ограничена снизу значением m₁ , и сверху – значением M₁ , или просто ограничена. Что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

В случае последовательности с равными элементами, какую бы ε - окрестность точки C мы не взяли, все элементы этой последовательности будут находиться в этой окрестности:
 | x_n  – C |  < ε .
Действительно, подставив сюда x_n  = C , имеем:
 | C – C |  < ε ;
0 < ε ,
что выполняется для всех n , поскольку ε > 0 .

Тогда в качестве функции N(ε ) мы можем взять любую постоянную, не зависящую от ε , например N(ε ) = 1 .

Тогда для любого положительного числа ε > 0 существует такое число N = 1 , что для всех натуральных n > N выполняется неравенство
 | x_n  – C |  < ε .
Это и означает, что число C является пределом последовательности {x_n } .

Пусть мы имеем последовательность {x_n } , которая имеет конечный предел
lim_{n → ∞} x_n  = a .
Это означает, что имеется такая функция N(ε ) , что для любого ε > 0 , элементы последовательности с номерами n > N(ε ) , находятся в ε - окрестности числа a :
(3.1)    | x_n  – a |  < ε;  n > N(ε ) .
В более общем случае, когда a может быть также одной из бесконечно удаленных точек: ∞,  + ∞ или – ∞ , вместо (3.1) следует записать следующее:
(3.1*)   x_n  ∈ U(a, ε );  n > N(ε ) ,
где U(a, ε ) обозначает ε – окрестность точки a .

Рассмотрим последовательность {y_n } , которая получается из {x_n } , добавлением первых m элементов. То есть
(3.2)   y_n + m  = x_n  (n ≥ 1 )
и y_n есть произвольные числа при n ≤ m .

Покажем, что lim_{n → ∞} y_n  = a . Для этого нам нужно найти такую функцию N_y (ε ) , что для любого ε > 0 , элементы последовательности с номерами n > N_y (ε ) , находятся в интервале:
(3.3)    | y_n  – a |  < ε;  n > N_y (ε ) ;
(3.3*)   y_n  ∈ U(a, ε );  n > N_y (ε ) .
Подставим в (3.1) x_n  = y_n + m и прибавим к обеим частям второго неравенства m :
 | y_n + m  – a |  < ε;  n + m > N(ε ) + m ;
*   y_n + m  ∈ U(a, ε );  n + m > N(ε ) + m .
Заменим n + m на k :
 | y_k  – a |  < ε;  k > N(ε ) + m ;
*   y_k  ∈ U(a, ε );  k > N(ε ) + m .
Эти неравенства совпадают с (3.3), если положить N_y (ε ) = N(ε ) + m  и обозначить индекс k буквой n . Поэтому число a является пределом последовательности {y_n } .

Теперь рассмотрим последовательность {z_n } , которая получается из {x_n } , удалением первых m элементов. То есть
(3.4)   z_n  = x_n + m .

Покажем, что lim_{n → ∞} z_n  = a . То есть нам нужно найти такую функцию N_z (ε ) , что для любого ε > 0 , элементы последовательности с номерами n > N_z (ε ) , находятся в интервале
(3.5)    | z_n  – a |  < ε;  n > N_z (ε ) ;
(3.5*)   z_n  ∈ U(a, ε );  n > N_z (ε ) .

Для этого преобразуем неравенства (3.1). Заметим, что функция N(ε ) определена не однозначно. Ее всегда можно увеличить на любое натуральное число. То есть вместо (3.1) можно записать так:
(3.1.1)    | x_n  – a |  < ε;  n > N(ε ) + m ;
(3.1.1*)   x_n  ∈ U(a, ε );  n > N(ε ) + m .
Действительно, поскольку n > N(ε ) + m > N(ε ) , то из неравенства n > N(ε ) + m следует неравенство n > N(ε ) .

Подставим в (3.1.1) n = k + m :
 | x_k + m  – a |  < ε;  k + m > N(ε ) + m ;
*   x_k + m  ∈ U(a, ε );  k + m > N(ε ) + m .
Подставим (3.4) и преобразуем:
 | z_k  – a |  < ε;  k > N(ε ) ;
*   z_k  ∈ U(a, ε );  k > N(ε ) .
Эти неравенства совпадают с (3.5), если положить N_z (ε ) = N(ε ) и обозначить индекс k буквой n . Поэтому число a является пределом последовательности {z_n } .

Итак, мы доказали, что если число a является пределом последовательности {x_n } при n → ∞ , то число a также является пределом расширенной последовательности {y_n } и усеченной последовательности {z_n } .

Пусть теперь число a не является пределом последовательности {x_n } . Докажем, что это число также не является пределом последовательности {y_n } . Допустим противное, что число a является пределом последовательности {y_n } . Но последовательность {x_n } получается из последовательности {y_n } удалением первых элементов. Поэтому, как мы только что доказали, последовательность {x_n } должна иметь предел a . Возникает противоречие. Поэтому число a не может быть пределом последовательности {y_n } . Точно так же, если число a не является пределом последовательности {x_n } , то оно не является и пределом последовательности {z_n } .

Тем самым мы доказали, что добавление или удаление первых элементов не влияет на сходимость последовательности. Докажем, что изменение первых m элементов также не влияет на сходимость. Для доказательства удалим первые m элементов у исходной последовательности. Получим промежуточную последовательность, сходимость которой такая же, как у исходной. Затем добавим в промежуточную последовательность первые m элементов с произвольными значениями. Получим последовательность, у которой, по отношению к исходной, изменены первые m элементов. Сходимость такой последовательности такая же как и у промежуточной, а поэтому такая же как и у исходной.

Свойство доказано.