Теорема Больцано – Вейерштрасса
Теорема Больцано – Вейерштрасса
Из любой ограниченной последовательности действительных чисел можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к конечному числу. А из любой неограниченной последовательности – бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к + ∞ или к – ∞ .
Теорему Больцано – Вейерштрасса можно сформулировать и так.
Из любой последовательности действительных чисел можно выделить подпоследовательность, сходящуюся или к конечному числу, или к + ∞ или к – ∞ .
Доказательство первой части теоремы
Для доказательства первой части теоремы мы применим лемму о вложенных отрезках.
Пусть последовательность {xn } ограничена. Это означает, что существует положительное число M , так что для всех n ,
| xn | ≤ M .
То есть все члены последовательности принадлежат отрезку [a1 , b1 ] , который мы обозначим как Δ1 . Здесь a1 = – M; b1 = M . Длина первого отрезка l1 = b1 – a1 = 2M . В качестве первого элемента подпоследовательности {xnk } возьмем любой элемент последовательности {xn } . Обозначим его как xn1 .
Разделим отрезок Δ1 пополам. Если в его правой половине содержится бесконечное число элементов последовательности {xn } , то следующим отрезком Δ2 возьмем правую половину Δ1 . В противном случае возьмем левую половину. В результате мы получим второй отрезок [a2 , b2 ] , содержащий бесконечное число элементов последовательности. Длина этого отрезка l2 = l1 / 2 = 2M / 2 . Здесь a2 = (a1 + b1 ) / 2, b2 = b1 , если мы взяли правую половину Δ1 ; и a2 = a1 , b2 = (a1 + b1 ) / 2 – если левую. В качестве второго элемента подпоследовательности возьмем любой элемент последовательности, принадлежащий второму отрезку с номером большим, чем n1 . Обозначим его как xn2 (n2 > n1).
Этим способом повторяем процесс деления отрезков. Делим отрезок Δk пополам. Если в его правой половине содержится бесконечное число элементов последовательности, то следующим отрезком Δk + 1 возьмем правую половину Δk . В противном случае возьмем левую половину. В результате мы получим отрезок [ak + 1 , bk + 1 ] , содержащий бесконечное число элементов последовательности. Длина этого отрезка lk + 1 = 2M / 2 k . В качестве элемента подпоследовательности xnk + 1 возьмем любой элемент последовательности, принадлежащий отрезку Δk + 1 с номером большим чем nk .
В результате мы получаем подпоследовательность {xnk } и систему вложенных отрезков
a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ ... ≤ bk ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 .
Причем каждый элемент подпоследовательности принадлежит соответствующему отрезку:
xnk ∈ [ak , bk ] .
Поскольку длины отрезков lk = 2M / 2 k – 1 , при k → ∞ , стремятся к нулю, то согласно лемме о вложенных отрезках, существует единственная точка c , принадлежащая всем отрезкам.
Покажем, что эта точка является пределом подпоследовательности:
limk → ∞ xnk = c .
Действительно, поскольку точки xnk и c принадлежат отрезку [ak , bk ] длины lk = 2M / 2 k – 1 , то
0 ≤ | xnk – c | ≤ 2M / 2 k – 1 .
Поскольку limk → ∞ 2M / 2 k – 1 = 0 , то согласно теореме о промежуточных последовательностях,
limk → ∞ | xnk – c | = 0 . Отсюда
limk → ∞ xnk = c .
Первая часть теоремы доказана.
Доказательство второй части теоремы
Пусть последовательность {xn } неограниченна. Это означает, что для любого числа M , существует такое n , что
| xn | > M .
Сначала рассмотрим случай, когда последовательность {xn } неограниченна справа. То есть для любого M > 0 , существует такое n , что
xn > M .
В качестве первого элемента подпоследовательности xn1 возьмем любой элемент последовательности {xn } , больший единицы:
xn1 > 1 .
В качестве второго элемента подпоследовательности возьмем любой элемент последовательности, больший двойки:
xn2 > 2 ,
и чтобы n2 > n1 .
И так далее. В качестве k-го элемента подпоследовательности возьмем любой элемент
xnk > k ,
причем nk > nk – 1 .
В результате получим подпоследовательность, каждый элемент которой удовлетворяет неравенству:
xnk > k .
Вводим числа M и NM , связав их соотношениями:
xnk > k > NM ≥ M .
Отсюда следует, что для любого числа M можно подобрать натуральное число NM ≥ M , так что для всех натуральных k > NM выполняется неравенство xnk > M .
Это означает, что
limk → ∞ xnk = + ∞ .
Теперь рассмотрим случай, когда последовательность ограничена справа. Поскольку она неограниченна, то она должна быть неограниченной слева. В этом случае повторяем рассуждения с небольшими поправками.
Выбираем подпоследовательность, чтобы ее элементы удовлетворяли неравенствам:
xnk < – k .
Затем вводим числа M и NM , связав их соотношениями:
xnk < – k < – NM ≤ – M .
Тогда для любого числа M можно подобрать натуральное число NM ≥ M , так что для всех натуральных k > NM выполняется неравенство xnk < – M .
Это означает, что
limk → ∞ xnk = – ∞ .
Теорема доказана.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: