Методы решения физико-математических задач

Определение предела последовательности

Определение предела последовательности
Приводится определение предела последовательности. Рассмотрены связанные с этим свойства и эквивалентное определение. Приводится определение, что точка a не является пределом последовательности. Рассмотрены примеры, в которых доказывается существование предела, используя определение.

Определение.
Число a называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число Nε, зависящее от ε, что для всех натуральных n > Nε выполняется неравенство
|xn – a| < ε.
Предел последовательности обозначается так:
.
Или     при   .

Преобразуем неравенство:
;
;
.

Открытый интервал (a – ε, a + ε) называют ε - окрестностью точки a.

Последовательность, у которой существует предел называется сходящейся последовательностью. Также говорят, что последовательность сходится к a. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Из определения следует, что, если последовательность имеет предел a, что какую бы ε - окрестностью точки a мы не выбрали, за ее пределами может оказаться, лишь конечное число элементов последовательности, или вообще ни одного (пустое множество). А любая ε - окрестность содержит бесконечное число элементов. В самом деле, задав определенное число ε, мы, тем самым имеем число . Так что все элементы последовательности с номерами , по определению, находятся в ε - окрестностью точки a. Первые элементов могут находиться где угодно. То есть за пределами ε - окрестности может находиться не более элементов – то есть конечное число.

Также заметим, что разность вовсе не обязана монотонно стремиться к нулю, то есть все время убывать. Она может стремиться к нулю не монотонно: может то возрастать, то убывать, имея локальные максимумы. Однако эти максимумы, с ростом n, должны стремиться к нулю (возможно тоже не монотонно).

С помощью логических символов существования и всеобщности, определение предела можно записать следующим образом:
(1)   .

Определение, что точка a не является пределом

Теперь рассмотрим обратное утверждение, что точка a не является пределом последовательности.

Точка a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n, что
.

Запишем это утверждение с помощью логических символов.
(2)   .

Утверждение, что точка a не является пределом последовательности, означает, что
можно выбрать такую ε - окрестность точки a, за пределами которой будет находиться бесконечное число членов последовательности.

Рассмотрим пример. Пусть задана последовательность с общим членом
(3)  
Любая окрестность точки содержит бесконечное число членов. Однако эта точка не является пределом последовательности, поскольку и любая окрестность точки также содержит бесконечное число членов. Возьмем ε - окрестность точки   с ε = 1. Это будет интервал ( –1, +1). Все члены, кроме первого, с четными n принадлежат этому интервалу. Но все члены с нечетными n находятся за пределами этого интервала, поскольку они удовлетворяют неравенству . Поскольку число нечетных членов бесконечно, то за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число членов. Поэтому точка не является пределом последовательности.

Теперь покажем это, строго придерживаясь утверждения (2). Точка не является пределом последовательности (3), поскольку существует такое , так что, для любого натурального n, существует нечетное , для которого выполняется неравенство
.

Также можно показать, что любая точка a не может являться пределом этой последовательности. Мы всегда можем выбрать такую ε - окрестность точки a, которая не содержит либо точку 0, либо точку 2. И тогда за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число членов последовательности.

Эквивалентное определение

Можно дать эквивалентное определение предела последовательности, если расширить понятие ε - окрестности. Мы получим равносильное определение, если в нем, вместо ε - окрестности, будет фигурировать любая окрестность точки a.

Определение окрестности точки
Окрестностью точки a называется любой открытый интервал, содержащий эту точку. Математически окрестность определяется так: , где ε1 и ε2 – произвольные положительные числа.

Тогда определение предела будет следующим.

Эквивалентное определение предела последовательности
Число a называется пределом последовательности , если для любой ее окрестности существует такое натуральное число N, что все члены последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.

Это определение можно представить и в развернутом виде.

Число a называется пределом последовательности , если для любых положительных чисел и существует такое натуральное число N, зависящее от и , что для всех натуральных выполняются неравенства
.

Доказательство равносильности определений

Докажем, что, представленные выше, два определения предела последовательности равносильны.

  1. Пусть число a является пределом последовательности согласно первому определению. Это означает, что имеется функция , так что для любого положительного числа ε выполняются неравенства:
    (4)     при  .

    Покажем, что число a является пределом последовательности и по второму определению. То есть нам нужно показать, что существует такая функция , так что для любых положительных чисел ε1 и ε2 выполняются неравенства:
    (5)     при  .

    Пусть мы имеем два положительных числа: ε1 и ε2. И пусть ε – наименьшее из них: . Тогда ;  ;  . Используем это в (5):
    .
    Но неравенства   выполняются при  . Тогда и неравенства (5) выполняются при  .

    То есть мы нашли такую функцию , при которой выполняются неравенства (5) для любых положительных чисел ε1 и ε2.
    Первая часть доказана.

  2. Теперь пусть число a является пределом последовательности согласно второму определению. Это означает, что имеется функция , так что для любых положительных чисел ε1 и ε2 выполняются неравенства:
    (5)     при  .

    Покажем, что число a является пределом последовательности и по первому определению. Для этого нужно положить . Тогда при выполняются неравенства:
    .
    Это соответствует первому определению с .
    Равносильность определений доказана.

Примеры

Здесь мы рассмотрим несколько примеров, в которых требуется доказать, что заданное число a является пределом последовательности. При этом нужно задать произвольные положительное число ε и определить функцию N от ε такую, что для всех выполняется неравенство .

Пример 1

Доказать, что  .

Решение

Выпишем определение предела последовательности:
(1)   .
В нашем случае  ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Воспользуемся свойствами неравенств. Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
  при  .
Это означает, что число является пределом заданной последовательности:
.

Ответ

Пример 2

С помощью определения предела последовательности доказать, что
.

Решение

Выпишем определение предела последовательности:
(1)   .
В нашем случае  ,  ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Воспользуемся свойствами неравенств. Тогда если   и  , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
  при  .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Ответ

Пример 3

Используя определение предела последовательности доказать, что
.

Решение

Вводим обозначения  ,  .
Преобразуем разность:
.
Для натуральных  n = 1, 2, 3, ...  имеем:
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1)   .
Вводим положительные числа и :
.
Тогда если   и  , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
При этом
  при  .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Ответ

.

Пример 4

Используя определение предела последовательности доказать, что
.

Решение

Выпишем определение предела последовательности:
(1)   .
В нашем случае  ,  ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Тогда если   и  , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
  при  .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Ответ

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано:   Изменено: