Методы решения физико-математических задач

Бесконечно малые последовательности – определение и свойства

Свойства бесконечно малых последовательностей
Приводится определение бесконечно малой последовательности. Она обладает свойствами сходящихся последовательностей. Также имеются свойства, характерные только для последовательностей с пределом равным нулю. Приводятся доказательства таких свойств. Рассмотрен пример, в котором нужно доказать, что последовательность бесконечно малая.

Определение

Бесконечно малая последовательность {αn} – это сходящаяся последовательность, предел которой равен нулю:
.

Согласно определению предела последовательности это означает, что для любого положительного числа существует такое натуральное число N(ε), зависящее от ε, что для всех натуральных n > N(ε) выполняется неравенство
.

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности являются сходящимися последовательностями. Поэтому они обладают всеми их свойствами. Формулировки этих свойств и ссылки на страницы с доказательствами приведены на странице
Предел последовательности – основные теоремы и свойства.

Следующие свойства являются прямым следствием арифметических свойств, примененных к последовательностям, предел которых равен нулю.

Свойство суммы и разности бесконечно малых последовательностей

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Также линейная комбинация конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство предела суммы и разности числовых последовательностей.

Свойство произведения бесконечно малых последовательностей

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство предела произведения числовых последовательностей.

Следующие свойства относятся только к бесконечно малым последовательностям и не являются прямым следствием свойств сходящихся последовательностей.

Свойство произведения ограниченной последовательности на бесконечно малую

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство ⇓

Свойство представления сходящейся последовательности через бесконечно малую

Для того, чтобы последовательность {xn} имела предел b, необходимо и достаточно, чтобы
xn = b + αn,
где {αn} – бесконечно малая последовательность.
Доказательство ⇓

Доказательства свойств

Доказательство свойства произведения ограниченной последовательности на бесконечно малую

Формулировка ⇑

Пусть последовательность ограничена некоторым числом :
(3.1)   .

Пусть последовательность – бесконечно малая. То есть имеется такая функция , зависящая от переменной , что для любого положительного значения переменной , выполняется неравенство
(3.2)     при  .

Пусть последовательность является произведением последовательностей и . Ее общий член имеет вид:
.
Нам нужно найти такую функцию , при которой выполняется неравенство
(3.3)     при  .

Применим (3.1) и (3.2):
.
Это выполняется при . Итак,
.
Положим :
.

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:
(3.3)     при  .

Свойство доказано.

Доказательство свойства представления сходящейся последовательности через бесконечно малую

Формулировка ⇑

Необходимость. Пусть . Рассмотрим последовательность с общим членом . Используем арифметические свойства пределов:
.
То есть – бесконечно малая последовательность.

Достаточность. Пусть . На основании арифметических свойств пределов имеем:
.

Свойство доказано.

Пример

Используя определение предела последовательности доказать, что последовательность

является бесконечно малой.

Решение

Выпишем определение бесконечно малой последовательности:
.
Поскольку n является натуральным числом, n = 1, 2, 3, ..., то
,
,
.
Поэтому члены последовательности являются положительными числами. Тогда
.

Далее замечаем, что
;
;
.
Тогда
;
;
.

Итак, мы получили следующую оценку:
.
Вводим положительные числа и :
.
Согласно свойствам неравенств, если   и  , то
.

Отсюда следует, что для любого положительного можно найти натуральное число , так что при  ,
.
Это означает, что предел исходной последовательности равен нулю и, следовательно, она является бесконечно малой.

Ответ

.     Опубликовано:   Изменено: