Методы решения физико-математических задач

Критерий Коши сходимости последовательности

Критерий Коши сходимости последовательности
Приводятся две формулировки условия Коши для последовательности и доказательство критерия Коши сходимости последовательности.

Условие Коши

Последовательность {xn} удовлетворяет условию Коши, если для любого положительного действительного числа ε > 0 существует такое натуральное число Nε, что
(1)   |xn – xm| < ε  при  n > Nε , m > Nε.

Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, также называют фундаментальными последовательностями.

Условие Коши можно представить и в другом виде. Пусть m > n. Если m < n, то поменяем n и m местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем:
;
.
Здесь p – натуральное число.

Тогда условие Коши можно сформулировать так:

Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число , что
(2)   при и любых натуральных p.

Число , фигурирующее в условии Коши, зависит от ε. То есть оно является функцией от действительной переменной ε, областью значений которой является множество натуральных чисел. Число также можно записать в виде , как это принято для обозначения функций.

Критерий Коши сходимости последовательности

Критерий Коши сходимости последовательности

Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия Коши сходимости последовательности

Доказательство необходимости

Пусть последовательность сходится к конечному пределу a:
.
Это означает, что имеется некоторая функция , так что для любого выполняются неравенства:
(1.1)     при  .
См. Определение предела последовательности.

Покажем, что последовательность удовлетворяет условию Коши (1) ⇑. Для этого нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого , выполняются неравенства:
  при  .
Воспользуемся свойствами неравенств и применим (1.1):
.
Последнее неравенство выполняется при .

Заменим на . Тогда для любого имеем:
  при  ,
где .

Необходимость доказана.

Доказательство достаточности

Пусть последовательность удовлетворяет условию Коши (1) ⇑. Докажем, что она сходится к конечному числу. Доказательство разделим на три части. Сначала докажем, что последовательность ограничена. Затем применим теорему Больцано – Вейерштрасса, согласно которой у ограниченной последовательности существует подпоследовательность, сходящаяся к конечному числу. И наконец, покажем, что к этому числу сходится вся последовательность.

  1. Докажем, что последовательность , удовлетворяющая условию Коши (1) ⇑, ограничена. Для этого, в условии Коши, положим . Тогда существует такое натуральное число , при котором выполняются неравенства:
    (2.1.1)     при  .

    Возьмем любое натуральное число и зафиксируем член последовательности . Обозначим его как , чтобы подчеркнуть, что это постоянное, не зависящее от индекса n число.

    Подставляем в (2.1.1) и выполняем преобразования. При имеем:
    ;
    ;
    ;
    ;
    .
    Отсюда видно, что при , члены последовательности ограничены. Поскольку, при , имеется только конечное число членов, то и вся последовательность ограничена.

  2. Применим теорему Больцано – Вейерштрасса. Согласно этой теореме, у ограниченной последовательности, существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторому конечному числу a. Обозначим такую подпоследовательность как . Тогда
    .

  3. Покажем, что к числу a сходится вся последовательность.
    Поскольку последовательность удовлетворяет условию Коши (1) ⇑, то имеется некоторая функция , при которой для любого выполняются неравенства:
      при  .
    В качестве возьмем член сходящейся подпоследовательности и заменим ε1 на ε/2:
    (2.3.1)     при  .

    Зафиксируем n. Тогда (2.3.1) является неравенством, содержащим последовательность , у которой исключено конечное число первых членов с . Конечное число первых членов не влияет на сходимость (см. Влияние конечного числа членов на сходимость последовательности). Поэтому предел при усеченной последовательности по прежнему равен a. Применяя свойства пределов, связанные с неравенствами и арифметические свойства пределов, при , из (2.3.1) имеем:
      при  .
    Воспользуемся очевидным неравенством: . Тогда
      при  .

    То есть для любого существует натуральное число , так что
      при  .
    Это означает, что число a является пределом всей последовательности (а не только ее подпоследовательности .

Теорема доказана

Использованная литература:
О.В. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

.     Опубликовано: