Критерий Коши сходимости последовательности

Пусть последовательность {x_n } сходится к конечному пределу a :
lim_{n → ∞} x_n  = a .
Это означает, что имеется некоторая функция N₁ (ε₁ ) , так что для любого ε₁  > 0 выполняется неравенство:
(1.1)    | x_n  – a |  < ε₁  при  n > N₁ (ε₁ ) .
См. Определение предела последовательности.

Покажем, что последовательность {x_n } удовлетворяет условию Коши ⇑. Для этого нам нужно найти такую функцию N(ε ) , при которой, для любого ε > 0 , выполняются неравенства:
 | x_n  – x_m  |  < ε  при  n > N(ε ),  m > N(ε ) .
Воспользуемся свойствами неравенств и применим (1.1):
 | x_n  – x_m  |  =  | x_n  – a – (x_m  – a ) |  ≤  | x_n  – a |  +  | x_m  – a |  < ε₁  + ε₁  = 2ε₁ .
Последнее неравенство выполняется при n > N₁ (ε₁ ),  m > N₁ (ε₁ ) .

Заменим ε₁ на ε / 2 . Тогда для любого ε > 0 имеем:
 | x_n  – x_m  |  < ε  при  n > N(ε ),  m > N(ε ) ,
где N(ε ) = N₁ (ε / 2 ) .

Необходимость доказана.

Пусть последовательность {x_n } удовлетворяет условию Коши ⇑. Докажем, что она сходится к конечному числу. Доказательство разделим на три части. Сначала докажем, что последовательность ограничена. Затем применим теорему Больцано – Вейерштрасса, согласно которой у ограниченной последовательности существует подпоследовательность, сходящаяся к конечному числу. И наконец, покажем, что к этому числу сходится вся последовательность.

1. Докажем, что последовательность {x_n } , удовлетворяющая условию Коши ⇑, ограничена. Для этого, в условии Коши, положим ε = 1 . Тогда существует такое натуральное число N₁ , при котором выполняются неравенства:
   (2.1.1)    | x_n  – x_m  |  < 1  при  n > N₁ ,  m > N₁ .

   Возьмем любое натуральное число m > N₁ и зафиксируем член последовательности x_m . Обозначим его как x₀ , чтобы подчеркнуть, что это постоянное, не зависящее от индекса n число.

   Подставляем в (2.1.1) и выполняем преобразования. При n > N₁ имеем:
    | x_n  – x₀  |  < 1 ;
   – 1 < x_n  – x₀  < 1 ;
   – 1 + x₀  < x_n  < 1 + x₀ ;
   – 1 –  | x₀  |  ≤ – 1 + x₀  < x_n  < 1 + x₀  ≤ 1 +  | x₀  |  ;
    | x_n  |  < 1 +  | x₀  |  .
   Отсюда видно, что при n > N₁ , члены последовательности ограничены. Поскольку, при n ≤ N₁ , имеется только конечное число членов, то и вся последовательность {x_n } ограничена.

2. Применим теорему Больцано – Вейерштрасса. Согласно этой теореме, у ограниченной последовательности, существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторому конечному числу a . Обозначим такую подпоследовательность как {x_nk } . Тогда
   lim_{k → ∞} x_nk  = a .

3. Покажем, что к числу a сходится вся последовательность.
   Поскольку последовательность {x_n } удовлетворяет условию Коши ⇑, то имеется некоторая функция N(ε₁ ) , при которой для любого ε₁  > 0 выполняются неравенства:
    | x_n  – x_m  |  < ε₁  при  n > N(ε₁ ),  m > N(ε₁ ) .
   В качестве x_m возьмем член сходящейся подпоследовательности и заменим ε₁ на ε/2 :
   (2.3.1)    | x_n  – x_nk  |  < ε / 2  при  n > N(ε / 2 ),  n_k  > N(ε / 2 ) .

   Зафиксируем n . Тогда (2.3.1) является неравенством, содержащим последовательность {x_nk } , у которой исключено конечное число первых членов с n_k  ≤ N(ε / 2 ) . Конечное число первых членов не влияет на сходимость (см. Влияние конечного числа членов на сходимость последовательности). Поэтому предел при k → ∞ усеченной последовательности {x_nk } по прежнему равен a . Применяя свойства пределов, связанные с неравенствами и арифметические свойства пределов, при k → ∞ , из (2.3.1) имеем:
    | x_n  – a |  ≤ ε / 2  при  n > N(ε / 2 ) .
   Воспользуемся очевидным неравенством: ε / 2 < ε . Тогда
    | x_n  – a |  < ε  при  n > N(ε / 2 ) .
   

   То есть для любого ε > 0 существует натуральное число N₁ (ε ) = N(ε / 2 ) , так что
    | x_n  – a |  < ε  при  n > N₁ (ε ) .
   Это означает, что число a является пределом всей последовательности {x_n } (а не только ее подпоследовательности {x_nk } .

Теорема доказана