Тангенс (tg x) и котангенс (ctg x) – свойства, графики, формулы
Геометрическое определение
tg (α ) = | BC | | AB | ; ctg (α ) = | AB | | BC |
| AB | = | AD | ; α = | BD | | AB |
|BD| – длина дуги окружности с центром в точке A .
α – угол, выраженный в радианах.
- Тангенс (tg α)
- – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
- Котангенс (ctg α)
- – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
y = tg x = sin xcos x ; x ≠ π2 + nπ; – ∞ < y < + ∞ , где n - целое.
y = ctg x = cos xsin x ; x ≠ nπ; – ∞ < y < + ∞ , где n - целое.
Принятые обозначения
Тангенс
В западной литературе тангенс обозначается так:
tan x ≡ tg x .
Также приняты следующие обозначения:
tg 2 x ≡ (tg x ) 2 ; tg 3 x ≡ (tg x ) 3 ; tg n x ≡ (tg x ) n ;
tan – 1 x ≡ arctan x ≡ arctg x ;
(tg x ) – 1 ≡ 1tg x = ctg x .
Котангенс
В западной литературе котангенс обозначается так:
cot x ≡ ctg x .
Также приняты следующие обозначения:
ctg 2 x ≡ (ctg x ) 2 ; ctg 3 x ≡ (ctg x ) 3 ; ctg n x ≡ (ctg x ) n ;
ctg – 1 x ≡ arccot x ≡ arcctg x ;
(ctg x ) – 1 ≡ 1ctg x = tg x .
Графики функций тангенс, y = tg x, и котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
tg (x + π ) = tg x; ctg (x + π ) = ctg x
Четность
Функции тангенс и котангенс – нечетные.
tg (– x ) = – tg x; ctg (– x ) = – ctg x
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Область определения и непрерывность | x ≠ π2 + nπ | x ≠ nπ |
| Область значений | –∞ < y < +∞ | –∞ < y < +∞ |
| Возрастание | – π2 + nπ < x < π2 + nπ | – |
| Убывание | – | nπ < x < π + nπ |
| Экстремумы | – | – |
| Нули, y = 0 | x = nπ | x = π2 + nπ |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | – |
Основные формулы
Выражения через синус и косинус
tg x = sin xcos x ; ctg x = cos xsin x ;
tg 2 x = 1cos 2 x – 1 ; ctg 2 x = 1sin 2 x – 1 ;
1 + tg 2 x = 1cos 2 x ; 1 + ctg 2 x = 1sin 2 x
Формулы тангенса и котангенса от суммы и разности
tg (x + y ) = tg x + tg y1 – tg x tg y = ctg x + ctg yctg x ctg y – 1
tg (x – y ) = tg x – tg y1 + tg x tg y = ctg y – ctg xctg x ctg y + 1
Остальные формулы легко получить, например
ctg (x + y ) = cos (x + y )sin (x + y ) = cos x cos y – sin x sin ysin x cos y + cos x sin y =
cos x cos y – sin x sin ysin x sin y sin x cos y + cos x sin ysin x sin y = ctg x ctg y – 1ctg y + ctg x
tg 2x = 2 tg x1 – tg 2 x
tg ( π2 – x ) = ctg x; ctg ( π2 – x ) = tg x
Произведение тангенсов
tg x tg y = cos (x – y ) – cos (x + y )cos (x – y ) + cos (x + y )
tg 2 x = 1 – cos 2x1 + cos 2x
Формула суммы и разности тангенсов
tg x ± tg y = sin (x ± y )cos x cos y
Таблица тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные числа
i 2 = – 1
tg z = – i e iz – e – iz e iz + e – iz = – i e 2iz – 1e 2iz + 1
ctg z = i e iz + e – iz e iz – e – iz = i e 2iz + 1e 2iz – 1
Выражения через гиперболические функции
tg (iz ) = i th z ; ctg (iz ) = – i cth z
th (iz ) = i tg z ; cth (iz ) = – i ctg z
Производные
(tg x ) ′ = 1cos 2 x ; (ctg x ) ′ = – 1sin 2 x .
Производная n-го порядка по переменной x от функции y = tg x :
y (n ) = [ ( 1 + y 2 ) ddy ] n y .
Производная n-го порядка по переменной x от функции y = ctg x :
y (n ) = (– 1 ) n [ ( 1 + y 2 ) ddy ] n y .
Вывод формул для тангенса > > >; для котангенса > > >
Интегралы
∫ tg x dx = ∫ sin x dxcos x = – ∫ d(cos x )cos x = – ln | cos x | + C
∫ ctg x dx = ∫ cos x dxsin x = ∫ d(sin x )sin x = ln | sin x | + C
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга, tg x = sin xcos x . При этом получаются следующие формулы.
x + 13 x 3 + 215 x 5 + 17315 x 7 + 622835 x 9 + ... ; при – π2 < x < π2 .
ctg x = 1x ⋅ ∞Σn = 0 (– 1 ) n 2 2n B2n (2n )! x 2n =
1x – 13 x – 145 x 3 – 2945 x 5 – 14725 x 7 – 293555 x 9 – ... ; при 0 < | x | < π .
где Bn – числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
B0 = 1 ;
1 + C 1n B1 + C 2n B2 + ... + C n – 1n Bn – 1 = 0 ;
где C mn = n!m!(n – m )! .
Либо по формуле Лапласа:
| 12! | 1 | 0 | ... | 0 |
| 13! | 12! | 1 | ... | 0 |
| 14! | 13! | 12! | ... | 0 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 1(n + 1 )! | 1n! | 1(n – 1 )! | ... | 12 |
B0 = 1; B1 = – 12 ; B2 = 16 ; B4 = – 130 ; B6 = 142 ; B8 = – 130 ; B10 = 566 ; ...
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс, соответственно.
Арктангенс, arctg
y = tg x
x = arctg y + πn; – π2 < arctg y < π2 , где n - целое.
Арккотангенс, arcctg
y = ctg x
x = arcctg y + πn; 0 < arcctg y < π , где n - целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: