Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций

Применим формулу производной произведения двух функций:
(2)   (uv)^′ = u^′v + uv^′.
Перепишем формулу (2) в следующем виде:
(u(x)v(x))^′ =  (u^′(x)v(y) + u(x)v^′(y)) |_y = x.
То есть мы считаем, что одна функция зависит от переменной x, а другая – от переменной y. В конце расчета мы полагаем y = x. Тогда предыдущую формулу можно записать так:
(3)   (u(x)v(x))^′ =  (  ∂∂x u(x)v(y) +      ∂∂y u(x)v(y) ) |_y = x =  [ (  ∂∂x + ∂∂y )u(x)v(y) ] |_y = x.
Поскольку производная (u(x)v(x))^′ равна сумме членов, и каждый член является произведением двух функций, то для вычисления производных высших порядков, можно последовательно применять правило (3).

Тогда для производной n-го порядка имеем:
(u(x)v(x))⁽ⁿ⁾ =  [ (  ∂∂x + ∂∂y )ⁿ u(x)v(y) ] |_y = x =  [ ⁿΣ_k = 0 C^k_n ∂^n – k∂x^n – k ∂^k∂y^k u(x)v(y) ] |_y = x =
  [ ⁿΣ_k = 0 C^k_n u^{(n – k)} (x)v^(k) (y) ] |_y = x = ⁿΣ_k = 0 C^k_n u^{(n – k)} (x)v^(k) (x).
Учитывая, что u⁽⁰⁾ (x) = u(x) и v⁽⁰⁾ (x) = v(x), мы получаем формулу Лейбница:
(1)   (uv)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ v + C¹_n u^{(n – 1)} v^′ + C²_n u^{(n – 2)} v^′′ + ...  +  C^k_n u^{(n – k)} v^(k)+ ...  + uv⁽ⁿ⁾.

Еще раз выпишем формулу Лейбница:
(4)   (uv)⁽ⁿ⁾ = ⁿΣ_k = 0 C^k_n u^{(n – k)} v^(k).
При n = 1 имеем:
(uv)^′ = C⁰₁ u^{(1 – 0)} v⁽⁰⁾ + C¹₁ u^{(1 – 1)} v⁽¹⁾ = u^′v + uv^′.
Это формула производной произведения двух функций. Она справедлива.

Предположим, что формула (4) справедлива для производной n-го порядка. Докажем, что она справедлива для производной n + 1-го порядка.

Дифференцируем (4):
( u^{(n – k)} v^(k) )^′ = ( u^{(n – k)} )^′v^(k) + u^{(n – k)} ( v^(k) )^′ = u^{(n – k + 1)} v^(k) + u^{(n – k)} v^(k + 1);
(uv)^(n + 1) = ( (uv)⁽ⁿ⁾ )^′ = ⁿΣ_k = 0 C^k_n ( u^{(n – k)} v^(k) )^′ = ⁿΣ_k = 0 C^k_n ( u^{(n – k + 1)} v^(k)+   u^{(n – k)} v^(k + 1) ) =
 ⁿΣ_k = 0 C^k_n u^{(n – k + 1)} v^(k) + ⁿΣ_k = 0 C^k_n u^{(n – k)} v^(k + 1) =
 ⁿΣ_k = 0 C^k_n u^{(n – k + 1)} v^(k) + ^n + 1Σ_k = 1 C^k – 1_n u^{(n – k + 1)} v^(k) =
 C⁰_n u^{(n – 0 + 1)} v⁽⁰⁾ + ⁿΣ_k = 1( C^k_n + C^k – 1_n )u^{(n – k + 1)} v^(k) + C^{n + 1 – 1}_n u^{(n – (n + 1) + 1)} v^(n + 1).
Итак, мы нашли:
(5)   (uv)^(n + 1) = C⁰_n u^(n + 1) v⁽⁰⁾ + ⁿΣ_k = 1( C^k_n + C^k – 1_n )u^{(n + 1 – k)} v^(k) + Cⁿ_n u⁽⁰⁾ v^(n + 1).

Далее замечаем, что
C⁰_n = n!(n – 0)! 0! = n!n! ⋅ 1 = 1;
Cⁿ_n = n!(n – n)! n! = n!0! n! = 1;
C^k_n + C^k – 1_n = n!(n – k)! k! + n!(n – k + 1)! (k – 1)! =
 n! (n – k + 1)(n – k + 1)! k! + n! k(n – k + 1)! k! = n! (n + 1)(n + 1 – k)! k! = (n + 1)!(n + 1 – k)! k! = C^k_n + 1.

Подставим в (5) и учтем, что   1 = C⁰_n = C⁰_n + 1 = Cⁿ_n = C^n + 1_n + 1:
(uv)^(n + 1) = C⁰_n + 1 u^(n + 1) v⁽⁰⁾ + ⁿΣ_k = 1 C^k_n + 1 u^{(n + 1 – k)} v^(k) + C^n + 1_n + 1 u⁽⁰⁾ v^(n + 1) =
 ^n + 1Σ_k = 0 C^k_n + 1 u^{(n + 1 – k)} v^(k).
Отсюда видно, что формула (4) имеет тот же вид и для производной n + 1-го порядка.

Итак, формула (4) справедлива при n = 1. Из предположения, что она выполняется, для некоторого числа n = m следует, что она выполняется для n = m + 1.
Формула Лейбница доказана.