Основные виды неравенств и их свойства

Представлены основные виды неравенств, включая неравенства Бернулли, Коши - Буняковского, Минковского, Чебышева. Рассмотрены свойства неравенств и действия над ними. Даны основные методы решения неравенств.

Формулы основных неравенств

Формулы универсальных неравенств

Универсальные неравенства выполняются при любых значениях входящих в них величин. Ниже перечислены основные виды универсальных неравенств.

1)   | a ± b | ≤ |a| + |b| ;   | a₁ ± a₂ ± ... ± a_n | ≤ |a₁| + |a₂| + ... + |a_n| .
Доказательство.  | a ± b |  = √ (a ± b )²   =  √ a²  ± 2ab + b²   ≤  √  | a | ²  + 2 | a |  | b |  +  | b | ²   = 
 √ ( | a |  +  | b | )²   = | | a |  +  | b |  | | =   | a |  +  | b |  . 

2)   |a| + |b| ≥ | a – b | ≥ | |a| – |b| | .
Доказательство. Первое неравенство доказано в пункте 1). Доказываем второе.
 | a – b |  = √ (a – b )²   =  √ a²  – 2ab + b²   ≥  √  | a | ²  – 2 | a |  | b |  +  | b | ²   = 
 √ ( | a |  –  | b | )²   = | | a |  –  | b | | . 

3)   | a₁  + a₂  + ⋅ ⋅ ⋅ + a_n n  | ≤ √ a²₁  + a²₂  + ⋅ ⋅ ⋅ + a²_n n   
Равенство имеет место только при a₁ = a₂ = ... = a_n .

Доказательство. Докажем, что s²_n  ≤ nq_n  ,  где s_n  = a₁  + a₂  + ⋅ ⋅ ⋅ + a_n ,  q_n  =  a²₁  + a²₂  + ⋅ ⋅ ⋅ + a²_n  . 
При n = 2 имеем:
s²_n  = (a₁  + a₂ )²  =  a²₁  + a²₂  + 2a₁ a₂  =  a²₁  + a²₂  + a²₁  + a²₂  – (a₁  – a₂ )²  ≤  2(a²₁  + a²₂ ) . 
Применяем метод индукции. Пусть s²_n  ≤ nq_n  .  Тогда
s²_n + 1  = (s_n  + a_n + 1 )²  =  s²_n  + 2s_n a_n + 1  + a²_n + 1  = 
 s²_n  + 2a₁ a_n + 1  + 2a₂ a_n + 1  + ⋅ ⋅ ⋅ + 2a_n a_n + 1  + a²_n + 1  ≤ 
 nq_n  + a²₁  + a²_n + 1  + a²₂  + a²_n + 1  + ⋅ ⋅ ⋅ + a²_n  + a²_n + 1  + a²_n + 1  = 
 (n + 1 )q_n  + (n + 1 )a²_n + 1  =  (n + 1 )q_n + 1  . 

4)   Неравенство Коши - Буняковского
(a₁ b₁  + a₂ b₂  + ...  + a_n b_n )²  ≤ (a²₁  + a²₂  + ...  + a²_n )(b²₁  + b²₂  + ...  + b²_n )
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда α a_k = β b_k для всех k = 1, 2, ..., n и некоторых α, β, |α| + |β| > 0 .

5)   Неравенство Минковского, при p ≥ 1
( | a₁  + b₁  | ^p  +  | a₂  + b₂  | ^p  + ... +  | a_n  + b_n  | ^p )^1p  ≤  ( | a₁  | ^p  +  | a₂  | ^p  + ...  +  | a_n  | ^p )^1p  + ( | b₁  | ^p  +  | b₂  | ^p  + ...  +  | b_n  | ^p )^1p 

Формулы выполнимых неравенств

Выполнимые неравенства выполняются при определенных значениях входящих в них величин.

1)   Неравенство Бернулли:
(1 + x )ⁿ  ≥ 1 + nx,   x ≥ – 1,  n = 1, 2, 3,... ; 
(1 + x )ⁿ  > 1 + nx,   x > – 1,  x ≠ 0,  n = 2, 3, 4,... . 
В более общем виде:
(1 + a₁ )(1 + a₂ )(1 + a₃ )⋅ ⋅ ⋅ (1 + a_n ) >  1 + a₁  + a₂  + a₃  + ⋅ ⋅ ⋅ + a_n  , 
где n ≥ 2 ,  числа a₁ ,  a₂ ,  a₃ , ... , a_n  одного знака и больше, чем –1 : a_i a_k  > 0,  a_i  > – 1 . 
Лемма Бернулли:
 | a^r  – 1 |  ≤ 2 | r | (a – 1 ),   a > 1,   | r |  ≤ 1 . 
См. «Доказательства неравенств и леммы Бернулли».

2)   ⁿ√ a₁  ⋅ a₂  ⋅  ...   ⋅  a_n   ≤ a₁  + a₂  + ...  + a_n n 
при a_i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3)   Неравенство Чебышева
при 0 < a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n и 0 < b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ b_n
a₁  + a₂  + ...  + a_n n ⋅ b₁  + b₂  + ...  + b_n n ≤ a₁ b₁  + a₂ b₂  + ...  + a_n b_n n  . 
При 0 < a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n и b₁ ≥ b₂ ≥ ... ≥ b_n > 0
a₁  + a₂  + ...  + a_n n ⋅ b₁  + b₂  + ...  + b_n n ≥ a₁ b₁  + a₂ b₂  + ...  + a_n b_n n  . 

4)   Обобщенные неравенства Чебышева
при 0 < a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n и 0 < b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ b_n и k натуральном
^k√ a^k₁  + a^k₂  + ...  + a^k_n n   ⋅ ^k√ b^k₁  + b^k₂  + ...  + b^k_n n   ≤ ^k√ (a₁ b₁ )^k  + (a₂ b₂ )^k  + ...  + (a_n b_n )^k n    . 
При 0 < a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n и b₁ ≥ b₂ ≥ ... ≥ b_n > 0
^k√ a^k₁  + a^k₂  + ...  + a^k_n n   ⋅ ^k√ b^k₁  + b^k₂  + ...  + b^k_n n   ≥ ^k√ (a₁ b₁ )^k  + (a₂ b₂ )^k  + ...  + (a_n b_n )^k n    . 

Свойства неравенств

Свойства неравенств - это набор тех правил, которые выполняются при их преобразовании. Ниже представлены свойства неравенств. Подразумевается, что исходные неравенства выполняются при значениях x_i (i = 1, 2, 3, 4) , принадлежащих некоторому, заранее определенному, интервалу.

1)   При изменении порядка следования сторон, знак неравенства меняется на противоположный.
Если x₁ < x₂ , то x₂ > x₁ .
Если x₁ ≤ x₂ , то x₂ ≥ x₁ .
Если x₁ ≥ x₂ , то x₂ ≤ x₁ .
Если x₁ > x₂ , то x₂ < x₁ .

2)   Одно равенство эквивалентно двум нестрогим неравенствам разного знака.
Если x₁ = x₂ , то x₁ ≤ x₂ и x₁ ≥ x₂ .
Если x₁ ≤ x₂ и x₁ ≥ x₂ , то x₁ = x₂ .

3)   Свойство транзитивности
Если x₁ < x₂ и x₂ < x₃ , то x₁ < x₃ .
Если x₁ < x₂ и x₂ ≤ x₃ , то x₁ < x₃ .
Если x₁ ≤ x₂ и x₂ < x₃ , то x₁ < x₃ .
Если x₁ ≤ x₂ и x₂ ≤ x₃ , то x₁ ≤ x₃ .

4)   К обеим частям неравенства можно прибавить (вычесть) одно и то же число.
Если x₁ < x₂ , то x₁ + A < x₂ + A .
Если x₁ ≤ x₂ , то x₁ + A ≤ x₂ + A .
Если x₁ ≥ x₂ , то x₁ + A ≥ x₂ + A .
Если x₁ > x₂ , то x₁ + A > x₂ + A .

5)   Если есть два или более неравенств со знаком одного направления, то их левые и правые части можно сложить.
Если x₁ < x₂ , x₃ < x₄ , то x₁ + x₃ < x₂ + x₄ .
Если x₁ < x₂ , x₃ ≤ x₄ , то x₁ + x₃ < x₂ + x₄ .
Если x₁ ≤ x₂ , x₃ < x₄ , то x₁ + x₃ < x₂ + x₄ .
Если x₁ ≤ x₂ , x₃ ≤ x₄ , то x₁ + x₃ ≤ x₂ + x₄ .
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство ( но все знаки имеют одинаковое направление ), то при сложении получается строгое неравенство.

6)   Обе части неравенства можно умножить (разделить) на положительное число.
Если x₁ < x₂ и A > 0 , то A · x₁ < A · x₂ .
Если x₁ ≤ x₂ и A > 0 , то A · x₁ ≤ A · x₂ .
Если x₁ ≥ x₂ и A > 0 , то A · x₁ ≥ A · x₂ .
Если x₁ > x₂ и A > 0 , то A · x₁ > A · x₂ .

7)   Обе части неравенства можно умножить (разделить) на отрицательное число. При этом знак неравенства изменится на противоположный.
Если x₁ < x₂ и A < 0 , то A · x₁ > A · x₂ .
Если x₁ ≤ x₂ и A < 0 , то A · x₁ ≥ A · x₂ .
Если x₁ ≥ x₂ и A < 0 , то A · x₁ ≤ A · x₂ .
Если x₁ > x₂ и A < 0 , то A · x₁ < A · x₂ .

8)   Если есть два или более неравенств с положительными членами, со знаком одного направления, то их левые и правые части можно умножить друг на друга.
Если x₁ < x₂ , x₃ < x₄ , x₁, x₂, x₃, x₄ > 0 то x₁ · x₃ < x₂ · x₄ .
Если x₁ < x₂ , x₃ ≤ x₄ , x₁, x₂, x₃, x₄ > 0 то x₁ · x₃ < x₂ · x₄ .
Если x₁ ≤ x₂ , x₃ < x₄ , x₁, x₂, x₃, x₄ > 0 то x₁ · x₃ < x₂ · x₄ .
Если x₁ ≤ x₂ , x₃ ≤ x₄ , x₁, x₂, x₃, x₄ > 0 то x₁ · x₃ ≤ x₂ · x₄ .
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство ( но все знаки имеют одинаковое направление ), то при умножении получается строгое неравенство.

9)   Пусть f(x) - монотонно возрастающая функция. То есть при любых x₁ > x₂ , f(x₁) > f(x₂) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства не изменится.
Если x₁ < x₂ , то f(x₁) < f(x₂) .
Если x₁ ≤ x₂ , то f(x₁) ≤ f(x₂) .
Если x₁ ≥ x₂ , то f(x₁) ≥ f(x₂) .
Если x₁ > x₂ , то f(x₁) > f(x₂) .

10)   Пусть f(x) - монотонно убывающая функция, То есть при любых x₁ > x₂ , f(x₁) < f(x₂) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Если x₁ < x₂ , то f(x₁) > f(x₂) .
Если x₁ ≤ x₂ , то f(x₁) ≥ f(x₂) .
Если x₁ ≥ x₂ , то f(x₁) ≤ f(x₂) .
Если x₁ > x₂ , то f(x₁) < f(x₂) .

Методы решения неравенств

Решение неравенств методом интервалов

Метод интервалов применим, если в неравенство входит одна переменная, которую обозначим как x , и оно имеет вид:
f(x) > 0
где f(x) - непрерывная функция, имеющая конечное число точек разрывов. Знак неравенства может быть любым: >, ≥, <, ≤ .

Метод интервалов заключается в следующем.

1)   Находим область определения функции f(x) и отмечаем ее интервалами на числовой оси.

2)   Находим точки разрыва функции f(x) . Например, если это дробь, то находим точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Отмечаем эти точки на числовой оси.

3)   Решаем уравнение
f(x) = 0 .
Корни этого уравнения отмечаем на числовой оси.

4)   В результате числовая ось окажется разбитой точками на интервалы (отрезки). Внутри каждого интервала, входящего в область определения, выбираем любую точку и в этой точке вычисляем значение функции. Если это значение больше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „+“ . Если это значение меньше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „–“ .

5)   Если неравенство имеет вид: f(x) > 0 , то выбираем интервалы с знаком „+“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≥ 0 , то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0 . То есть часть интервалов, возможно, будут иметь замкнутые границы (граница принадлежит интервалу). другая часть может иметь открытые границы (граница не принадлежит интервалу).
Аналогично, если неравенство имеет вид: f(x) < 0 , то выбираем интервалы с знаком „–“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≤ 0 , то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0 .

Решение неравенств, применяя их свойства

Этот метод применим для неравенств любой сложности. Он состоит в том, чтобы, применяя свойства (представленные выше), привести неравенства к более простому виду и получить решение. Вполне возможно, что при этом получится не одно, а система неравенств. Это универсальный метод. Он применим для любых неравенств.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 20-09-2014   Изменено: 16-12-2019