Деление многочленов уголком

Приводится доказательство, что неправильную дробь, составленную из многочленов, можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Подробно разобраны примеры деления многочленов уголком.

Содержание

См. также:

Теорема

Пусть P_k(x) , Q_n(x) – многочлены от переменной x степеней k и n , соответственно, причем k ≥ n . Тогда многочлен P_k(x) можно представить единственным способом в следующем виде:
(1) P_k(x) = S_k–n(x) Q_n(x) + U_n–1(x) ,
где S_k–n(x) – многочлен степени k–n , U_n–1(x) – многочлен степени не выше n–1 , или нуль.

Доказательство

По определению многочлена:
P_k (x ) = p_k x^k + p_k – 1 x^k – 1 + ... + p₁ x + p₀ ;
Q_n (x ) = q_n xⁿ + q_n – 1 x^n – 1 + ... + q₁ x + q₀ ;
S_k – n (x ) = s_k – n x^k – n + s_{k – n – 1} x^{k – n – 1} + ... + s₁ x + s₀ ;
U_n – 1 (x ) = u_n – 1 x^n – 1 + u_n – 2 x^n – 2 + ... + u₁ x + u₀ ,
где p_i , q_i – известные коэффициенты, s_i , u_i – неизвестные коэффициенты.

Введем обозначение:
S_{k – n – 1} (x ) = S_k – n (x ) – s_k – n x^k – n = s_{k – n – 1} x^{k – n – 1} + ... + s₁ x + s₀ .
Подставим в (1) S_k – n (x ) = s_k – n x^k – n + S_{k – n – 1} (x ) :
P_k (x ) = ( s_k – n x^k – n + S_{k – n – 1} (x ) )Q_n (x ) + U_n – 1 (x ) ;
(2) P_k (x ) = s_k – n x^k – n Q_n (x ) + S_{k – n – 1} (x )Q_n (x ) + U_n – 1 (x ) .
Первый член в правой части – это многочлен степени k . Сумма второго и третьего членов – это многочлен степени не выше k – 1 . Приравняем коэффициенты при x^k :
p_k = s_k-n q_n .
Отсюда s_k-n = p_k / q_n .

Преобразуем уравнение (2):
P_k (x ) – s_k – n x^k – n Q_n (x ) = S_{k – n – 1} (x )Q_n (x ) + U_n – 1 (x ) .
Введем обозначение: ^~P(x ) = P_k (x ) – s_k – n x^k – n Q_n (x ) .
Поскольку s_k-n = p_k / q_n , то коэффициент при x^k равен нулю. Поэтому ^~P(x ) – это многочлен степени не выше k – 1 , ^~P(x ) = ^~P_k – 1 (x ) . Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде:
(3) ^~P_k – 1 (x ) = S_{k – n – 1} (x )Q_n (x ) + U_n – 1 (x ) .

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1), только значение k стало на 1 меньше. Повторяя эту процедуру k–n раз, получаем уравнение:
^~P_n – 1 (x ) = U_n – 1 (x ) ,
из которого определяем коэффициенты многочлена U_n–1(x) .

Итак, мы определили все неизвестные коэффициенты s_i , u_l . Причем s_k–n ≠ 0 . Лемма доказана.

Деление многочленов

Разделив обе части уравнения (1) на Q_n(x) , получим:
(4) P_k (x )Q_n (x ) = S_k – n (x ) + U_n – 1 (x )Q_n (x ) .
По аналогии с десятичными числами, S_k–n(x) называется целой частью дроби или частным, U_n–1(x) – остатком от деления. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе называется правильной дробью. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе называется неправильной дробью.

Уравнение (4) показывает, что любую неправильную дробь многочленов можно упростить, представив ее в виде суммы целой части и правильной дроби.

Деление многочленов уголком

По своей сути, целые десятичные числа являются многочленами, у которых переменная равна числу 10 . Например, возьмем число 265847. Его можно представить в виде:
265847 = 2 ⋅ 10⁵ + 6 ⋅ 10⁴ + 5 ⋅ 10³ + 8 ⋅ 10² + 4 ⋅ 10 + 7 .
То есть это многочлен пятой степени от 10 . Цифры 2, 6, 5, 8, 4, 7 являются коэффициентами разложения числа по степеням числа 10.

Поэтому к многочленам можно применить правило деления уголком (иногда его называют делением в столбик), применяемое к делению чисел. Единственное отличие заключается в том, что, при делении многочленов, не нужно переводить числа больше девяти в старшие разряды. Рассмотрим процесс деления многочленов уголком на конкретных примерах.

Примеры деления многочленов уголком

Все примеры

Здесь мы рассмотрим следующие примеры деления многочленов:
2x⁴ – 10x³ + 23x² – 22x – 3x² – 3x + 5 x³ – 6x² + 11x – 6x – 1

Пример 1

Все примеры

Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
2x⁴ – 10x³ + 23x² – 22x – 3x² – 3x + 5 .

Решение

Здесь в числителе стоит многочлен четвертой степени. В знаменателе – многочлен второй степени. Поскольку 4 ≥ 2 , то дробь неправильная. Выделим целую часть, разделив многочлены уголком (в столбик):

–	2x⁴	–10x³	+23x²	–22x	–3	x²	–3x	+5
–	2x⁴	–6x³	+10x²			2x²	–4x	+1
	–	–4x³	+13x²	–22x	–3
	–	–4x³	+12x²	–20x
		–	x²	–2x	–3
		–	x²	–3x	+5
				x	–8

Приведем подробное описание процесса деления. Исходные многочлены записываем в левый и правый столбики. Под многочленом знаменателя, в правом столбике, проводим горизонтальную черту (уголок). Ниже этой черты, под уголком, будет целая часть дроби.

2x⁴	–10x³	+23x²	–22x	–3	x²	–3x	+5

1.1 Находим первый член целой части (под уголком). Для этого разделим старший член числителя на старший член знаменателя: s₂ = 2x⁴x² = 2x² .

2x⁴	–10x³	+23x²	–22x	–3	x²	–3x	+5
					2x²

1.2 Умножаем 2x² на x² – 3x + 5 :
2x² (x² – 3x + 5 ) = 2x⁴ – 6x³ + 10x² . Результат записываем в левый столбик:

–	2x⁴	–10x³	+23x²	–22x	–3	x²	–3x	+5
–	2x⁴	–6x³	+10x²			2x²

1.3 Берем разность многочленов в левом столбике:
2x⁴ – 10x³ + 23x² – 22x – 3 – (2x⁴ – 6x³ + 10x² ) =
(2 – 2 )x⁴ + (– 10 – (– 6 ))x³ + (23 – 10 )x² – 22x – 3 = – 4x³ + 13x² – 22x – 3 .

–	2x⁴	–10x³	+23x²	–22x	–3	x²	–3x	+5
–	2x⁴	–6x³	+10x²			2x²
		–4x³	+13x²	–22x	–3

Итак, мы получили промежуточный результат:
2x⁴ – 10x³ + 23x² – 22x – 3x² – 3x + 5 = 2x² + – 4x³ + 13x² – 22x – 3x² – 3x + 5 .

Дробь в правой части неправильная, поскольку степень многочлена в числителе (3) больше или равна степени многочлена в знаменателе (2). Повторяем вычисления. Только теперь числитель дроби находится в последней строке левого столбика.
2.1 Разделим старший член числителя на старший член знаменателя: s₁ = – 4x³x² = – 4x ;

–	2x⁴	–10x³	+23x²	–22x	–3	x²	–3x	+5
–	2x⁴	–6x³	+10x²			2x²	–4x
		–4x³	+13x²	–22x	–3

2.2 Умножаем на знаменатель: – 4x(x² – 3x + 5 ) = – 4x³ + 12x² – 20x ;

2.3 И вычитаем из последней строки левого столбика: – 4x³ + 13x² – 22x – 3 – (– 4x³ + 12x² – 20x ) = x² – 2x – 3 ;

–	2x⁴	–10x³	+23x²	–22x	–3	x²	–3x	+5
–	2x⁴	–6x³	+10x²			2x²	–4x
	–	–4x³	+13x²	–22x	–3
	–	–4x³	+12x²	–20x
			x²	–2x	–3

Промежуточный результат:
2x⁴ – 10x³ + 23x² – 22x – 3x² – 3x + 5 = 2x² – 4x + x² – 2x – 3x² – 3x + 5 .

Снова повторяем вычисления, поскольку в правой части стоит неправильная дробь.
3.1 s₀ = x²x² = 1 ;
3.2 1 ⋅ (x² – 3x + 5 ) = x² – 3x + 5 ;
3.3 x² – 2x – 3 – (x² – 3x + 5 ) = x – 8 ;

–	2x⁴	–10x³	+23x²	–22x	–3	x²	–3x	+5
–	2x⁴	–6x³	+10x²			2x²	–4x	+1
	–	–4x³	+13x²	–22x	–3
	–	–4x³	+12x²	–20x
		–	x²	–2x	–3
		–	x²	–3x	+5
				x	–8

Итак, мы получили:
2x⁴ – 10x³ + 23x² – 22x – 3x² – 3x + 5 = 2x² – 4x + 1 + x – 8x² – 3x + 5 .
Степень многочлена в числителе правой дроби меньше степени многочлена знаменателя, 1 < 2 . Поэтому дробь – правильная.

Ответ

2x⁴ – 10x³ + 23x² – 22x – 3x² – 3x + 5 = 2x² – 4x + 1 + x – 8x² – 3x + 5 ;
2x² – 4x + 1 – это целая часть;
x – 8 – остаток от деления.

Пример 2

Все примеры

Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
x³ – 6x² + 11x – 6x – 1 .

Решение

Выполняем те же действия, что и в предыдущем примере:

–	x³	–6x²	+11x	–6	x	–1
–	x³	–x²			x²	–5x	+6
	–	–5x²	11x	–6
	–	–5x²	+5x
		–	6x	–6
		–	6x	–6
				0

Здесь остаток от деления равен нулю:
x³ – 6x² + 11x – 6x – 1 = x² – 5x + 6 + 0x – 1 = x² – 5x + 6 .

Ответ

x³ – 6x² + 11x – 6x – 1 = x² – 5x + 6 .

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 21-05-2015 Изменено: 29-08-2024

См. также: