Степенная функция, ее свойства и графики

Представлены свойства и графики степенных функций при различных значениях показателя степени. Основные формулы, области определения и множества значений, четность, монотонность, возрастание и убывание, экстремумы, выпуклость, перегибы, точки пересечения с осями координат, пределы, частные значения.

Формулы со степенной функцией

На области определения степенной функции  y = x ^p  имеют место следующие формулы:
x^p + q  = x^p  ⋅ x^q  ;    x^p – q  = x^p x^q   ; 
( x^p  )^q  = x^p ⋅ q  = ( x^q  )^p  ; 
(x₁  ⋅ x₂ )^p  = x^p₁  ⋅ x^p₂  ;    ( x₁ x₂   )^p  = x^p₁ x^p₂   ; 
x⁰  = 1 ;    x^– p  = 1x^p   ; 
ⁿ√ x  = x¹ⁿ  ;    √ x  = x¹²  . 

Свойства степенных функций и их графики

Далее мы рассматриваем степенную функцию
y(x) = x ^p .

Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0

Если показатель степенной функции y = x ^p равен нулю, p = 0 , то степенная функция определена для всех x ≠ 0 и является постоянной, равной единице:
y = x ^p = x ⁰ = 1,   x ≠ 0 .

Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, ...

Рассмотрим степенную функцию   y = x ^p = x ⁿ   с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1 , где k = 0, 1, 2, 3, ... – целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   –∞ < y < ∞
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность:   монотонно возрастает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при   –∞ < x < 0 выпукла вверх
при   0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов:   x = 0,   y = 0
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:
lim_{x →  – ∞} xⁿ  ≡ lim_{x →  – ∞} x^2k + 1  = – ∞ ;   lim_{x →  + ∞} xⁿ  ≡ lim_{x →  + ∞} x^2k + 1  = + ∞
Частные значения:
при x = –1,
y(–1) = (–1) ⁿ ≡ (–1) ^2k+1 = –1
при x = 0,   y(0) = 0 ⁿ = 0
при x = 1,   y(1) = 1 ⁿ = 1
Обратная функция:
при n = 1 , функция является обратной к самой себе:   x = y
при n ≠ 1 , обратной функцией является корень степени n :   x = ⁿ√ y  

Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, ...

Рассмотрим степенную функцию   y = x ^p = x ⁿ   с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k , где k = 1, 2, 3, ... – натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   0 ≤ y < ∞
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x ≤ 0 монотонно убывает
при x ≥ 0 монотонно возрастает
Экстремумы:   минимум,   x = 0,   y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:
lim_{x →  – ∞} xⁿ  ≡ lim_{x →  – ∞} x^2k  = + ∞ ;   lim_{x →  + ∞} xⁿ  ≡ lim_{x →  + ∞} x^2k  = + ∞
Частные значения:
при x = –1 , y(–1) = (–1) ⁿ ≡ (–1) ^2k = 1
при x = 0,   y(0) = 0 ⁿ = 0
при x = 1,   y(1) = 1 ⁿ = 1
Обратная функция:
при n = 2 , квадратный корень:   x = √ y  ,  y ≥ 0
при n ≠ 2 , корень степени n :   x = ⁿ√ y  ,  y ≥ 0

Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, ...

Рассмотрим степенную функцию   y = x ^p = x ⁿ   с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, ... . Если положить n = –k , где k = 1, 2, 3, ... – натуральное, то ее можно представить в виде:
y = xⁿ  = x^– k  = 1x^k  

Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, ...

Ниже представлены свойства функции y = x ⁿ с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ... .

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y ≠ 0
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при x < 0 :   выпукла вверх
при x > 0 :   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:
при x < 0,   y < 0
при x > 0,   y > 0
Пределы:
lim_{x →  – ∞} xⁿ  = 0 ;   lim_{x →  – 0} xⁿ  = – ∞ ;   lim_{x →  + 0} xⁿ  = + ∞ ;   lim_{x →  + ∞} xⁿ  = 0
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = (–1) ⁿ = –1
при x = 1,   y(1) = 1 ⁿ = 1
Обратная функция:
при n = –1 ,   x = 1y 
при n < –2 ,   x = 1^| n |√ y   

Четный показатель, n = -2, -4, -6, ...

Ниже представлены свойства функции y = x ⁿ с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ... .

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y > 0
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 :   монотонно возрастает
при x > 0 :   монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:   y > 0
Пределы:
lim_{x →  – ∞} xⁿ  = 0 ;   lim_{x →  – 0} xⁿ  = + ∞ ;   lim_{x →  + 0} xⁿ  = + ∞ ;   lim_{x →  + ∞} xⁿ  = 0
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = (–1) ⁿ = 1
при x = 1,   y(1) = 1 ⁿ = 1
Обратная функция:
при n = –2 ,   x = 1√ y   
при n < –2 ,   x = 1^| n |√ y   

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

Рассмотрим степенную функцию   y = x ^p   с рациональным (дробным) показателем степени p = nm  ,  где n – целое, m > 1 – натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.

Знаменатель дробного показателя - нечетный

Пусть знаменатель дробного показателя степени   p = nm    нечетный: m = 3, 5, 7, ... . В этом случае, степенная функция x ^p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.

Показатель p отрицательный, p < 0

Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, ... ) меньше нуля: p = nm < 0 . 

Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, ...

Приводим свойства степенной функции y = x ^p с рациональным отрицательным показателем   p = nm  ,    где n = -1, -3, -5, ... - нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y ≠ 0
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при x < 0 :   выпукла вверх
при x > 0 :   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:
при x < 0,   y < 0
при x > 0,   y > 0
Пределы:
lim_{x →  – ∞} x^nm  = 0 ;   lim_{x →  – 0} x^nm  = – ∞ ;   lim_{x →  + 0} x^nm  = + ∞ ;   lim_{x →  + ∞} x^nm  = 0
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = (–1) ⁿ = –1
при x = 1,   y(1) = 1 ⁿ = 1
Обратная функция:
x = y^mn 

Четный числитель, n = -2, -4, -6, ...

Свойства степенной функции y = x ^p с рациональным отрицательным показателем   p = nm  ,    где n = -2, -4, -6, ... - четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y > 0
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 :   монотонно возрастает
при x > 0 :   монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:   y > 0
Пределы:
lim_{x →  – ∞} x^nm  = 0 ;   lim_{x →  – 0} x^nm  = + ∞ ;   lim_{x →  + 0} x^nm  = + ∞ ;   lim_{x →  + ∞} x^nm  = 0
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = (–1) ⁿ = 1
при x = 1,   y(1) = 1 ⁿ = 1
Обратная функция:
x = y^mn 

Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1

Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, ...

Представлены свойства степенной функции   y = x ^p   с рациональным показателем   p = nm  ,    находящимся в пределах 0 < p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < +∞
Множество значений:   –∞ < y < +∞
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при x < 0 :   выпукла вниз
при x > 0 :   выпукла вверх
Точки перегибов:   x = 0,   y = 0
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Знак:
при x < 0,   y < 0
при x > 0,   y > 0
Пределы:
lim_{x →  – ∞} x^nm  = – ∞ ;   lim_{x →  + ∞} x^nm  = + ∞
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = –1
при x = 0,   y(0) = 0
при x = 1,   y(1) = 1
Обратная функция:
x = y^mn 

Четный числитель, n = 2, 4, 6, ...

Представлены свойства степенной функции y = x ^p с рациональным показателем   p = nm  ,    находящимся в пределах 0 < p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... – четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... – нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < +∞
Множество значений:   0 ≤ y < +∞
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 :   монотонно убывает
при x > 0 :   монотонно возрастает
Экстремумы:   минимум при x = 0,   y = 0
Выпуклость: выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Знак:   при x ≠ 0,   y > 0
Пределы:
lim_{x →  – ∞} x^nm  = + ∞ ;   lim_{x →  + ∞} x^nm  = + ∞
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = 1
при x = 0,   y(0) = 0
при x = 1,   y(1) = 1
Обратная функция:
x = y^mn 

Показатель p больше единицы, p > 1

Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, ...

Свойства степенной функции   y = x ^p   с рациональным показателем, большим единицы:   p = nm > 1 .    Где n = 5, 7, 9, ... – нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... – нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   –∞ < y < ∞
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность:   монотонно возрастает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при   –∞ < x < 0 выпукла вверх
при   0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
lim_{x →  – ∞} x^p  = – ∞ ;   lim_{x →  + ∞} x^p  = + ∞
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = –1
при x = 0,   y(0) = 0
при x = 1,   y(1) = 1
Обратная функция:   x = y^mn 

Четный числитель, n = 4, 6, 8, ...

Свойства степенной функции   y = x ^p   с рациональным показателем, большим единицы:   p = nm > 1 .    Где n = 4, 6, 8, ... – четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... – нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   0 ≤ y < ∞
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы:   минимум при   x = 0,   y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:
lim_{x →  – ∞} x^p  = + ∞ ;   lim_{x →  + ∞} x^p  = + ∞
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = 1
при x = 0,   y(0) = 0
при x = 1,   y(1) = 1
Обратная функция:   x = y^mn ,  y ≥ 0

Знаменатель дробного показателя - четный

Пусть знаменатель дробного показателя степени p = nm  четный: m = 2, 4, 6, ... . В этом случае, степенная функция x ^p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).

Степенная функция с иррациональным показателем

Рассмотрим степенную функцию   y = x ^p   с иррациональным показателем степени p . Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.

Степенная функция с отрицательным показателем p < 0

Область определения:   x > 0
Множество значений:   y > 0
Монотонность:   монотонно убывает
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Пределы:   lim_{x →  + 0} x^p  = + ∞ ;   lim_{x →  + ∞} x^p  = 0
Частное значение:   При x = 1,   y(1) = 1^p = 1

Степенная функция с положительным показателем p > 0

Показатель меньше единицы 0 < p < 1

Область определения:   x ≥ 0
Множество значений:   y ≥ 0
Монотонность:   монотонно возрастает
Выпуклость:   выпукла вверх
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:   lim_{x →  + ∞} x^p  = + ∞
Частные значения:   При x = 0,   y(0) = 0 ^p = 0 .
При x = 1,   y(1) = 1 ^p = 1

Показатель больше единицы p > 1

Область определения:   x ≥ 0
Множество значений:   y ≥ 0
Монотонность:   монотонно возрастает
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:   lim_{x →  + ∞} x^p  = + ∞
Частные значения:   При x = 0,   y(0) = 0 ^p = 0 .
При x = 1,   y(1) = 1 ^p = 1

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 12-08-2014   Изменено: 14-12-2018