Справочные данные по гиперболическим функциям – свойства, графики, формулы

Справочные данные по гиперболическим функциям. Определения, графики и свойства гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Формулы сумм, разностей и произведений. Производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через тригонометрические функции.

Определения гиперболических функций, их области определений и значений

sh x – гиперболический синус

y = sh x = e^x  – e^– x 2  ,      –∞ < x < +∞;   –∞ < y < +∞ .

ch x – гиперболический косинус

y = ch x = e^x  + e^– x 2  ,      –∞ < x < +∞;   1 ≤ y < +∞ .

th x – гиперболический тангенс

y = th x = sh xch x = e^x  – e^– x e^x  + e^– x   ,      –∞ < x < +∞;   – 1 < y < +1 .

cth x – гиперболический котангенс

y = cth x = ch xsh x = e^x  + e^– x e^x  – e^– x   ,      x ≠ 0;   y < –1   или   y > +1 .

Графики гиперболических функций

Формулы с гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

sin iz = i sh z ;     cos iz = ch z
sh iz = i sin z ;     ch iz = cos z
tg iz = i th z ;     ctg iz = – i cth z
th iz = i tg z ;     cth iz = – i ctg z
Здесь   i – мнимая единица,   i² = –1 .

Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.

Четность

sh(–x) = – sh x ;   ch(–x) = ch x .
th(–x) = – th x ;   cth(–x) = – cth x .

Функция   ch(x)   – четная. Функции   sh(x) ,   th(x) ,   cth(x) – нечетные.

Разность квадратов

ch² x – sh² x = 1 .

Формулы суммы и разности аргументов

sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y ,
ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y ,
th (x ± y ) = th x ± th y1 ± th x th y  , 
cth (x ± y ) = 1 ± cth x cth ycth x ± cth y  , 

sh 2x = 2 sh x ch x  ,
ch 2x = ch² x + sh² x = 2 ch² x – 1 = 1 + 2 sh² x ,
th 2x= 2 th x1 + th² x  . 

Формулы произведений гиперболического синуса и косинуса

sh xch y =  12 ( sh (x + y ) + sh (x – y ) ) , 
sh xsh y =  12 ( ch (x + y ) – ch (x – y ) ) , 
ch xch y =  12 ( ch (x + y ) + ch (x – y ) ) , 

sh xch x = 12 sh 2x , 
sh² x = 12 ( ch 2x – 1  ) , 
ch² x = 12 ( ch 2x + 1  ) . 

Формулы суммы и разности гиперболических функций

sh x + sh y = 2 sh x + y2 ch x – y2  , 
sh x – sh y = 2 sh x – y2 ch x + y2  , 
ch x + ch y = 2 ch x + y2 ch x – y2  , 
ch x – ch y = 2 sh x + y2 sh x – y2  , 
th x ± th y = sh (x ± y )ch x ch y  . 

Связь гиперболического синуса и косинуса с тангенсом и котангенсом

sh x = th x√ 1 – th² x    ,      ch x = 1√ 1 – th² x    , 
sh² x = 1cth² x – 1  ,      ch² x = cth² xcth² x – 1  . 

Производные

(sh x )^′ = ch x,  (ch x )^′ = sh x , 
(th x )^′ = 1ch² x ,  (cth x )^′ = – 1sh² x 

Интегралы от sh x, ch x, th x, cth x

∫ sh x dx = ch x + C,  ∫ ch x dx = sh x + C , 
∫ th x dx = ∫ sh xch x  dx = ∫ d(ch x )ch x = ln ( ch x  ) + C , 
∫ cth x dx = ∫ ch xsh x  dx = ∫ d(sh x )sh x = ln |  sh x   | + C . 

Разложения в ряды

sh x = ^∞Σ_n = 0 x^2n + 1 (2n + 1 )! = x + x³ 3! + x⁵ 5! + x⁷ 7! +  ...  (– ∞ < x < ∞ ) . 

ch x = ^∞Σ_n = 0 x²ⁿ (2n )! = 1 + x² 2! + x⁴ 4! + x⁶ 6! +  ...  (– ∞ < x < ∞ ) , 

th x = x – 13 x³  + 215 x⁵  – 17315 x⁷  + 622835 x⁹  +  ... , 

cth x = 1x + 13 x – 145 x³  + 2945 x⁵  – 14725 x⁷  +  ... . 

Обратные функции

Ареасинус

При   – ∞ < x < ∞   и   – ∞ < y < ∞   имеют место формулы:
sh arsh x = x,  arsh sh y = y , 
arsh x = ln ( x + √ x²  + 1   ) . 

Ареакосинус

При   1 ≤ x < ∞   и   0 ≤ y < ∞   имеют место формулы:
ch arch x = x,  arch ch y = y , 
arch x = ln ( x + √ x²  – 1   ) . 

Вторая ветвь ареакосинуса расположена при   1 ≤ x < ∞   и   – ∞ < y ≤ 0  :
arch x = – ln ( x + √ x²  – 1   ) =  ln ( x – √ x²  – 1   ) . 

Ареатангенс

При   – 1 < x < 1   и   – ∞ < y < ∞   имеют место формулы:
th arth x = x,  arth th y = y , 
arth x = 12 ln ( 1 + x1 – x  ) . 

Ареакотангенс

При   – ∞ < x < – 1   или   1 < x < ∞   и   y ≠ 0   имеют место формулы:
cth arcth x = x,  arcth cth y = y , 
arcth x = 12 ln ( x + 1x – 1  ) . 

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 27-07-2014

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.