Примеры решений кубических уравнений

Приведены примеры решений кубических уравнений по формулам Кардано и Виета.

Обзор методов решения кубических уравнений приведен на странице “Решение кубических уравнений”. Здесь мы приводим два примера, используя формулы Кардано и Виета.

Пример решения кубического уравнения с комплексными корнями

Решить кубическое уравнение:
(1.1)   x³  + 2x²  + x + 1 = 0 . 

Решение

Поиск целых корней

Уравнение (1.1) имеет целые коэффициенты. Проверим, не содержит ли это уравнение целых корней. Член без x – это 1. У числа 1 есть два делителя: 1 и – 1. Подставим в уравнение (1.1) x = 1 и x = – 1 .  Ни для одного из этих чисел уравнение не выполняется. Следовательно, целых корней нет.

Сведение уравнения к приведенному виду

Пусть a = 2;  b = 1;  c = 1 обозначают коэффициенты при x²  ,  x и свободный член. Делаем подстановку
(1.2)   x = y – a3 = y – 23  . 
В результате получаем уравнение приведенного вида:
(1.3)   y³  + py + q = 0 , 
где
p = – a² 3 + b = – 43 + 33 = – 13  ; 
q = 2( a3  )³  – ab3 + c =  2( 23  )³  – 23 + 1 =  16 – 18 + 2727 = 253³   . 

Определение вида корней

Определяем, имеет ли уравнение комплексные корни. Для этого находим дискриминант:
Q = ( p3  )³  + ( q2  )²  =  – 19³  + ( 252 ⋅ 3³   )²  =  – 4 + 25² 2²  ⋅ 3⁶  = 6212²  ⋅ 3⁶   . 
Дискриминант положителен. Следовательно, уравнение имеет один действительный корень и два комплексно сопряженных.

Нахождение корней по формуле Кардано

Поскольку дискриминант положителен, то находим корни по формуле Кардано:
y₁  = A + B ,    y_2,3  = – A + B2 ± i A – B2 √ 3   , 
где
A = ³√ – q2 + √ Q      ;    B = ³√ – q2 – √ Q      ;    AB = – p3  . 
При Q ≥ 0 ,  для величин A и B ,  можно взять действительные значения корней. Тогда соотношение   AB = – p3    выполняется автоматически.

В нашем случае:
√ Q  = √ 621  2 ⋅ 3³  = √ 69  2 ⋅ 3²   ; 
A³  = – q2 + √ Q  =  – 252 ⋅ 3³  + √ 69  2 ⋅ 3²  = – 25 – 3 √ 69  2 ⋅ 3³   ; 
A = – 13 ⋅ ³√ 2    ³√ 25 – 3 √ 69    ≈  – 0, 11405935832304266 ; 
B³  = – q2 – √ Q  =  – 252 ⋅ 3³  – √ 69  2 ⋅ 3²  = – 25 + 3 √ 69  2 ⋅ 3³   ; 
B = – 13 ⋅ ³√ 2    ³√ 25 + 3 √ 69    ≈  – 0, 9741516412569825 ; 
y₁  = A + B =  – 13 ⋅ ³√ 2   ( ³√ 25 – 3 √ 69    +    ³√ 25 + 3 √ 69     ) ≈  – 1, 088210999580025 ; 
A – B = 13 ⋅ ³√ 2   ( ³√ 25 + 3 √ 69    –    ³√ 25 – 3 √ 69     ) ≈  0, 8600922829339398 ; 
y₂  = – A + B2 + i A – B2 √ 3  = 
 16 ⋅ ³√ 2   [ ( ³√ 25 + 3 √ 69    +     ³√ 25 – 3 √ 69     ) +  i √ 3  ( ³√ 25 + 3 √ 69    –     ³√ 25 – 3 √ 69     ) ] ≈ 
 0, 5441054997900125 +  0, 7448617666197448 i ; 
y₃  = y₂  ≈ 0, 5441054997900125 –  0, 7448617666197448 i . 

Итак, мы нашли корни неполного кубического уравнения. По формуле (1.2) находим корни исходного уравнения:
x_k  = y_k  – 23  . 

Ответ

x₁  = – 13 ⋅ ³√ 2   ( ³√ 25 – 3 √ 69    +    ³√ 25 + 3 √ 69     ) – 23 ≈  – 1, 7548776662466916 ; 
x₂  = 16 ⋅ ³√ 2   [ ( ³√ 25 + 3 √ 69    +      ³√ 25 – 3 √ 69     ) +  
 i √ 3  ( ³√ 25 + 3 √ 69    –     ³√ 25 – 3 √ 69     ) ] – 23 ≈ 
 – 0, 12256116687665408 +  0, 7448617666197448 i ; 
x₃  = x₂  =  16 ⋅ ³√ 2   [ ( ³√ 25 + 3 √ 69    +     ³√ 25 – 3 √ 69     ) – 
 i √ 3  ( ³√ 25 + 3 √ 69    –     ³√ 25 – 3 √ 69     ) ] – 23 ≈ 
 – 0, 12256116687665408 – 0, 7448617666197448 i . 

Пример с действительными корнями

Решить кубическое уравнение:
(2.1)   x³  – 2x²  – x + 1 = 0 . 

Решение

Поиск целых корней

Уравнение (2.1) имеет целые коэффициенты. Проверим, нет ли у этого уравнения целых корней. Свободный член – это 1. У него есть два делителя: 1 и – 1. Подставим в уравнение (2.1) x = 1 и x = – 1 .  Уравнение не выполняется ни для одного из этих чисел. Следовательно, целых корней нет.

Сведение уравнения к приведенному виду

В исходном уравнении (2.1),
a = – 2;  b = – 1;  c = 1 . 
Делаем подстановку
(2.2)   x = y – a3 = y + 23 
и приводим уравнение (2.1) к приведенному (неполному) виду:
(2.3)   y³  + py + q = 0 , 
где
p = – a² 3 + b = – 43 – 33 = – 73  ; 
q = 2( a3  )³  – ab3 + c =  2( – 23  )³  – 23 + 1 =  – 16 – 18 + 273³  = – 73³   . 

Определение вида корней

Определяем, имеет ли уравнение комплексные корни. Находим дискриминант:
Q = ( p3  )³  + ( q2  )²  =  – 7³ 9³  + ( 72 ⋅ 3³   )²  =  – 2²  ⋅ 7³  + 7² 2²  ⋅ 3⁶  = – 27 ⋅ 7² 2²  ⋅ 3⁶  < 0 . 
Дискриминант отрицателен. Следовательно, уравнение имеет три действительных корня.

Нахождение корней по формуле Виета

Поскольку дискриминант отрицателен, то находим корни по формуле Виета:
cos φ = – q2 ( 3– p  )^3 / 2  =  72 ⋅ 3³  ( 3² 7  )^3 / 2  = 12  √ 7    ; 
φ = arccos ( 12  √ 7    ) ≈  1, 38067072344843 ; 
y₁  = 2  √ – p3    cos (φ / 3 ) =  2  √ 7  3  cos (1, 38067072344843 / 3 ) ≈  1, 5803129370508004 ; 
y₂  = 2  √ – p3    cos (φ / 3 + 2π / 3 ) =  2  √ 7  3  cos (1, 38067072344843 / 3 +  2π / 3 ) ≈ 
 – 1, 4686044024715046 ; 
y₃  = 2  √ – p3    cos (φ / 3 – 2π / 3 ) =  2  √ 7  3  cos (1, 38067072344843 / 3 –  2π / 3 ) ≈ 
 – 0, 11170853457929653 . 

Итак, мы нашли корни приведенного кубического уравнения. По формуле (2.2) находим корни исходного уравнения:
x_k  = y_k  + 23  . 

Ответ

x₁  ≈ 2, 246979603717467 ; 
x₂  ≈ – 0, 801937735804838 ; 
x₃  ≈ 0, 5549581320873701 . 

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 02-10-2016