Натуральный логарифм, функция ln x

Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.

Определение

Натуральный логарифм

– это функция   y = ln x , обратная к экспоненте, x = e ^y , и являющаяся логарифмом по основанию числа е :   ln x = log_e x .

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/x .

Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045... ;
e = lim_{n → ∞} ( 1 + 1n  )ⁿ  . 

График натурального логарифма ln x

График натурального логарифма (функции y = ln x) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x .

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x^a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Значения ln x

ln 1 = 0 ;   ln e = 1;   ln eⁿ  = n;   ln 1e = – 1;   ln 1eⁿ  = – n; 

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:
ln e^x  = x;    e^ln x  = x

Основное свойство логарифмов и его следствия

ln (xy ) = ln x + ln y
ln ( xy  ) = ln x – ln y
ln x^p  = p ln x;   ln ⁿ√ x  ≡ ln x¹ⁿ  = 1n ln x

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:
log_a b = log_e blog_e a ≡ ln bln a 
Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм".

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента.

Если    y = ln x (x > 0 ) ,    то    x = e^y 

Если    y = e^x   ,    то    x = ln y . 

Производная ln x

Производная натурального логарифма:
( ln x  )^′ = 1x  . 
Производная натурального логарифма от модуля x :
( ln  | x |  )^′ = 1x  . 
Производная n-го порядка:
( ln  | x |  )^(n )  = (– 1 )^n – 1 (n – 1 )!xⁿ   . 
Вывод формул > > >

Интеграл

Интеграл вычисляется интегрированием по частям:
∫ ln x dx =  ln x ⋅ x – ∫ x (ln x )^′ dx =  ln x ⋅ x – ∫ x  1x  dx =  ln x ⋅ x – ∫ dx =  ln x ⋅ x – x + C =  x ( ln x – 1 ) + C . 
Итак,
∫ ln x dx = x ( ln x – 1 ) + C

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z :
 f (z ) = ln z . 
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ:
z = re^iφ  . 
Используя свойства логарифма, имеем:
 f (z ) = ln z = ln ( re^iφ  ) =  ln r + ln e^iφ  =  ln r + iφ ln e =  ln r + iφ . 
Или
ln z = ln r + iφ . 
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
φ = φ₀  + 2πn ,  где n – целое,
то z = re^iφ  будет одним и тем же числом при различных n .

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При – 1 < x < 1 имеет место разложение:
ln (1 + x ) =  ^∞Σ_n = 1 (– 1 )^n – 1 xⁿ n =  x – x² 2 + x³ 3 – x⁴ 4 + ⋅ ⋅ ⋅

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 05-04-2014   Изменено: 20-03-2017