Теорема Виета для квадратных и других уравнений
Квадратные уравнения
Теорема Виета
Пусть x1 и x2 обозначают корни приведенного квадратного уравнения
(1) x 2 + px + q = 0 .
Тогда сумма корней равна коэффициенту при x , взятому с обратным знаком. Произведение корней равно свободному члену:
x1 + x2 = – p ;
x1 x2 = q .
Замечание по поводу кратных корней
Если дискриминант уравнения (1) равен нулю, то это уравнение имеет один корень. Но, чтобы избежать громоздких формулировок, принято считать, что в этом случае, уравнение (1) имеет два кратных, или равных, корня:
x1 = x2 .
Доказательство первое
Найдем корни уравнения (1). Для этого применим формулу для корней квадратного уравнения:
x1,2 = – p ± √ p 2 – 4q 2 ;
x1 = – p2 – 12 √ p 2 – 4q ;
x2 = – p2 + 12 √ p 2 – 4q .
Находим сумму корней:
x1 + x2 = – p2 – 12 √ p 2 – 4q – p2 + 12 √ p 2 – 4q = – p2 – p2 = – p .
Чтобы найти произведение, применим формулу:
(a – b )(a + b ) = a 2 – b 2 .
Тогда
x1 x2 = ( – p2 – 12 √ p 2 – 4q ) ⋅ ( – p2 + 12 √ p 2 – 4q ) =
( – p2 ) 2 – ( 12 √ p 2 – 4q ) 2 = p 2 4 – 14 (p 2 – 4q ) = q .
Теорема доказана.
Доказательство второе
Если числа x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения (1), то
x 2 + px + q = (x – x1 )(x – x2 ) .
Раскрываем скобки.
(x – x1 )(x – x2 ) = x(x – x2 ) – x1 (x – x2 ) = x 2 – x2 x – x1 x + x1 x2 =
x 2 – (x1 + x2 )x + x1 x2 .
Таким образом, уравнение (1) примет вид:
x 2 – (x1 + x2 )x + x1 x2 = 0 .
Сравнивая с (1) находим:
x1 + x2 = – p ;
x1 x2 = q .
Теорема доказана.
Обратная теорема Виета
Пусть x1 и x2 есть произвольные числа. Тогда x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения
x 2 + px + q = 0 ,
где
(2) p = – (x1 + x2 ) ;
(3) q = x1 x2 .
Доказательство обратной теоремы Виета
Рассмотрим квадратное уравнение
(1) x 2 + px + q = 0 .
Нам нужно доказать, что если p = – (x1 + x2 ) и q = x1 x2 , то x1 и x2 являются корнями уравнения (1).
Подставим (2) и (3) в (1):
x 2 – (x1 + x2 )x + x1 x2 = 0 .
Группируем члены левой части уравнения:
x 2 – x1 x – x2 x + x1 x2 = 0 ;
x(x – x1 ) – x2 (x – x1 ) = (x – x2 )(x – x1 ) = 0 ;
(4) (x – x1 )(x – x2 ) = 0 .
Подставим в (4) x = x1 :
(x1 – x1 )(x1 – x2 ) = 0 ;
0 ⋅ (x1 – x2 ) = 0 .
Уравнение выполняется. То есть число x1 является корнем уравнения (1).
Подставим в (4) x = x2 :
(x2 – x1 )(x2 – x2 ) = 0 ;
(x2 – x1 ) ⋅ 0 = 0 .
Уравнение выполняется. То есть число x2 является корнем уравнения (1).
Теорема доказана.
Теорема Виета для полного квадратного уравнения
Теперь рассмотрим полное квадратное уравнение
(5) ax 2 + bx + c = 0 ,
где a , b и c есть некоторые числа. Причем a ≠ 0 .
Разделим уравнение (5) на a :
x 2 + ba x + ca = 0 .
То есть мы получили приведенное уравнение
x 2 + px + q = 0 ,
где p = ba ; q = ca .
Тогда теорема Виета для полного квадратного уравнения имеет следующий вид.
Пусть x1 и x2 обозначают корни полного квадратного уравнения
ax 2 + bx + c = 0 .
Тогда сумма и произведение корней определяются по формулам:
x1 + x2 = – ba ;
x1 x2 = ca .
Теорема Виета для кубического уравнения
Аналогичным образом мы можем установить связи между корнями кубического уравнения. Рассмотрим кубическое уравнение
(6) αx 3 + βx 2 + γx + δ = 0 ,
где α , β , γ , δ есть некоторые числа. Причем α ≠ 0 .
Разделим это уравнение на α :
(7) x 3 + ax 2 + bx + c = 0 ,
где a = βα , b = γα , c = δα .
Пусть x1 , x2 , x3 есть корни уравнения (7) (и уравнения (6)). Тогда
x 3 + ax 2 + bx + c = (x – x1 )(x – x2 )(x – x3 ) =
x 3 – (x1 + x2 + x3 )x 2 + (x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )x – x1 x2 x3 = 0 .
Сравнивая с уравнением (7) находим:
x1 + x2 + x3 = – a ;
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = b ;
x1 x2 x3 = – c .
Теорема Виета для уравнения n-й степени
Тем же способом можно найти связи между корнями x1 , x2 , ... , xn – 1 , xn для уравнения n-й степени
x n + an – 1 x n – 1 + ... + a1 x + a0 = 0 .
Теорема Виета для уравнения n-й степени имеет следующий вид:
x1 + x2 + ... + xn = nΣi = 1 xi = – an – 1 ;
x1 x2 + x1 x3 + ... + xn – 1 xn = nΣi,j = 1i < j xi xj = an – 2 ;
x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + ... + xn – 2 xn – 1 xn = nΣi,j,k = 1i < j < k xi xj xk = – an – 3 ;
..................
x1 x2 ... xn = (– 1 ) n a0 .
Чтобы получить эти формулы мы записываем уравнение в следующем виде:
x n + an – 1 x n – 1 + ... + a1 x + a0 = (x – x1 )(x – x2 )... (x – xn ) = 0 .
Затем приравниваем коэффициенты при x n – 1 , x n – 2 , x n – 3 , ... , и сравниваем свободный член.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
С.М. Никольский, М.К. Потапов и др., Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений, Москва, Просвещение, 2006.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: