Методы решения физико-математических задач

Показательная функция: ее графики, свойства и формулы

Формулы показательной функции
Приведены основные свойства, графики и формулы показательной функции. Даны область определения, множество значений, промежутки возрастания и убывания. Рассмотрено дифференцирование показательной функции, нахождение ее производной, интегрирование, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Определение

Показательная функция – это функция y(x) = a x, зависящая от показателя степени x, при некотором фиксированном значении основании степени a.

Показательную функцию также называют экспонентой по основанию a.

Область определения показательной функции, множество значений

Рассмотрим показательную функцию
y(x) = a x .
Будем считать, что основание степени a является положительным числом:
a > 0 .
Тогда функция y(x) = a x определена для всех x. Ее область определения:
– ∞ < x < + ∞.
При a ≠ 1 она имеет множество значений
0 < y < + ∞
При a = 1 показательная функция является постоянной
y = 1

Графики показательной функции

Графики показательной функции На рисунке представлены графики показательной функции
y(x) = a x
для четырех значений основания степени: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a, тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a, тем более сильное убывание.

Свойства показательной функции

Основные формулы

Когда показатель степени x есть натуральное число x = n, выражение an есть произведение n множителей:

Для произвольного значения x показательная функция определяется так, что обладает всеми свойствами натурального показателя степени.





Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:

При b = e, получаем выражение показательной функции через экспоненту:

Частные значения

Пусть
.
Тогда
.

Экстремумы, возрастание, убывание

Показательная функция является монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

  y = ax, a > 1 y = ax, 0 < a < 1
Область определения – ∞ < x + ∞ – ∞ < x + ∞
Область значений 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Монотонность монотонно возрастает монотонно убывает
Нули, y = 0 нет нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 1 y = 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a.

Если    ,   то
.
Если    ,   то
.

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e, применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных:
.

Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e:

Применим правило дифференцирования сложной функции. Для этого вводим переменную

Тогда

Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z):
.
Поскольку – это постоянная, то производная z по x равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.

Производная показательной функции

.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Пример дифференцирования показательной функции

Найти производную функции
y = 35x

Решение

Выразим основание показательной функции через число e.
3 = e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда

Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3 – это постоянная, то производная z по x равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.

Ответ

Интеграл

.

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z:
f(z) = a z
где z = x + iy;     i2 = – 1.
Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ:
a = r e i φ
Тогда


.
Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде
φ = φ0 + 2πn,
где n – целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.

Разложение в ряд



.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

.     Опубликовано:   Изменено: