Показательная функция – свойства, графики, формулы

Приведены справочные данные по показательной функции – основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Определение

Показательная функция

– это обобщение произведения n чисел, равных a :
y(n) = aⁿ = a·a·a···a ,
на множество действительных чисел x :
y(x) = a^x .
Здесь a – фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции.
Показательную функцию с основанием a также называют экспонентой по основанию a.

Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,... , показательная функция является произведением x множителей:
a^x  = a ⋅ a ⋅ a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a_x раз . 
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (см. ниже ⇓), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел x ∈ Z ,  показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n рациональных чисел, x ∈ Q ,  ее определяют по формуле(1.11). Для действительных x ∈ R ,  показательную функцию определяют как предел последовательности:
a^x  = lim_{n → ∞} a^r_n  , 
где {r_n } – произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x : lim_{n → ∞} r_n  = x . 
При таком определении, показательная функция определена для всех x : – ∞ < x < + ∞ ,  и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x .

Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции».

Свойства показательной функции

Показательная функция y = a^x , имеет следующие свойства на множестве действительных чисел (a, x, y ∈ R):
(1.1)   определена и непрерывна, при a > 0 ,  для всех x : – ∞ < x < + ∞ ; 
(1.2)   при a ≠ 1 имеет множество значений y : 0 < y < + ∞ ; 
(1.3)   строго возрастает при a > 1 ,  строго убывает при 0 < a < 1 , 
является постоянной y = 1 при a = 1 ; 
(1.4)   lim_{x →  – ∞} a^x  = 0,  lim_{x →  + ∞} a^x  = + ∞   при a > 1 ; 
lim_{x →  – ∞} a^x  = + ∞,  lim_{x →  + ∞} a^x  = 0   при 0 < a < 1 ; 
(1.5)   a^x + y  = a^x  ⋅ a^y  ; 
(1.6)   ( a^x  )^y  = a^x ⋅ y  = ( a^y  )^x  ; 
(1.7)   (a ⋅ b )^x  = a^x  ⋅ b^x  ; 
(1.8)   ( ab  )^x  = a^x b^x   ; 
(1.9)   a⁰  = 1 ; 
(1.10)   a^– x  = 1a^x   ; 
(1.11)   a^m / n  = ⁿ√ a^m   = (ⁿ√ a  )^m  ,    m, n ∈ N . 

Другие полезные формулы.
a^log_a x  = x (x > 0 );  log_a (a^x ) = x . 
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:
a^x  = ( b^log_b a  )^x  = b^{x ⋅ log_b a} 
При b = e , получаем выражение показательной функции через экспоненту:
a^x  = e^{x ⋅ ln a} 

Частные значения

y(0 ) = a⁰  = 1 ,    y(1 ) = a¹  = a ,    y(2 ) = a²  ,    y(– 1 ) = a^– 1  = 1a  ,    y(– 2 ) = a^– 2  = 1a²   . 

Графики показательной функции

На рисунке представлены графики показательной функции
y(x) = a ^x
для четырех значений основания степени: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a , тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a , тем сильнее убывание.

Возрастание, убывание

Показательная функция, при a ≠ 1 является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a.

Если    y = a^x ;  (a > 0,  a ≠ 1 ) ,    то
x = log_a y . 
Если    y = log_a x;  (x > 0,  a > 0, a ≠ 1 ) ,    то
x = a^y  . 

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов
a = e^ln a  и формулу из таблицы производных:
( e^x  )^′ = e^x  . 

Пусть задана показательная функция:
y(x ) = a^x  . 
Приводим ее к основанию e :
y = a^x  = ( e^ln a  )^x  = e^{ln a⋅ x} 
Применим правило дифференцирования сложной функции. Для этого вводим переменную
z = ln a ⋅ x
Тогда
y = a^x  = e^{ln a ⋅ x}  = e^z 
Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z):
dydz = ( e^z  )^′_z = e^z  . 
Поскольку ln a – это постоянная, то производная z по x равна
dzdx = (ln a⋅ x )^′ = ln a ⋅ (x )^′ =  ln a ⋅ 1 = ln a . 
По правилу дифференцирования сложной функции:
dydx = dydz ⋅ dzdx = e^z  ⋅ ln a =  a^x  ⋅ ln a . 

Производная показательной функции

( a^x  )^′ = ln a ⋅ a^x  . 
Производная n-го порядка:
( a^x  )^(n )  = lnⁿ a ⋅ a^x  . 
Вывод формул > > >

Пример дифференцирования показательной функции

Найти производную функции
y = 3^5x

Решение

Выразим основание показательной функции через число e .
3 = e ^{ln 3}
Тогда
y = 3^5x  = e^{ln 3⋅ 5x}  = e^{5 ln 3⋅ x}  . 
Вводим переменную
z = 5 ln 3 ⋅ x . 
Тогда
y = 3^5x  = e^{5 ln 3⋅ x}  = e^z 
Из таблицы производных находим:
dydz = (e^z )^′ = e^z  . 
Поскольку 5ln 3 – это постоянная, то производная z по x равна:
dzdx = (5 ln 3⋅ x )^′ = 5 ln 3⋅ (x )^′ =  5 ln 3⋅ 1 = 5 ln 3 . 
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
dydx = dydz ⋅ dzdx = e^z  ⋅ 5 ln 3=  3^5x  ⋅ 5 ln 3 . 

Ответ

dydx = 5 ln 3⋅ 3^5x 

Интеграл

∫ a^x  dx = ∫ e^{ln a⋅ x}  dx =  1ln a ∫ e^{ln a⋅ x}  d(ln a⋅ x ) =  1ln a e^{ln a⋅ x}  + C = 1ln a a^x  + C . 

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z:
f(z) = a ^z
где z = x + iy ;     i² = – 1 .
Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ :
a = r e ^{i φ}
Тогда
 f (z ) = ( re^iφ  )^x + iy  =  r^x + iy  e^{iφ(x + iy )}  = r^x  r^iy  e^{iφx – φy}  = 
r^x ( e^ln r  )^iy e^iφx e^– φy  =  r^x e^iy ln r  e^iφx e^– φy  =  r^x e^– φy  e^{i(y ln r+ φx )}  = 
r^x e^– φy  [cos (y ln r+ φx ) +  i sin (y ln r+ φx )] . 
Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде
φ = φ₀ + 2πn ,
где n – целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
 f (x ) =  r^x e^{– φ₀ y}  [cos (y ln r+ φ₀ x ) +  i sin (y ln r+ φ₀ x )] . 

Разложение в ряд

a^x  = e^{ln a⋅ x}  = ^∞Σ_n = 0 (ln a⋅ x )ⁿ n! = 
1 + ln a⋅ x + (ln a⋅ x )² 2! +  (ln a⋅ x )³ 3! + (ln a⋅ x )⁴ 4! +  ...   = 
1 + ln a⋅ x + ln² a2! ⋅ x²  +  ln³ a3! ⋅ x³  + ln⁴ a4! ⋅ x⁴  +  ...   +  ln^k ak! ⋅ x^k  +  ... . 

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 21-02-2014   Изменено: 19-11-2018