Корни квадратного уравнения
Основные формулы
Рассмотрим квадратное уравнение:
(1) ax 2 + bx + c = 0 .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
x1 = – b – √ b 2 – 4ac 2a ; x2 = – b + √ b 2 – 4ac 2a .
Эти формулы можно объединить так:
x1,2 = – b ± √ b 2 – 4ac 2a .
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
ax 2 + bx + c = a(x – x1 )(x – x2 ) .
Далее считаем, что a, b, c – действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения:
D = b 2 – 4ac .
Если дискриминант положителен, D > 0 , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
x1 = – b – √ D 2a ; x2 = – b + √ D 2a .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
ax 2 + bx + c = a(x – x1 )(x – x2 ) .
Если дискриминант равен нулю, D = 0 , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
x1 = x2 = – b2a .
Разложение на множители:
ax 2 + bx + c = a(x – x1 )(x – x2 ) = a(x – x1 )(x – x1 ) = a(x – x1 ) 2 .
Если дискриминант отрицателен, D < 0 , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
x1 = – b – i √ | D | 2a = xr – i xi ;
x2 = – b + i √ | D | 2a = xr + i xi .
Здесь i – мнимая единица, i 2 = – 1 ;
xr и xi – действительная и мнимая части корней:
xr = – b2a ; xi = √ | D | 2a .
Тогда
ax 2 + bx + c = a(x – x1 )(x – x2 ) = a(x – xr + i xi )(x – xr – i xi ) =
a( (x – xr ) 2 – (ixi ) 2 ) = a( (x – xr ) 2 + x 2i ) .
Графическая интерпретация
Если построить график функции
y(x ) = ax 2 + bx + c ,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью x будут корнями уравнения
y(x ) = ax 2 + bx + c = 0 .
При D > 0 , график пересекает ось абсцисс (ось x) в двух точках (см. рисунок ⇓).
При D = 0 , график касается оси абсцисс в одной точке (см. рисунок ⇓).
При D < 0 , график не пересекает ось абсцисс (см. рисунок ⇓).
Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением
(f.1) (α + β ) 2 = α 2 + 2αβ + β 2 ;
(f.2) (α – β ) 2 = α 2 – 2αβ + β 2 ;
(f.3) (α + β )(α – β ) = α 2 – β 2 .
Вывод формулы для корней квадратного уравнения
Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):
ax 2 + bx + c = a( x 2 + ba x + ca ) = a( x 2 + 2 b2a x + ( b2a ) 2 – ( b2a ) 2 + ca ) =
a( ( x + b2a ) 2 – ( b2a ) 2 + 4ac(2a ) 2 ) = a( ( x + b2a ) 2 – b 2 – 4ac(2a ) 2 ) =
a( ( x + b2a ) 2 – ( √ b 2 – 4ac 2a ) 2 ) =
a ⋅ ( x + b2a + √ b 2 – 4ac 2a ) ⋅ ( x + b2a – √ b 2 – 4ac 2a ) =
a ⋅ ( x – – b – √ b 2 – 4ac 2a ) ⋅ ( x – – b + √ b 2 – 4ac 2a ) = a(x – x1 )(x – x2 ) ,
где
x1 = – b – √ b 2 – 4ac 2a ; x2 = – b + √ b 2 – 4ac 2a .
Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
ax 2 + bx + c = a(x – x1 )(x – x2 ) .
Отсюда видно, что уравнение
ax 2 + bx + c = 0
выполняется при
x = x1 и x = x2 .
То есть x1 и x1 являются корнями квадратного уравнения
ax 2 + bx + c = 0 .
Примеры определения корней квадратного уравнения
Пример 1
Найти корни квадратного уравнения:
(1.1) 2x 2 + 7x + 3 = 0 .
Решение
Запишем квадратное уравнение в общем виде:
ax 2 + bx + c = 0 .
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
a = 2; b = 7; c = 3 .
Находим дискриминант:
D = b 2 – 4ac = 7 2 – 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 49 – 24 = 25 .
Поскольку дискриминант положителен, D = 25 > 0 , то уравнение имеет два действительных корня:
x1,2 = – b ± √ D 2a = – 7 ± √ 25 2 ⋅ 2 = – 7 ± 54 ;
x1 = – 7 – 54 = – 124 = – 3 ;
x2 = – 7 + 54 = – 24 = – 12 .
Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:
2x 2 + 7x + 3 = a(x – x1 )(x – x2 ) = 2(x – (– 3 ))( x – ( – 12 ) ) =
2(x + 3 )( x + 12 ) = (x + 3 )(2x + 1 ) .
Построим график функции
y = 2x 2 + 7x + 3 .
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось x ) в двух точках:
x1 = – 3 и x2 = – 12 .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).
Ответ
x1 = – 3 ;
x2 = – 12 ;
2x 2 + 7x + 3 = 2(x + 3 )(2x + 1 ) .
Пример 2
Найти корни квадратного уравнения:
(2.1) x 2 – 4x + 4 = 0 .
Решение
Запишем квадратное уравнение в общем виде:
ax 2 + bx + c = 0 .
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
a = 1; b = – 4; c = 4 .
Находим дискриминант:
D = b 2 – 4ac = (– 4 ) 2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 16 – 16 = 0 .
Поскольку дискриминант равен нулю, D = 0 , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
x1,2 = – b ± √ D 2a = – (– 4 ) ± √ 0 2 ⋅ 1 = 4 ± 02 = 42 = 2 ;
x1 = x2 = 2 .
Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
x 2 – 4x + 4 = a(x – x1 )(x – x2 ) = (x – 2 )(x – 2 ) = (x – 2 ) 2 .
Построим график функции
y = x 2 – 4x + 4 .
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось x ) в одной точке:
x1 = 2 .
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
x 2 – 4x + 4 = (x – 2 )(x – 2 ) ,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
x1 = x2 = 2 .
Ответ
x1 = x2 = 2 ;
x 2 – 4x + 4 = (x – 2 )(x – 2 ) = (x – 2 ) 2 .
Пример 3
Найти корни квадратного уравнения:
(3.1) x 2 2 – 2x + 4 = 0 .
Решение
Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1) ax 2 + bx + c = 0 .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
12 x 2 – 2x + 4 = 0 .
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
a = 12 ; b = – 2; c = 4 .
Находим дискриминант:
D = b 2 – 4ac = (– 2 ) 2 – 4 ⋅ 12 ⋅ 4 = 4 – 8 = – 4 .
Дискриминант отрицателен, D = – 4 < 0 . Поэтому действительных корней нет.
Можно найти комплексные корни:
x1,2 = – b ± √ D 2a = – (– 2 ) ± √ – 4 2 ⋅ 12 = 2 ± i √ 4 1 = 2 ± 2i ;
x1 = 2 – 2i ;
x2 = 2 + 2i .
Тогда
12 x 2 – 2x + 4 = a(x – x1 )(x – x2 ) = 12 (x – (2 – 2i ))(x – (2 + 2i )) =
12 (x – 2 + 2i )(x – 2 – 2i ) = 12 ( (x – 2 ) 2 – (2i ) 2 ) = 12 ( (x – 2 ) 2 + 2 2 ) =
12 (x – 2 ) 2 + 2 .
Построим график функции
y = 12 x 2 – 2x + 4 .
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось x ). Поэтому действительных корней нет.
Ответ
Действительных корней нет. Корни комплексные:
x1 = 2 – 2i ;
x2 = 2 + 2i ;
12 x 2 – 2x + 4 = 12 (x – 2 ) 2 + 2 .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: