Экспонента, е в степени х

Приведены график и основные свойства экспоненты (е в степени х): область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд, действия с комплексными числами.

Определение

Экспонента

– это показательная функция y(x) = e ^x , производная которой равна самой функции.

Экспоненту обозначают так   e^x  ,    exp (x )   или   Exp (x ) . 
e^x  ≡ exp (x ) ≡ Exp (x )

Число e

Основанием степени экспоненты является число e. Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045...

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:
e = lim_{n → ∞} ( 1 + 1n  )ⁿ  . 

Также число e можно представить в виде ряда:
e = 2 + 12! + 13! + 14! + ...  + 1n! + ... . 

График экспоненты

На графике представлена экспонента, е в степени х.
y(x) = е ^х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

e^x  ⋅ e^y  = e^x + y  ; 
(e^x )^y  = e^xy  = (e^y )^x  ; 
e^– x  = 1e^x  ;  e^x e^y  = e^x – y  ; 

e^ln x  = x,   (x > 0 );  ln (e^x ) = x . 

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
a^x  = e^{x ⋅ ln a}  . 

См. также раздел "Показательная функция" >>>

Частные значения

Пусть y(x) = e ^x . Тогда
y(0 ) = e⁰  = 1;  y(1 ) = e¹  = e;   y(– 1 ) = e^– 1  = 1e  . 

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e ^x определена для всех x .
Ее область определения:
– ∞ < x + ∞ .
Ее множество значений:
0 < y < + ∞ .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм.
ln e^x  = x ; 
e^ln y  = y,  y > 0 . 

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х:
(e^x )^′ = e^x  . 
Производная n-го порядка:
( e^x  )^(n )  = e^x  . 
Вывод формул > > >

Интеграл

∫ e^x  dx = e^x  + C
См. также раздел "Таблица неопределенных интегралов" >>>

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера:
e^ix  = cos x + i sin x , 
где i есть мнимая единица:
i²  = – 1 . 

Выражения через гиперболические функции

sh x = e^x  – e^– x 2  ;    ch x = e^x  + e^– x 2  ; 
e^x  = ch x + sh x . 

Выражения через тригонометрические функции

sin x = e^ix  – e^– ix 2i  ;    cos x = e^ix  + e^– ix 2  ; 
e^ix  = cos x + i sin x ; 
e^x  = cos ix – i sin ix . 

Разложение в степенной ряд

e^x  = ^∞Σ_n = 0  xⁿ n! =  1 + x + x² 2! + x³ 3! + x⁴ 4! +  ... 

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 25-02-2014   Изменено: 09-06-2018