Методы решения физико-математических задач

Тригонометрическая формула Виета для решения кубических уравнений

Здесь мы приводим вывод формулы Виета, используя формулу Кардано. Будет показано, что по формуле Виета удобно находить корни кубического уравнения в том случае, когда все три корня являются действительными числами.

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1)   .
Сделаем подстановку:
.
Получаем уравнение приведенного вида:
(2)   ,
где
(3)   ;   .

Тригонометрическая формула Виета, для корней , , приведенного кубического уравнения (2), имеет вид:
(4)   ;
(5)   ;
где
(6)   ;   .

Условие применимости формулы Виета

Поскольку , то формула Виета применима при
.

Действительно, из (6) имеем:
;   .
Возводим в квадрат и выполняем преобразования:
;
;
.

Как показано на странице “Решение кубических уравнений”, при выполнении условия , кубическое уравнение имеет три действительных корня. То есть формула Виета применяется в том случае, когда кубическое уравнение имеет действительные корни.

Вывод формулы Виета

Для вывода формулы Виета, используем формулу Кардано:
(7)   ;
(8)   ;
(9)   ;
(10)   ;
(11)   .

Считаем, что .
Из (11) следует, что в этом случае, . Квадратный корень из имеет два значения. Мы можем взять любое значение. Возьмем со знаком плюс (при выборе другого значения, со знаком минус, и поменяются местами и мы не получим ничего нового):
.
Тогда
,
где – целое. Здесь мы ввели модуль и аргумент числа .
;
;
;   .

Извлекаем кубический корень:
.
При , мы имеем три значения кубического корня.
По формуле (10) находим:
.
По формуле (7) имеем:
.

Полагая , мы получаем три корня приведенного уравнения:
;
;
.

Формула Виета доказана.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

.     Опубликовано: