Тригонометрическая формула Виета для решения кубических уравнений
Формула Виета
Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) x 3 + ax 2 + bx + c = 0 .
Сделаем подстановку:
x = y – a3 .
Получаем уравнение приведенного вида:
(2) y 3 + py + q = 0 ,
где
(3) p = – a 2 3 + b ; q = 2( a3 ) 3 – ab3 + c .
Тригонометрическая формула Виета, для корней y1 , y2 , y3 приведенного кубического уравнения (2), имеет вид:
(4) y1 = 2 √ – p3 cos (φ / 3 ) ;
(5) y2,3 = 2 √ – p3 cos (φ / 3 ± 2π / 3 ) ;
где
(6) cos φ = – q2 ( 3– p ) 3 / 2 ; 0 ≤ φ ≤ π .
Условие применимости формулы Виета
Поскольку | cos φ | ≤ 1 , то формула Виета применима при
Q = ( p3 ) 3 + ( q2 ) 2 ≤ 0 .
Действительно, из (6) имеем:
| – q2 ( 3– p ) 3 / 2 | ≤ 1 ; p < 0 .
Возводим в квадрат и выполняем преобразования:
( q2 ) 2 ( 3– p ) 3 ≤ 1 ;
( q2 ) 2 ≤ ( – p3 ) 3 ;
( p3 ) 3 + ( q2 ) 2 ≤ 0 .
Как показано на странице “Решение кубических уравнений”, при выполнении условия Q ≤ 0 , кубическое уравнение имеет три действительных корня. То есть формула Виета применяется в том случае, когда кубическое уравнение имеет действительные корни.
Вывод формулы Виета
Для вывода формулы Виета, используем формулу Кардано:
(7) y = u + v ;
(8) u = 3 √ – q2 + √ Q ;
(9) v = 3 √ – q2 – √ Q ;
(10) uv = – p3 ;
(11) Q = ( p3 ) 3 + ( q2 ) 2 .
Считаем, что Q ≤ 0 .
Из (11) следует, что в этом случае, p ≤ 0 . Квадратный корень из Q имеет два значения. Мы можем взять любое значение. Возьмем со знаком плюс (при выборе другого значения, со знаком минус, u и v поменяются местами и мы не получим ничего нового):
√ Q = √ – | Q | = i √ | Q | = i √ – Q .
Тогда
u 3 = – q2 + √ Q = – q2 + i √ – Q = ρ e i(φ + 2πn ) ,
где n – целое. Здесь мы ввели модуль ρ и аргумент φ числа u 3 .
ρ 2 = ( – q2 ) 2 + ( √ – Q ) 2 = ( q2 ) 2 – Q = ( q2 ) 2 – ( p3 ) 3 – ( q2 ) 2 = – ( p3 ) 3 ;
ρ = √ – p 3 3 3 ;
cos φ = – q2ρ = – q2 ( 3– p ) 3 / 2 ; 0 ≤ φ ≤ π .
Извлекаем кубический корень:
u = 3 √ ρ e i φ + 2πn3 = √ – p3 e i φ + 2πn3 .
При n = 0, 1, 2 , мы имеем три значения кубического корня.
По формуле (10) находим:
v = – p3u = – p3 √ 3– p e – i φ + 2πn3 = √ – p3 e – i φ + 2πn3 .
По формуле (7) имеем:
y = u + v = √ – p3 e i φ + 2πn3 + √ – p3 e – i φ + 2πn3 = 2 √ – p3 cos φ + 2πn3 .
Полагая n = 0, 1, 2 , мы получаем три корня приведенного уравнения:
y1 = 2 √ – p3 cos (φ / 3 ) ;
y2 = 2 √ – p3 cos (φ / 3 + 2π / 3 ) ;
y3 = 2 √ – p3 cos (φ / 3 + 4π / 3 ) = 2 √ – p3 cos (φ / 3 – 2π / 3 ) .
Формула Виета доказана.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: