Обратные гиперболические функции, их графики и формулы

Даны определения обратных гиперболических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные гиперболические функции - формулы сумм и разностей. Выражения через тригонометрические функции. Производные, интегралы, разложения в ряды.

Определения обратных гиперболических функций, их области определений и значений

arsh x - обратный гиперболический синус

Обратный гиперболический синус (ареасинус)

– это функция y = arsh x = ln ( x + √ x²  + 1   ) ,  обратная к гиперболическому синусу x = sh y , имеющая область определения   –∞ < x < +∞   и множество значений   –∞ < y < +∞ .

Ареасинус строго возрастает на всей числовой оси.

arch x - обратный гиперболический косинус

Обратный гиперболический косинус (ареакосинус)

– это функция y = arch x = ln ( x + √ x²  – 1   ) ,  обратная к гиперболическому косинусу x = сh y , имеющая область определения   1 ≤  x < +∞   и множество значений   0 ≤  y < +∞ .

Ареакосинус строго возрастает на своей области определения.

Вторая ветвь ареакосинуса также определена при x ≥ 1 и расположена симметрично относительно оси абсцисс,   – ∞ < y ≤ 0 :
y = – ln ( x + √ x²  – 1   ) =  ln ( x – √ x²  – 1   ) .  Она строго убывает на области определения.

arth x - обратный гиперболический тангенс

Обратный гиперболический тангенс (ареатангенс)

– это функция y = arth x = 12 ln ( 1 + x1 – x  ) ,  обратная к гиперболическому тангенсу x = th y , имеющая область определения   – 1 < x < 1   и множество значений   –∞ < y < +∞ .

Ареатангенс строго возрастает на своей области определения.

arcth x - обратный гиперболический котангенс

Обратный гиперболический котангенс (ареакотангенс), 

– это функция y = arcth x = 12 ln ( x + 1x – 1  ) ,  обратная к гиперболическому котангенсу x = cth y , имеющая область определения   |x| > 1   и множество значений   y ≠ 0 .

Ареакотангенс строго убывает на своей области определения.

Графики обратных гиперболических функций

Формулы с обратными гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

Arsh iz = i Arcsin z ;     Arch z = i Arccos z ;
Arcsin iz = i Arsh z ;     Arccos z = – i Arch z ;
Arth iz = i Arctg z ;     Arcth iz = – i Arcctg z ;
Arctg iz = i Arth z ;     Arcctg iz = – i Arcth z ;
Здесь   i – мнимая единица,   i² = –1 .

Четность

arsh(–x) = – arsh x ;   arch(–x) ≠ ± arch x ;
arth(–x) = – arth x ;   arcth(–x) = – arcth x .

Функции   arsh(x) ,   arth(x) ,   arcth(x) – нечетные. Функция   arch(x)   – не является четной или нечетной.

Формулы связи обратных гиперболических синусов через тангенсы и косинусов через котангенсы

arsh x = arth x√ x²  + 1    ; 
arch x = arcth x√ x²  – 1   ,  x > 1 ; 
arth x = arsh x√ 1 – x²    ,   | x |  < 1 ; 
arcth x = arch x√ x²  – 1   ,  x > 1 . 

Формулы суммы и разности

arsh x ± arsh y =  arsh ( x √ 1 + y²   ± y √ 1 + x²    ) ; 
arch x ± arch y =  arch ( xy ± √ x²  – 1  √ y²  – 1   ),  x ≥ y ≥ 1 ; 
arth x ± arth y =  arth x ± y1 ± xy ,   | x |  < 1,   | y |  < 1 ; 
arcth x ± arcth y =  arcth 1 ± xyx ± y ,   | x |  > 1,   | y |  > 1 . 

Производные обратных гиперболических функций

(arsh x )^′ = 1√ x²  + 1   ;  (arch x )^′ = 1√ x²  – 1    ; 
(arth x )^′ = 11 – x²  ;  (arcth x )^′ = – 1x²  – 1  . 

Интегралы от arsh x, arch x, arth x, arcth x

arsh x

Для вычисления интеграла от гиперболического арксинуса, делаем подстановку   x = sh t   и интегрируем по частям:
∫ arsh x dx = ∫ arsh sh t d(sh t ) = ∫ t d(sh t ) =  t sh t – ∫ sh t dt = t sh t – ch t + C =  arsh x ⋅ x – √ 1 + sh² t  =  x arsh x – √ 1 + x²   + C . 

arch x

Аналогично, для гиперболического арккосинуса. Делаем подстановку   x = ch t   и интегрируем по частям учитывая, что t ≥ 0 :
∫ arch x dx = ∫ arch ch t d(ch t ) = ∫ t d(ch t ) =  t ch t – ∫ ch t dt = t ch t – sh t + C =  arch x ⋅ x – √ ch² t – 1  =  x arch x – √ x²  – 1  + C . 

arth x

Делаем подстановку   x = th t   и интегрируем по частям:
∫ arth x dx = ∫ arth th t d(th t ) = ∫ t d(th t ) =  t th t – ∫ th t dt ; 
∫ th t dt = ∫ sh t dtch t = ∫ d ch tch t = ln (ch t ) =  ln 1√ 1 – th² t   =  – 12 ln (1 – th ² t ) ; 
∫ arth x dx =  t th t + 12 ln (1 – th ² t ) =  arth x ⋅ x + 12 ln (1 – x² ) + C ; 
∫ arth x dx =  x arth x + 12 ln (1 – x² ) + C . 

arcth x

Аналогично получаем:
∫ arcth x dx =  x arcth x + 12 ln (x²  – 1 ) + C . 

Разложения в ряды

arsh x

При   |x| < 1   имеет место следующее разложение:
arsh x = x + ^∞Σ_n = 1 (– 1 )ⁿ (2n – 1 )!!(2n )!! x^2n + 1 2n + 1 =  x – 12 ⋅ x³ 3 + 1 ⋅ 32 ⋅ 4 ⋅ x⁵ 5 – 1 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ x⁷ 7 + . . .

arth x

При   |x| < 1   имеет место следующее разложение:
arth x =  ^∞Σ_n = 1 x^2n – 1 2n – 1 =  x + x³ 3 + x⁵ 5 + x⁷ 7 + . . .

arcth x

При   |x| > 1   имеет место следующее разложение:
arcth x = arth 1x =  ^∞Σ_n = 1 1(2n – 1 )x^2n – 1  =  1x + 13x³  + 15x⁵  + 17x⁷  + . . .

Обратные функции

Гиперболический синус

При   – ∞ < y < ∞   и   – ∞ < x < ∞   имеют место формулы:
sh arsh y = y,  arsh sh x = x , 
sh x = 12 ( e^x  – e^– x  ) . 

Гиперболический косинус

При   1 ≤ y < ∞   и   0 ≤ x < ∞   имеют место формулы:
ch arch y = y,  arch ch x = x , 
ch x = 12 ( e^x  + e^– x  ) . 

Гиперболический тангенс

При   – 1 < y < 1   и   – ∞ < x < ∞   имеют место формулы:
th arth y = y,  arth th x = x , 
th x = sh xch x = e^x  – e^– x e^x  + e^– x   . 

Гиперболический котангенс

При   – ∞ < y < – 1   или   1 < y < ∞   и   x ≠ 0   имеют место формулы:
cth arcth y = y,  arcth cth x = x , 
cth x = ch xsh x = e^x  + e^– x e^x  – e^– x   . 

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 29-07-2014