Логарифм - свойства, формулы, график

Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Определение логарифма

Логарифм с основанием a

– это функция  y(x) = log_a x , обратная к показательной функции с основанием a:   x(y) = a ^y .

В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: a > 0,  a ≠ 1 . 

Десятичный логарифм

– это логарифм по основанию числа 10 :   lg x ≡ log₁₀ x .

Натуральный логарифм

– это логарифм по основанию числа e :   ln x ≡ log_e x .

e = lim_{n → ∞} ( 1 + 1n  )ⁿ  ≈  2,718281828459045... ;
e = 2 + 12! + 13! + 14! + ⋅ ⋅ ⋅ +  1n! + ⋅ ⋅ ⋅ . 

Графики логарифма

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x . Слева изображены графики функции y = log_a x для четырех значений основания логарифма: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Свойства логарифма

См. также «Определение и доказательство свойств логарифма».

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

Частные значения

log_a 1 = 0;   log_a a = 1;   log_a aⁿ  = n;   log_a 1a = – 1;   log_a 1aⁿ  = – n; 
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:
lg x = log₁₀ x
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом:
ln x = log_e x

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:
log_a a^x  = x;    a^log_a x  = x

Основное свойство логарифмов и его следствия

log_a xy = log_a x + log_a y
log_a ( xy  ) = log_a x – log_a y
log_a x^p  = p log_a x;   log_a ⁿ√ x  ≡ log_a x¹ⁿ  = 1n log_a x

Формула замены основания

log_a b = log_c blog_c a ,    log_a b = 1log_b a 

Логарифмирование

– это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.

Потенцирование

– это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
a^p + q  = a^p  ⋅ a^q  . 
Тогда
log_a (x ⋅ y ) =  log_a (a^log_a x  ⋅ a^log_a y ) =  log_a a^{log_a x + log_a y}  =  log_a x + log_a y . 
Применим свойство показательной функции
( a^p  )^q  = a^pq   : 
log_a x^p  = log_a ( a^log_a x  )^p  =  log_a ( a^{p log_a x}  ) = p log_a x . 

Докажем формулу замены основания.
log_c b = log_c a^log_a b  =  log_a b ⋅ log_c a ; 
log_a b = log_c blog_c a  . 
Полагая c = b , имеем:
log_a b = log_b blog_b a = 1log_b a 

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .

Если    y = log_a x (x > 0,  a > 0,  a ≠ 1 ) ,    то    x = a^y 

Если    y = a^x  (a > 0,  a ≠ 1 ) ,    то    x = log_a y

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x :
( log_a  | x |  )^′ = 1x ln a  . 
Производная n-го порядка:
( log_a  | x |  )^(n )  = (– 1 )^n – 1 (n – 1 )!xⁿ ln a  . 
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e.
( log_a x  )^′ = ( log_e xlog_e a  )^′ ≡  ( ln xln a  )^′ = 1ln a ( ln x  )^′ = 1ln a ⋅ 1x  ; 
( log_a x  )^′ = 1x ln a  . 

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям:
∫ log_a x dx = ∫ log_e xlog_e a dx =  1log_e a ∫ log_e x dx ≡  1ln a ∫ ln x dx =  1ln a ( ln x ⋅ x – ∫ x (ln x )^′ dx  ) =  1ln a ( ln x ⋅ x – ∫ x  1x  dx  ) =  1ln a ( ln x ⋅ x – ∫ dx  ) =  1ln a ( ln x ⋅ x – x  ) + C =  x ( ln x – 1 )ln a + C . 
Итак,
∫ log_a x dx = x ( ln x – 1 )ln a + C

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z:
 f (z ) = log_a z . 
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ:
z = re^iφ  . 
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
 f (z ) = log_a z = log_a re^iφ  =  log_a r + log_a e^iφ  =  log_a r + iφ log_a e =  log_a r + iφ 1log_e a ≡  log_a r + iφ 1ln a = log_a r + iφln a  . 
Или
log_a z = log_a r + iφln a 
Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
φ = φ₀  + 2πn ,  где n - целое,
то z = re^iφ  будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При – 1 < x < 1 имеет место разложение:
log_a (1 + x ) = ln (1 + x )ln a =  1ln a  ^∞Σ_n = 1 (– 1 )^n – 1 xⁿ n =  1ln a ( x – x² 2 + x³ 3 – x⁴ 4 + ⋅ ⋅ ⋅  )

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 26-03-2014   Изменено: 03-12-2018