Формула Кардано для решения кубического уравнения

Здесь приводится вывод формулы Кардано для решения кубического уравнения.

Сведение кубического уравнения к приведенному виду

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1)   αx³  + βx²  + γx + δ = 0 , 
где α ≠ 0 .  Разделим его на α  : 
(2)   x³  + ax²  + bx + c = 0 , 
где a = β / α ,  b = γ / α ,  c = δ / α . 
Далее считаем, что a ,  b и c – есть действительные числа.

Приведем уравнение (2) к более простому виду. Для этого сделаем подстановку
x = y – y₀  . 
(y – y₀ )³  + a(y – y₀ )²  +  b(y – y₀ ) + c = 0 ; 
y³  – 3y² y₀  + 3yy²₀  – y³₀  +  a(y²  – 2yy₀  + y²₀ ) +  b(y – y₀ ) + c = 0 ; 
y³  + (a – 3y₀ )y²  +  (3y²₀  – 2ay₀  + b )y – y³₀  +  ay²₀  – by₀  + c = 0 . 
Приравняем коэффициент при y²  к нулю. Для этого положим
y₀  = a3  : 
y³  + ( 3( a3  )²  – 2a a3 + b  )y –  ( a3  )³  + a( a3  )²  – b( a3  ) + c = 0 ; 
y³  + ( a² 3 – 2 a² 3 + b  )y –  ( a3  )³  + 3( a3  )³  – ab3 + c = 0 ; 
y³  + ( – a² 3 + b  )y +  2( a3  )³  – ab3 + c = 0 . 
Получаем уравнение приведенного вида:
(3)   y³  + py + q = 0 , 
где
(4)   p = – a² 3 + b ;    q = 2( a3  )³  – ab3 + c . 

Вывод формулы Кардано

Решаем уравнение (3). Делаем подстановку
(5)   y = u + v  : 
(u + v )³  + p(u + v ) + q = 0 ; 
u³  + 3u² v + 3uv²  + v³  +  p(u + v ) + q = 0 ; 
u³  + v³  + 3uv(u + v ) +  p(u + v ) + q = 0 ; 
u³  + v³  + (3uv + p )(u + v ) + q = 0 . 
Чтобы это уравнение удовлетворялось, положим
(6)   u³  + v³  = – q ; 
(7)   uv = – p3  . 

Из (7) имеем:
v = – p3u  . 
Подставим в (6):
u³  – ( p3u  )³  = – q ; 
( u³  )²  + qu³  – ( p3  )³  = 0 . 

Решаем квадратное уравнение.
(8)   u³  = 12 ( – q ± √ q²  + 4( p3  )³    ) . 
Возьмем верхний знак “+”:
u³  = – q2 + √ ( q2  )²  + ( p3  )³   =  – q2 + √ Q   , 
где мы ввели обозначение
Q = ( p3  )³  + ( q2  )²  . 
Из (6) имеем:
v³  = – q – u³  = – q2 – √ Q   . 

Итак, мы нашли решение приведенного уравнения в следующем виде:
(5)   y = u + v ; 
(9)   u = ³√ – q2 + √ Q     ; 
(10)   v = ³√ – q2 – √ Q     ; 
(7)   uv = – p3  ; 
(11)   Q = ( p3  )³  + ( q2  )²  . 
Такое решение называется формулой Кардано.

Если мы, при выборе знака квадратного корня в (8), возьмем нижний знак, то u и v поменяются местами и мы не получим ничего нового. Величины u и v равны кубическим корням, поэтому они имеют по три значения. Из всех возможных пар u и v нужно выбрать такие, которые удовлетворяют уравнению (7).

Итак, алгоритм решения приведенного кубического уравнения
(3)   y³  + py + q = 0
следующий.
1) Вначале мы определяем любое значение квадратного корня √ Q   . 
2) Вычисляем три значения кубического корня u . 
3) Используя формулу (7), для каждого значения u ,  вычисляем значение v  : 
v = – p3u  . 
В результате получаем три пары величин u и v . 
4) Для каждой пары величин u и v ,  по формуле (5) находим значения корней приведенного уравнения (3).
5) Рассчитываем значения корней исходного уравнения (1) по формуле
x = y – a3  . 
Таким способом мы получаем значения трех корней исходного уравнения. При Q = 0 два или три корня являются кратными (равными).

На шаге 3) данного алгоритма можно поступить по другому. Мы можем вычислить три значения величины v по формуле (10). И далее составить три пары корней u и v так, чтобы для каждой пары выполнялось соотношение
(7)   uv = – p3  . 

Случай Q ≥ 0

Рассмотрим случай Q ≥ 0 .  При этом u³  и v³  являются действительными числами. Введем обозначения. Пусть   A = ³√ – q2 + √ Q       и   B = ³√ – q2 – √ Q       обозначают действительные значения кубических корней.

Найдем остальные значения корней u и v .  Запишем u³  и v³  в следующем виде:
u³  = A³ e^i2πn  ;    v³  = B³ e^i2πn  , 
где n = 0,  ± 1,  ± 2,  ± 3,...  – есть целое число;
i – мнимая единица, i²  = – 1 . 
Тогда
u = Ae^i 2πn3  . 
Присваивая n значения 0,  1,  2 ,  получаем три корня:
n = 0 ,  u₀  = A ; 
n = 1 ,  u₁  = Ae^i 2π3 =  A( cos 2π3 + i sin 2π3  ) =  A( – 12 + i √ 3  2  ) ; 
n = 2 ,  u₂  = Ae^i 4π3 =  A( cos 4π3 + i sin 2π3  ) =  A( – 12 – i √ 3  2  ) . 
Точно также получаем три корня v  : 
v₀  = B ; 
v₁  = B( – 12 + i √ 3  2  ) ; 
v₂  = B( – 12 – i √ 3  2  ) . 

Теперь группируем u и v в пары, чтобы, для каждой пары выполнялось соотношение
(7)   uv = – p3  . 
Поскольку   Q = ( p3  )³  + ( q2  )²  ,  то
A³ B³  =  ( – q2 + √ Q   )( – q2 – √ Q   ) =  ( q2  )²  – Q =  – ( p3  )³  . 
Тогда
AB = – p3  . 
Отсюда получаем первую пару: (u₀ , v₀ ) . 
Далее замечаем, что
( – 12 + i √ 3  2  )( – 12 – i √ 3  2  ) =  ( 12  )²  – i² ( √ 3  2  )²  = 14 + 34 = 1 . 
Поэтому
u₁ v₂  = – p3  ;    u₂ v₁  = – p3  . 
Тогда (u₁ , v₂ ) и (u₂ , v₁ ) являются еще двумя парами.

Теперь получаем три корня приведенного уравнения:
y₁  = u₀  + v₀  = A + B ; 
y₂  = u₁  + v₂  =  A( – 12 + i √ 3  2  ) +  B( – 12 – i √ 3  2  ) =  – A + B2 + i A – B2 √ 3   ; 
y₃  = u₂  + v₁  =  A( – 12 – i √ 3  2  ) +  B( – 12 + i √ 3  2  ) =  – A + B2 – i A – B2 √ 3   . 
Их также можно записать в следующем виде:
(12)   y₁  = A + B ;    y_2,3  = – A + B2 ± i A – B2 √ 3   . 
Эти формулы называются формулой Кардано.

При  Q = 0 ,  A = B .  Два корня являются кратными:
y₁  = 2A ;    y₂  = y₃  = – A . 
При A = 0 все три корня являются кратными:
y₁  = y₂  = y₃  = 0 . 

Случай Q < 0

Если мы проследим вывод формулы (12), то увидим, что весь вывод сохранит силу и при отрицательном значении Q .  То есть A и B могут быть комплексными. Тогда для A и B можно выбрать любые значения кубических корней, между которыми выполняется соотношение
AB = – p3  . 

Формула Кардано для решения кубического уравнения

Итак, мы установили, что корни приведенного кубического уравнения
y³  + py + q = 0
можно найти по формуле Кардано:
y₁  = A + B ,    y_2,3  = – A + B2 ± i A – B2 √ 3   , 
где
A = ³√ – q2 + √ Q      ;    B = ³√ – q2 – √ Q      ;    AB = – p3  ; 
Q = ( p3  )³  + ( q2  )²  . 

Однако, при Q < 0 ,  формула Виета являются более удобной.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 27-09-2016