Выражение обратных тригонометрических функций комплексного переменного через логарифм

Даны формулы обратных тригонометрических функций, как функций комплексного переменного. Представлен вывод этих формул. Показано, что обратные тригонометрические функции выражаются через натуральные логарифмы.

Формулы обратных тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции выражаются через натуральные логарифмы следующим образом:
Arcsin z = – i Ln ( i z + √ 1 – z²    )
Arccos z = – i Ln ( z + √ z²  – 1   )
Arctg z = – i2 Ln ( 1 + iz1 – iz  )
Arcctg z = – i2 Ln ( iz – 1iz + 1  )

Здесь стоит подчеркнуть, что все эти функции многозначны и обозначают всю совокупность значений в целом. Везде подразумевается, что квадратный корень имеет два знака: "+" и "–", а логарифм имеет бесконечное множество значений, отличающихся на 2πin , где n - целое. То есть, например, под арксинусом имеется в виду вся совокупность значений:
Arcsin z = – i( Ln ( i z ± √ 1 – z²    ) + 2πin  ) . 
Такое правило распространяется на все многозначные функции комплексного переменного и их названия начинаются с большой буквы. Названия с маленькой буквы означают однозначную ветвь функции, заданной на определенной области Римановой поверхности.

Ниже приводится вывод этих формул.

Арксинус

Пусть   f = arcsin z .

Чтобы выразить arcsin z через элементарные функции, решаем уравнение:
z = sin  f 
Выразим sin f   через комплексные переменные:
z = e^if  – e^– if 2i 
Умножим на 2 i e^if
2 i z e^if  = ( e^if  )²  – 1
( e^if  )²  – 2 i z e^if  – 1 = 0
Решаем квадратное уравнение
e^if  = 2 i z ± √ (– 2 i z )²  – 4 ⋅ (– 1 )  2 = 2 i z ± √ – 4 z²  + 4  2 =  i z ± √ 1 – z²   
Логарифмируем
Ln e^if = Ln ( i z ± √ 1 – z²    )
if  = Ln ( i z ± √ 1 – z²    )
Умножаем на -i
 f  = – i Ln ( i z ± √ 1 – z²    )

Далее следует разобраться со знаком ±. С точки зрения комплексных переменных, квадратный корень всегда имеет два значения, различающихся знаком плюс и минус. Поэтому корень всегда подразумевает неоднозначность. Выберем такой знак, чтобы формула была справедлива для главного значения арксинуса. То есть для действительных z : – 1 ≤ z ≤ 1,  значения арксинуса f = arcsin z должны находится в интервале – π2 ≤  f  ≤ π2 . 

Рассмотрим знак +. Положим z = 0 .
 f  = – i Ln ( i ⋅ 0 + √ 1 – 0²    ) = – i Ln (0 + 1 ) = – i Ln 1 = 0
То есть знак + соответствует главному значению арксинуса, которое имеет множество значений при – π2 ≤  f  ≤ π2 . 

Если мы возьмем знак –, то
 f  = – i Ln ( i ⋅ 0 – √ 1 – 0²    ) = – i Ln (– 1 ) = – i Ln (e^iπ ) = – i ⋅ iπ ln e = π
То есть знак – соответствует ветви арксинуса, которая имеет множество значений при π2 ≤  f  ≤ 3π2 . 

Остальные ветви получаются вследствие многозначности логарифма. Выразим выражение под знаком логарифма через модуль r и аргумент φ :
i z + √ 1 – z²   = re^iφ  = re^{i(φ + 2πn )} , 
где n - целое. Тогда
 f  = – i Ln ( i z + √ 1 – z²    ) = – i Ln ( re^{i(φ + 2πn )}  ) = – i Ln ( re^iφ e^i2πn  ) =  – i( Ln ( re^iφ  ) + Ln ( e^i2πn  ) ) = – i( Ln ( i z + √ 1 – z²    ) + i2πn  ) =  – i ln ( i z + √ 1 – z²    ) + 2πn. 
То есть многозначность логарифма дает ветви, которые отстоят друг от друга на величину 2π , что соответствует периоду синуса.

Итак,
Arcsin z = – i Ln ( i z + √ 1 – z²    )

Арккосинус

Выполняем аналогичные вычисления для арккосинуса. Пусть   f = arccos z .

Рассмотрим уравнение:
z = cos  f  = e^if  + e^– if 2 
Умножим на 2 e^if
2 z e^if  = ( e^if  )²  + 1
( e^if  )²  – 2 z e^if  + 1 = 0
e^if  = 2 z ± √ (– 2 z )²  – 4  2 = 2 z ± √ 4 z²  – 4  2 =  z ± √ z²  – 1  
Логарифмируем
Ln e^if = Ln ( z ± √ z²  – 1   )
if  = Ln ( z ± √ z²  – 1   )
 f  = – i Ln ( z ± √ z²  – 1   )

Если взять знак +, то при z = 0 имеем:
 f  = – i Ln ( 0 + √ 0²  – 1   ) = – i Ln i = – i Ln e^i π2  = – i ⋅ i π2 = π2 
Знак + соответствует главному значению арккосинуса, которое имеет множество значений при 0 ≤  f  ≤ π. 

Если бы мы взяли знак –, то
 f  = – i Ln ( 0 – √ 0²  – 1   ) = – i Ln (– i ) = – i Ln (e^{– i π2} ) = – i ⋅ ( – i π2  ) = – π2 
То есть знак – соответствует ветви арккосинуса, которая имеет множество значений при – π ≤  f  ≤ 0 . 

Итак,
Arccos z = – i Ln ( z + √ z²  – 1   )

Арктангенс

Для арктангенса, пусть   f = Arctg z .

Рассмотрим уравнение:
z = tg  f  = 1i ⋅ e^if  – e^– if e^if  + e^– if  
Умножим числитель и знаменатель на e^if и выполняем преобразования
z = 1i ⋅ ( e^if  )²  – 1( e^if  )²  + 1 
i( ( e^if  )²  + 1  )z = ( e^if  )²  – 1
( e^if  )² ( 1 – iz  ) = 1 + iz
( e^if  )²  = e^2if  = 1 + iz1 – iz 
Логарифмируем:
2if  = Ln ( 1 + iz1 – iz  ) ; 
 f  = – i2 Ln ( 1 + iz1 – iz  ) . 

Рассмотрим действительные z . Представим комплексную функцию под знаком логарифма в алгебраической форме:
w = 1 + iz1 – iz = (1 + iz )² (1 – iz )(1 + iz ) =  – z²  + 1 + 2ziz²  + 1 = u + iv , 
где u = – z²  + 1z²  + 1 ,  v = 2zz²  + 1  . 

При z = 0,  w = 1,    f  = – i2 ln (1 ) = 0 .  Это соответствует главному значению арктангенса, arctg (0 ) = 0 . 

При z →  + ∞,  w →  – 1 .  При этом аргумент φ_w  функции w(z ) возрастает от 0 до π  :  φ_w  → π .  Тогда w → e^iπ ,    f  = – i2 ln w →  – i2 ln e^iπ  = 
 – i2 ⋅ iπ = π2  . 

При z →  – ∞,  w →  – 1 .  При этом аргумент φ_w  функции w(z ) убывает от 0 до – π  :  φ_w  →  – π .  Тогда w → e^– iπ ,    f  = – i2 ln w →  – i2 ln e^– iπ  =  – i2 ⋅ (– iπ ) = – π2  . 

Все это соответствует главному значению арктангенса, у которого
lim_{x →  + ∞} arctg x = π / 2 ; 
lim_{x →  – ∞} arctg x = – π / 2 . 

Итак,
Arctg z = – i2 Ln ( 1 + iz1 – iz  ) . 
Мы можем образовать листы Римановой поверхности, подчинив их условию:
– π + 2πn < w ≤ π + 2πn . 
Тогда лист с n = 0 ,  при действительных z , даст нам главное значение арктангенса. На остальных листах к функции w добавится множитель e^2πni  ,  что приведет к увеличению значения арктангенса на nπ .  Эти значения соответствуют другим ветвям арктангенса.

Арккотангенс

Пусть   f = arcctg z .

Рассмотрим уравнение:
z = ctg  f  = 1tg  f  ,  или
1z = tg  f 
Это уравнение такое, как для тангенса, только нужно заменить z на 1z  : 
 f  = Arcctg z = Arctg 1z = – i2 Ln ( 1 + iz 1 – iz   ) = – i2 Ln ( z + iz – i  ) ; 
 f  = – i2 Ln ( iz – 1iz + 1  ) . 

Также рассмотрим действительные z . Представим комплексную функцию под знаком логарифма в алгебраической форме:
w = iz – 1iz + 1 = – (1 – iz )² (1 + iz )(1 – iz ) =  z²  – 1 + 2ziz²  + 1 = u + iv , 
где u = z²  – 1z²  + 1 ,  v = 2zz²  + 1  . 

При z = 0,  w = – 1 = e^iπ ,    f  = – i2 ln (e^iπ ) = – i2 ⋅ iπ = π2  .  Это соответствует главному значению арккотангенса, arctg (0 ) = π / 2 . 

При z →  + ∞,  w → 1 .  При этом аргумент φ_w  функции w(z ) убывает от π до 0  :  φ_w  → 0 .  Тогда w → e^i ⋅ 0 ,    f  = – i2 ln w →  – i2 ln e^i ⋅ 0  = 0 . 

При z →  – ∞,  w → 1 .  При этом аргумент φ_w  функции w(z ) возрастает от π до 2π  :  φ_w  → 2π .  Тогда w → e^i2π ,    f  = – i2 ln w →  – i2 ln e^i2π  =  – i2 ⋅ (i2π ) = π . 

Все это соответствует главному значению арккотангенса, у которого
lim_{x →  + ∞} arcctg x = 0 ; 
lim_{x →  – ∞} arcctg x = π . 

Итак,
Arcctg z = – i2 Ln ( iz – 1iz + 1  ) . 
Мы можем образовать листы Римановой поверхности, подчинив их условию:
0 + 2πn ≤ w < 2π + 2πn . 
Тогда лист с n = 0 ,  при действительных z , даст нам главное значение арккотангенса. На остальных листах к функции w добавится множитель e^2πni  ,  что приведет к увеличению значения арккотангенса на nπ .  Эти значения соответствуют другим ветвям арктангенса.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 23-07-2014   Изменено: 13-04-2019