Вывод формул обратных тригонометрических функций
Основные формулы
Вывод формул для обратных тригонометрических функций прост, но требует контроля за значениями аргументов прямых функций. Это связано с тем, что тригонометрические функции периодичны и, поэтому, обратные к ним функции многозначны. Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями подразумевают их главные значения. Для определения главного значения, область определения тригонометрической функции сужают до интервала, на котором она монотонна и непрерывна. Вывод формул для обратных тригонометрических функций основывается на формулах тригонометрических функций и свойствах обратных функций как таковых. Свойства обратных функций можно разбить на две группы.
В первую группу входят формулы, справедливые на всей области определения обратных функций:
sin(arcsin x) = x (– 1 ≤ x ≤ 1 )
cos(arccos x) = x (– 1 ≤ x ≤ 1 )
tg(arctg x) = x (–∞ < x < +∞)
ctg(arcctg x) = x (–∞ < x < +∞)
Во вторую группу входят формулы, справедливые только на множестве значений обратных функций.
arcsin(sin x) = x при – π2 ≤ x ≤ π2
arccos(cos x) = x при 0 ≤ x ≤ π
arctg(tg x) = x при – π2 < x < π2
arcctg(ctg x) = x при 0 < x < π
Если переменная x не попадает в указанный выше интервал, то ее следует привести к нему, применяя формулы тригонометрических функций (далее n - целое):
sin x = sin(–x–π) ; sin x = sin(π–x) ; sin x = sin(x+2πn) ;
cos x = cos(–x) ; cos x = cos(2π–x) ; cos x = cos(x+2πn) ;
tg x = tg(x+πn) ; ctg x = ctg(x+πn)
Например, если известно, что π2 ≤ x ≤ 3π2 , то
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π - x )) = π - x .
Легко убедиться, что при π2 ≤ x ≤ 3π2 , π – x попадает в нужный интервал. Для этого умножим π2 ≤ x ≤ 3π2 на –1: – π2 ≥ – x ≥ – 3π2 и прибавим π : π2 ≥ π – x ≥ – π2 , или – π2 ≤ π – x ≤ π2 . Все правильно.
Обратные функции отрицательного аргумента
Применяя указанные выше формулы и свойства тригонометрических функций, получаем формулы обратных функций отрицательного аргумента.
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x
Поскольку – π2 ≤ arcsin x ≤ π2 , то умножив на –1, имеем: π2 ≥ – arcsin x ≥ – π2 , или – π2 ≤ – arcsin x ≤ π2 .
Аргумент синуса попадает в допустимый интервал области значений арксинуса. Поэтому формула верна.
Аналогично для остальных функций.
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x
arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x
arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x
Выражение арксинуса через арккосинус и арктангенса через арккотангенс
Выразим арксинус через арккосинус.
arcsin x = arcsin cos arccos x = arcsin sin ( π2 – arccos x ) = π2 – arccos x
Формула справедлива при – π2 ≤ π2 – arccos x ≤ π2 . Эти неравенства выполняются, поскольку 0 ≤ arccos x ≤ π.
Чтобы убедиться в этом, умножим неравенства на –1: 0 ≥ – arccos x ≥ – π, и прибавим π/2 : π2 ≥ π2 – arccos x ≥ – π2 , или – π2 ≤ π2 – arccos x ≤ π2 . Все правильно.
Итак, arcsin x = π2 – arccos x
Аналогично выражаем арктангенс через арккотангенс.
arctg x = arctg ctg arcctg x = arctg tg ( π2 – arcctg x ) = π2 – arcctg x
Выражение арксинуса через арктангенс, арккосинуса через арккотангенс и наоборот
Поступаем аналогичным способом.
arcsin x = arctg tg arcsin x = arctg ( sin arcsin xcos arcsin x ) = arctg ( x√ 1 – (sin arcsin x ) 2 ) = arctg ( x√ 1 – x 2 ).
arccos x = arcctg ctg arccos x = arcctg ( cos arccos xsin arccos x ) = arcctg ( x√ 1 – (cos arccos x ) 2 ) = arcctg ( x√ 1 – x 2 ).
arctg x = arcsin sin arctg x = arcsin ( tg arctg x√ 1 + tg 2 arctg x ) = arcsin ( x√ 1 + x 2 ).
arcctg x = arccos cos arcctg x = arccos ( ctg arcctg x√ 1 + ctg 2 arcctg x ) = arccos ( x√ 1 + x 2 ).
Формулы суммы и разности
Аналогичным способом, получим формулу суммы арксинусов.
arcsin x + arcsin y = arcsin (sin (arcsin x + arcsin y )) = arcsin ( sin (arcsin x ) ⋅ cos (arcsin y ) + sin (arcsin y ) ⋅ cos (arcsin x ) ) = arcsin ( x ⋅ √ 1 – (sin (arcsin y )) 2 + y ⋅ √ 1 – (sin (arcsin x )) 2 ) = arcsin ( x √ 1 – y 2 + y √ 1 – x 2 ).
Установим пределы применимости формулы. Чтобы не иметь дела с громоздкими выражениями, введем обозначения: X = arcsin x , Y = arcsin y . Формула применима при
– π2 ≤ X + Y ≤ π2 . Далее замечаем, что, поскольку arcsin(–x) = – arcsin x, arcsin(–y) = – arcsin y, – π2 ≤ arcsin x ≤ π2 , – π2 ≤ arcsin y ≤ π2 , то при разных знаках у x и y , X и Y также разного знака и поэтому неравенства – π2 ≤ X + Y ≤ π2 выполняются. Условие различных знаков у x и y можно написать одним неравенством: x y ≤ 0 . То есть при x y ≤ 0 формула справедлива.
Теперь рассмотрим случай x > 0 и y > 0 , или X > 0 и Y > 0 . Тогда условие применимости формулы заключается в выполнении неравенства: X + Y ≤ π2 . Поскольку косинус монотонно убывает при значениях аргумента в интервале от 0 , до π , то возьмем косинус от левой и правой части этого неравенства и преобразуем выражение:
cos (X + Y ) ≥ cos π2 ;
cos X cos Y – sin X sin Y ≥ 0 ;
cos X cos Y ≥ sin X sin Y = sin (arcsin x ) ⋅ sin (arcsin y ) = x y ;
cos X cos Y ≥ x y .
Поскольку 0 ≤ X ≤ π2 и 0 ≤ Y ≤ π2 ; то входящие сюда косинусы не отрицательные. Обе части неравенства положительные. Возводим их в квадрат и преобразуем косинусы через синусы:
cos 2 X cos 2 Y ≥ x 2 y 2 ;
( 1 – sin 2 X )( 1 – sin 2 Y ) ≥ x 2 y 2 .
Подставляем sin X = sin arcsin x = x :
( 1 – x 2 )( 1 – y 2 ) ≥ x 2 y 2 ;
1 – x 2 – y 2 + x 2 y 2 ≥ x 2 y 2 ;
1 ≥ x 2 + y 2 ;
x 2 + y 2 ≤ 1 .
Итак, полученная формула справедлива при xy ≤ 0 или x 2 + y 2 ≤ 1 .
Теперь рассмотрим случай x > 0, y > 0 и x2 + y2 > 1 . Здесь аргумент синуса принимает значения: π2 < arcsin x + arcsin y ≤ π . Его нужно привести к интервалу области значения арксинуса [– π2 ; π2 ] :
arcsin x + arcsin y = π + arcsin x + arcsin y – π = π + arcsin (sin (arcsin x + arcsin y – π )) = π + arcsin (– sin (arcsin x + arcsin y )) = π – arcsin (sin (arcsin x + arcsin y )) = π – arcsin ( sin (arcsin x ) ⋅ cos (arcsin y ) + sin (arcsin y ) ⋅ cos (arcsin x ) ) = π – arcsin ( x ⋅ √ 1 – (sin (arcsin y )) 2 + y ⋅ √ 1 – (sin (arcsin x )) 2 ) = π – arcsin ( x √ 1 – y 2 + y √ 1 – x 2 ) .
Итак,
arcsin x + arcsin y = π – arcsin ( x √ 1 – y 2 + y √ 1 – x 2 )
при x > 0, y > 0 и x 2 + y 2 > 1 .
Заменив x и y на – x и – y , имеем
arcsin (– x ) + arcsin (– y ) = π – arcsin ( – x √ 1 – y 2 – y √ 1 – x 2 )
при – x > 0, – y > 0 и x 2 + y 2 > 1 .
Выполняем преобразования:
– arcsin x – arcsin y = π + arcsin ( x √ 1 – y 2 + y √ 1 – x 2 )
при x < 0, y < 0 и x 2 + y 2 > 1 .
Или
arcsin x + arcsin y = – π – arcsin ( x √ 1 – y 2 + y √ 1 – x 2 )
при x < 0, y < 0 и x 2 + y 2 > 1 .
Итак, мы получили следующие выражения для суммы арксинусов:
arcsin x + arcsin y = arcsin ( x √ 1 – y 2 + y √ 1 – x 2 )
при xy ≤ 0 или x 2 + y 2 ≤ 1 ;
arcsin x + arcsin y = π – arcsin ( x √ 1 – y 2 + y √ 1 – x 2 )
при x > 0, y > 0 и x 2 + y 2 > 1 ;
arcsin x + arcsin y = – π – arcsin ( x √ 1 – y 2 + y √ 1 – x 2 )
при x < 0, y < 0 и x 2 + y 2 > 1 .
Аналогичным способом получаются остальные формулы:
arcsin x – arcsin y = arcsin ( x √ 1 – y 2 – y √ 1 – x 2 )
при xy ≥ 0 или x 2 + y 2 ≤ 1 ;
arcsin x – arcsin y = π – arcsin ( x √ 1 – y 2 – y √ 1 – x 2 )
при x > 0, y < 0 и x 2 + y 2 > 1 ;
arcsin x – arcsin y = – π – arcsin ( x √ 1 – y 2 – y √ 1 – x 2 )
при x < 0, y > 0 и x 2 + y 2 > 1 ;
arccos x + arccos y = arccos ( xy – √ 1 – x 2 √ 1 – y 2 )
при x + y ≥ 0 ;
arccos x + arccos y = 2π – arccos ( xy – √ 1 – x 2 √ 1 – y 2 )
при x + y < 0 ;
arccos x – arccos y = – arccos ( xy + √ 1 – x 2 √ 1 – y 2 )
при x ≥ y ;
arccos x – arccos y = arccos ( xy + √ 1 – x 2 √ 1 – y 2 )
при x < y ;
arctg x + arctg y = arctg x + y1 – xy
при xy < 1 ;
arctg x + arctg y = π + arctg x + y1 – xy
при x > 0, xy > 1 ;
arctg x + arctg y = – π + arctg x + y1 – xy
при x < 0, xy > 1 ;
arctg x – arctg y = arctg x – y1 + xy
при xy > – 1 ;
arctg x – arctg y = π + arctg x – y1 + xy
при x > 0, xy < – 1 ;
arctg x – arctg y = – π + arctg x – y1 + xy
при x < 0, xy < – 1 .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: