Методы решения физико-математических задач

Вывод формул обратных тригонометрических функций

Представлен способ вывода формул для обратных тригонометрических функций. Получены формулы для отрицательных аргументов, выражения, связывающие арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Указан способ вывода формул суммы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов.

Основные формулы

Вывод формул для обратных тригонометрических функций прост, но требует контроля за областью определения и значений. Это связано с тем, что тригонометрические функции периодичны и, поэтому, обратные к ним функции многозначны. Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями подразумевают их главные значения, которые определены не на всей области определения, а на одном из интервалов, где эти функции монотонны. Вывод формул для обратных тригонометрических функций основывается на формулах тригонометрических функций и свойствах обратных функций как таковых. При применении этих формул следует особо следить за областью значений. Свойства обратных функций можно разбить на две группы.

В первую группу входят формулы, справедливые на всей области определения:
sin(arcsin x) = x    
cos(arccos x) = x    
tg(arctg x) = x    
ctg(arcctg x) = x    

Во вторую группу входят формулы, справедливые только на множестве значений обратных функций.
arcsin(sin x) = x     при
arccos(cos x) = x     при
arctg(tg x) = x     при
arcctg(ctg x) = x     при
При применении этих формул нужно следить, чтобы значение обратной функции попадало в соответствующий интервал главной области значений.

Если переменная x не попадает в этот интервал, то ее следует привести к этому интервалу, применяя формулы тригонометрических функций (далее n - целое):
sin x = sin(–x–π);     sin x = sin(π–x);     sin x = sin(x+2πn);
cos x = cos(–x);     cos x = cos(2π–x);     cos x = cos(x+2πn);
tg x = tg(x+πn);     ctg x = ctg(x+πn)

Например, если известно, что то
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π - x )) = π - x .

Легко убедиться, что при   π – x   попадает в нужный интервал. Для этого умножим на –1:   и прибавим π:     или   Все правильно.

Обратные функции отрицательного аргумента

Применяя указанные выше формулы и свойства тригонометрических функций, получаем формулы обратных функций отрицательного аргумента.

arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Поскольку   то умножив на –1, имеем:   или  
Аргумент синуса попадает в допустимый интервал области значений арксинуса. Поэтому формула верна.

Аналогично для остальных функций.
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x

arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x

arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x

Выражение арксинуса через арккосинус и арктангенса через арккотангенс

Выразим арксинус через арккосинус.

Формула справедлива при Эти неравенства выполняются, поскольку

Чтобы убедиться в этом, умножим неравенства на –1: и прибавим π/2: или Все правильно.

Итак,  

Аналогично выражаем арктангенс через арккотангенс.

Выражение арксинуса через арктангенс, арккосинуса через арккотангенс и наоборот

Поступаем аналогичным способом.

Формулы суммы и разности

Аналогичным способом, получим формулу суммы арксинусов.

Установим пределы применимости формулы. Чтобы не иметь дела с громоздкими выражениями, введем обозначения: X = arcsin x,   Y = arcsin y. Формула применима при
. Далее замечаем, что, поскольку arcsin(–x) = – arcsin x,   arcsin(–y) = – arcsin y,       то при разных знаках у x и y, X и Y также разного знака и поэтому неравенства     выполняются. Условие различных знаков у x и y можно написать одним неравенством: .   То есть при     формула справедлива.

Теперь рассмотрим случай x > 0 и y > 0, или X > 0 и Y > 0. Тогда условие применимости формулы заключается в выполнении неравенства: .   Поскольку косинус монотонно убывает при значениях аргумента в интервале от 0, до π, то возьмем косинус от левой и правой части этого неравенства и преобразуем выражение:
;
;
;
.
Поскольку   и   ;   то входящие сюда косинусы не отрицательные. Обе части неравенства положительные. Возводим их в квадрат и преобразуем косинусы через синусы:
;
.
Подставляем   sin X = sin arcsin x = x:
;
;
;
.

Итак, полученная формула справедлива при     или .

Теперь рассмотрим случай   x > 0, y > 0   и   x2 + y2 > 1. Здесь аргумент синуса принимает значения:   .   Его нужно привести к интервалу области значения арксинуса   :

.

Итак,

при и.

Заменив x и y на – x и – y, имеем

при и.
Выполняем преобразования:

при и.
Или

при и.

Итак, мы получили следующие выражения для суммы арксинусов:

при или ;

при и ;

при и .

Аналогичным способом получаются остальные формулы:


при или ;

при и ;

при и ;


при ;

при ;


при ;

при ;


при ;

при ;

при ;


при ;

при ;

при .

.     Опубликовано: