Степенная функция и корни - определение, свойства и формулы

Приведены основные свойства степенной функции, включая формулы и свойства корней. Представлены производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел степенной функции.

Определение

Степенная функция с показателем степени p

– это функция  f(x) = x ^p , значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p .
Кроме этого,  f(0) = 0 ^p = 0  при  p > 0 .

Для натуральных значений показателя p = n ∈ N ,  степенная функция есть произведение n чисел, равных x :
 f (x ) = xⁿ  = x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅  ⋅  ⋅ x_n раз . 
Она определена для всех действительных x ∈ R . 

Для положительных рациональных значений показателя p = n / m,  n, m ∈ N ,  степенная функция есть произведение n корней степени m из числа x :
 f (x ) = x^n / m  =  ^m√ x  ⋅ ^m√ x  ⋅ ^m√ x  ⋅ ^m√ x  ⋅  ⋅  ⋅ ^m√ x _n раз  . 
Для нечетных m , она определена для всех действительных x . Для четных m , степенная функция определена для неотрицательных x ≥ 0 . 

Для отрицательных p < 0 ,  степенная функция определяется по формуле:
x^– p  = 1x^p   . 
Поэтому она не определена в точке x = 0 . 

Для иррациональных значений показателя p , степенная функция определяется по формуле:
x^p  = a^{p log_a x}  , 
где a – произвольное положительное число, не равное единице:  a > 0,  a ≠ 1 . 
При p > 0 ,  она определена для x ≥ 0 . 
При p < 0 ,  степенная функция определена для x > 0 . 

Непрерывность. Степенная функция непрерывна на своей области определения.

Свойства и формулы степенной функции при x ≥ 0

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции при неотрицательных значениях аргумента x . Как указано выше, при некоторых значениях показателя p , степенная функция определена и для отрицательных значений x . В этом случае, ее свойства можно получить из свойств при x ≥ 0 ,  используя четность или нечетность. Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Доказательство свойств приводится на странице «Степенная функция (доказательство непрерывности и свойств)»

Корни – определение, формулы, свойства

Корень из числа  x  степени  n

– это число  ⁿ√ x   , возведение которого в степень  n  дает  x :
( ⁿ√ x   )ⁿ  = x . 
Здесь n = 2, 3, 4, ... – натуральное число, большее единицы.

Также можно сказать, что корень  y = ⁿ√ x    из числа  x  степени  n – это корень (то есть решение) уравнения
yⁿ  = x . 
Заметим, что функция y(x ) = ⁿ√ x   является обратной к функции x(y ) = yⁿ  . 

Квадратный корень из числа  x 

– это корень степени 2:  √ x  ≡ ²√ x   . 

Кубический корень из числа  x 

– это корень степени 3:  ³√ x   . 

Четная степень

Для четных степеней  n = 2m , корень ⁿ√ x   определен при x ≥ 0 . Часто используется формула, справедливая как для положительных, так и для отрицательных x :
^2m√ x^2m   =  | x | ,   m ∈ N,   – ∞ < x < + ∞ . 
Для квадратного корня:
√ x²   =  | x | ,   – ∞ < x < + ∞ . 

Здесь важен порядок, в котором выполняются операции – то есть сначала производится возведение в квадрат, в результате чего получается неотрицательное число, а затем из него извлекается корень (из неотрицательного числа можно извлекать квадратный корень). Если бы мы изменили порядок: ( √ x   )²  ,  то при отрицательных x корень был бы не определен, а вместе с ним не определено и все выражение.

Нечетная степень

Для нечетных степеней  n = 2m – 1 ,  корень ⁿ√ x   определен для всех x :
^2m – 1√ – x  = –  ^2m – 1√ x   ; 
^2m – 1√ x^2m – 1   = x . 

Свойства и формулы корней

Корень из  x  является степенной функцией:
ⁿ√ x  ≡ x¹ⁿ  . 
При x ≥ 0 имеют место следующие формулы:
x^nm  = ^m√ xⁿ   = ( ^m√ x   )ⁿ  ; 
^m√ ⁿ√ x    = ^m ⋅ n√ x   ; 
ⁿ√ x₁ x₂   = ⁿ√ x  ₁  ⋅ ⁿ√ x  ₂  ,      x₁ , x₂  ≥ 0 ; 
ⁿ√ x₁ x₂    = ⁿ√ x₁   ⁿ√ x₂    ,  x₁  ≥ 0.  x₂  > 0 . 

Эти формулы также могут быть применимы и при отрицательных значениях переменных x, x₁ , x₂  .  Нужно только следить за тем, чтобы подкоренное выражение четных степеней не было отрицательным.

Частные значения

Корень 0 равен 0:   ⁿ√ 0  = 0 . 
Корень 1 равен 1:   ⁿ√ 1  = 1 . 
Квадратный корень 0 равен 0:   √ 0  = 0 . 
Квадратный корень 1 равен 1:   √ 1  = 1 . 

Пример. Корень из корней

Рассмотрим пример квадратного корня из корней:
√ x √ x √ x       . 
Преобразуем внутренний квадратный корень, применяя приведенные выше формулы:
√ x √ x    = ( x ⋅ x¹²  )¹²  =  x¹²  ⋅ ( x¹²  )¹²  = x¹²  ⋅ x^{12 ⋅ 12}  =  x¹²  ⋅ x¹⁴  = x^12 + 14  = x³⁴  . 
Теперь преобразуем исходный корень:
√ x √ x √ x      = √ x ⋅ x³⁴   = ( x ⋅ x³⁴  )¹²  = x¹²  ⋅ ( x³⁴  )¹²  = x¹²  ⋅ x^{34 ⋅ 12}  = x¹²  ⋅ x³⁸  = x^12 + 38  = x⁷⁸  . 
Итак,
√ x √ x √ x      = x⁷⁸  . 

Графики степенной функции

Здесь приводятся графики функции y = x^p  при неотрицательных значениях аргумента x . Графики степенной функции, определенной при отрицательных значениях x , приводятся на странице «Степенная функция, ее свойства и графики»

Обратная функция

Обратной для степенной функции с показателем p является степенная функция с показателем 1/p .

Если    y = x^p  (x > 0 ) ,    то    x = y^1p  . 

( x^p  )^1p  = x

Производная степенной функции

( x^p  )^′ = p x^p – 1 
Производная n-го порядка:
( x^p  )^(n )  =  p (p – 1 ) (p – 2 ) ...  (p – n + 1 ) x^p – n  ; 
( xⁿ  )^(n )  = n!
Вывод формул > > >

Интеграл от степенной функции

∫ x^p dx= 1p + 1 x^p + 1  + C ,    p ≠ – 1 ;
∫ x^– 1 dx= ∫ dxx = ln  | x |  + C . 

Разложение в степенной ряд

При   – 1 < x < 1   имеет место следующее разложение:
(1 + x )^p  = 1 + px + p(p – 1 )2! x²  +  p(p – 1 )(p – 2 )3! x³  +  p(p – 1 )(p – 2 )(p – 3 )4! x⁴  + ... 

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного переменного z :
f(z) = z ^t .
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ   ( r = |z| ):
z = r e ^{i φ} .
Комплексное число t представим в виде действительной и мнимой частей:
t = p + i q .
Имеем:
 f (z ) = ( re^iφ  )^p + iq  =  r^p + iq e^{iφ(p + iq )}  = r^p r^iq e^{iφp – φq}  =  r^p e^iq ln r e^iφp e^– φq  =  r^p e^– φq e^{i(q ln r + φp )}  =  r^p e^– φq [ cos (q ln r + φp ) +    i sin (q ln r + φp ) ]
Далее учтем, что аргумент φ определен не однозначно:
φ = φ₀  + 2πk,  где k – целое , 
 f (z ) = z^t  = r^p e^{– (φ₀  + 2πk )q}  [ cos (q ln r + (φ₀  + 2πk )p ) +    i sin (q ln r + (φ₀  + 2πk )p ) ]

Рассмотрим случай, когда q = 0 , то есть показатель степени - действительное число, t = p .   Тогда
 f (z ) = z^p  = r^p [ cos ((φ₀  + 2πk )p ) +    i sin ((φ₀  + 2πk )p ) ] =  r^p [ cos (φ₀ p + 2πkp ) +    i sin (φ₀ p + 2πkp ) ] . 

Если p - целое, то и kp - целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций:
z^p  = r^p [ cos (φ₀ p ) + i sin (φ₀ p ) ] . 
То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z , имеет только одно значение и поэтому является однозначной.

Если p - иррациональное, то произведения kp ни при каком k не дают целого числа. Поскольку k пробегает бесконечный ряд значений k = 0, ±1, ±2, ±3, ... , то функция z ^p имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.

Если p - рациональное, то его можно представить в виде:
p = mn  ,  где m, n - целые, не содержащие общих делителей. Тогда
kp = kmn  . 
Первые n величин, при k = k₀ = 0, 1, 2, ... n-1 , дают n различных значений kp :
kp = k₀ p = k₀ mn  . 
Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k₀ + n имеем:
kp = (k₀  + n ) mn = k₀ mn + m . 
Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2π , имеют равные значения. Поэтому при дальнейшем увеличении k мы получаем те же значения z ^p , что и для k = k₀ = 0, 1, 2, ... n-1 .

Таким образом, показательная функция с рациональным показателем степени p = mn  является многозначной и имеет n значений (ветвей). Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции. Через n таких оборотов мы возвращаемся на первую ветвь, с которой начинался отсчет.

В частности, корень степени n имеет n значений. В качестве примера рассмотрим корень n – й степени действительного положительного числа z = x . В этом случае φ₀ = 0, z = r = |z| = x , p = 1n  . 
ⁿ√ z  = z¹ⁿ  = z^p  =  r^p [ cos (φ₀ p + 2πkp ) +    i sin (φ₀ p + 2πkp ) ] =   | z | ¹ⁿ [ cos ( 2πkn  ) + i sin ( 2πkn  ) ] =  ⁿ√ x  [ cos ( 2πkn  ) + i sin ( 2πkn  ) ] . 
Так, для квадратного корня, n = 2 ,
√ z  = √ x  [ cos ( πk  ) + i sin ( πk  ) ] =  √ x  [ (– 1 )^k  + 0  ] = (– 1 )^k √ x   . 
Для четных k, (– 1)^k = 1 . Для нечетных k, (– 1)^k = – 1 .
То есть квадратный корень имеет два значения:   + √ x     и   – √ x   . 

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 01-08-2014   Изменено: 12-12-2018