Арксинус, арккосинус - свойства, графики, формулы

Даны свойства арксинуса и арккосинуса, их графики, формулы, таблица арксинусов и арккосинусов. Выражения через комплексные числа, гиперболические функции. Производные, интегралы, разложение в степенной ряд.

Арксинус, arcsin

Определение и обозначения

Арксинус ( y = arcsin x )

 – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения  –1 ≤ x ≤ 1  и множество значений  –π/2 ≤ y ≤ π/2 .
sin(arcsin x) = x     (– 1 ≤ x ≤ 1 ) ; 
arcsin(sin x) = x     ( – π2 ≤ x ≤ π2  ) . 

Арксинус иногда обозначают так:
arcsin x ≡ sin^– 1 x . 

График функции арксинус

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   – π2 ≤ y ≤ π2  ,  на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус ( y = arccos x )

 – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения  –1 ≤ x ≤ 1  и множество значений  0 ≤ y ≤ π .
cos(arccos x) = x     (– 1 ≤ x ≤ 1 ) ; 
arccos(cos x) = x     ( 0 ≤ x ≤ π  ) . 

Арккосинус иногда обозначают так:
arccos x ≡ cos^– 1 x . 

График функции арккосинус

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   0 ≤ y ≤ π ,  на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства - экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

√ 2  2  ≈ 0,7071067811865476
√ 3  2  ≈ 0,8660254037844386

Формулы

См. Вывод формул обратных тригонометрических функций
arcsin x = π2 – arccos x = arctg x√ 1 – x²    
arccos x = π2 – arcsin x = arcctg x√ 1 – x²    
arctg x = arcsin x√ 1 + x²    
arcctg x = arccos x√ 1 + x²    

Формулы суммы и разности

arcsin x + arcsin y =  arcsin ( x √ 1 – y²   + y √ 1 – x²    ) 
     при  xy ≤ 0 или x²  + y²  ≤ 1
arcsin x + arcsin y = π – arcsin ( x √ 1 – y²   + y √ 1 – x²    )
     при  x > 0,  y > 0 и x²  + y²  > 1
arcsin x + arcsin y =  – π – arcsin ( x √ 1 – y²   + y √ 1 – x²    ) 
     при x < 0,  y < 0 и x²  + y²  > 1

arcsin x – arcsin y =  arcsin ( x √ 1 – y²   – y √ 1 – x²    ) 
     при  xy ≥ 0 или x²  + y²  ≤ 1
arcsin x – arcsin y = π – arcsin ( x √ 1 – y²   – y √ 1 – x²    )
     при  x > 0,  y < 0 и x²  + y²  > 1
arcsin x – arcsin y = – π – arcsin ( x √ 1 – y²   – y √ 1 – x²    ) 
     при x < 0,  y > 0 и x²  + y²  > 1

arccos x + arccos y =  arccos ( xy – √ 1 – x²   √ 1 – y²    ) 
     при  x + y ≥ 0
arccos x + arccos y = 2π –  arccos ( xy – √ 1 – x²   √ 1 – y²    ) 
     при  x + y < 0

arccos x – arccos y =  – arccos ( xy + √ 1 – x²   √ 1 – y²    ) 
     при  x ≥ y
arccos x – arccos y =  arccos ( xy + √ 1 – x²   √ 1 – y²    ) 
     при  x < y

Выражения через логарифм, комплексные числа

См. Вывод формул
Arcsin z = – i Ln ( i z + √ 1 – z²    )
Arccos z = – i Ln ( z + √ z²  – 1   )

Выражения через гиперболические функции

Arcsin iz = i Arsh z
Arccos z = – i Arch z
Arsh iz = i Arcsin z
Arch z = i Arccos z

Производные

(arcsin x )^′ = 1√ 1 – x²     ; 
(arccos x )^′ = – 1√ 1 – x²     . 
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков:
(arcsin x )^(n )  = p_n (x )( 1 – x²  )^n – 12   , 
где p_n (x ) – многочлен степени n – 1 .  Он определяется по формулам:
p_2m + 1 (x ) =  A [1 + ^mΣ_k = 1 (m! )² (2k )!( (m – k )!  )²  (2x )^2k ] ; 
p_2m (x ) = Ax [1 +  ^m – 1Σ_k = 1 ((m – 1 )! )² (2k + 1 )!( (m – k – 1 )!  )²  (2x )^2k ] ; 
A = [1 ⋅ 3 ⋅ 5⋅ ⋅ ⋅(2m – 1 )]²  ≡  [(2m – 1 )!! ]²  . 
(arccos x )^(n )  = – (arcsin x )^(n ) 
См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку   x = sin t . Интегрируем по частям, учитывая что  –π/2 ≤ t ≤ π/2 ,  cos t ≥ 0 :
∫ arcsin x dx = ∫ arcsin sin t d(sin t ) = ∫ t d(sin t ) =  t sin t – ∫ sin t dt = t sin t + cos t + C = arcsin x ⋅ x + √ 1 – sin² t  =  x arcsin x + √ 1 – x²   + C . 

Выразим арккосинус через арксинус:
∫ arccos x dx = ∫ ( π2 – arcsin x  ) dx = π2 ∫ dx – ∫ arcsin x dx =  π2 x – x arcsin x – √ 1 – x²   + C = x( π2 – arcsin x  ) – √ 1 – x²   + C =  x arccos x – √ 1 – x²   + C . 

Разложение в ряд

При   |x| < 1   имеет место следующее разложение:
arcsin x = x + ^∞Σ_n = 1 (2n – 1 )!!(2n )!! x^2n + 1 2n + 1 =  x + 12 ⋅ x³ 3 + 1 ⋅ 32 ⋅ 4 ⋅ x⁵ 5 + 1 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ x⁷ 7 + . . . ; 
arccos x = π2 – arcsin x . 

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x     (– 1 ≤ x ≤ 1 )
cos(arccos x) = x    (– 1 ≤ x ≤ 1 ) . 

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin x) = x     при  – π2 ≤ x ≤ π2 
arccos(cos x) = x     при  0 ≤ x ≤ π . 

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 09-07-2014   Изменено: 23-12-2018