Методы решения физико-математических задач

Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием
Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения, решающегося непосредственным интегрированием. Дан подробный пример решения такого уравнения.

Рассмотрим уравнение n-го порядка:
(1)   y^(n)~=~f(x)

Оно решается непосредственным интегрированием.

y^(n)~=~{d y^(n-1)}/dx~=~f(x)

y^(n-1)~=~int{~}{~}{f(x) dx}~+~C_1

y^(n-2)~=~int{~}{~}{y^(n-1) dx}~+~C_2

. . . . . . . .

При этом постоянные интегрирования C1, C2, ... Cn входят в результат в виде многочлена степени n:

C_1 ~+~ C_2 x ~+~ C_3 x^2 ~+~ ...~+~ C_n x^{n-1}

 

Также общее решение уравнения (1) можно представить в виде однократного интегрирования:

(2)   y~=~1/{(n-1)!} ~int{a}{x}{(x minus t)^{n-1} ~f(t) dt}~+~C_1 ~+~ C_2 x ~+~ C_3 x^2 ~+~ ...~+~ C_n x^{n-1}

где a - некоторая постоянная.

Однако, интегрирование по формуле (2) приводит, как правило, к более громоздким вычислениям, чем непосредственное интегрирование.

Проверим формулу (2). Для этого возьмем производную от (2):

y prime~=~1/{(n-1)!} ~lim{t right x}{(x minus t)^{n-1} ~f(t) }~+~1/{(n-1)!}~dot~int{a}{x}{ {partial((x minus t)^{n-1} ~f(t))}/{partial x} dt}~+~

~+~C_2 ~+~ 2 C_3 x ~+~ ...~+~ (n minus 1)C_n x^{n-2}~=~

~=~1/{(n-1)!} ~(x minus x)^{n-1} ~f(x) ~+~{n-1}/{(n-1)!} ~int{a}{x}{ (x minus t)^{n-2} ~f(t) dt}~+~

~+~C_2 ~+~ 2 C_3 x ~+~ ...~+~ (n minus 1)C_n x^{n-2}~=~

~=~0 ~+~1/{(n-2)!} ~int{a}{x}{ (x minus t)^{n-2} ~f(t) dt}~+~C_2 ~+~ 2 C_3 x ~+~ ...~+~ (n minus 1)C_n x^{n-2}

Выполняя n-1 дифференцирований, получаем:

y^(n-1)~=~int{a}{x}{ f(t) dt}~+~(n minus 1)! ~C_n

Дифференцируя еще раз приходим к выражению (2):

y^(n)~=~f(x)

Пример

Решить уравнение:
y prime prime prime ~sin^4 x ~=~sin 2x

Решение

Преобразуем, применяя формулу тригонометрии:

y prime prime prime ~=~{sin 2x}/{sin^4 x}~=~{2 sin x ~cos x}/{sin^4 x}~=~2~{cos x}/{sin^3 x}

Интегрируем:

y prime prime ~=~2~int{~}{~}{{cos x}/{sin^3 x} dx}~=~2~int{~}{~}{ (sin x)^{-3} d (sin x)}~=~2/{-3+1} (sin x)^{-3+1}~+~C~=~

~=~minus~ 1/{sin^2 x}~+~C_1

Интегрируем еще раз:

y prime ~=~minus~int{~}{~}{dx/{sin^2 x} }~+~C_1 int{~}{~}{dx}~=~ctg x ~+~C_1 x ~+~ C_2

y ~=~int{~}{~}{ctg x^{~} dx} ~+~int{~}{~}{(C_1 x ~+~ C_2)dx}~=~int{~}{~}{{~cos x dx}/{sinx}}~+~1/2 C_1 x^2 ~+~ C_2 x ~=~

~=~int{~}{~}{{~d(sinx)}/{sinx}}~+~1/2 C_1 x^2 ~+~ C_2 x~=~ln delim{|}{sin x}{|}~+~1/2 C_1 x^2 ~+~ C_2 x~+~C_3

Преобразуем постоянные интегрирования:

C_1 right 2 C_3;~~~C_3 right C_1

Ответ

y~=~ln delim{|}{sin x}{|}~+~C_1 ~+~ C_2 x~+~C_3 x^2

.     Опубликовано: