Методы решения физико-математических задач

Дифференциальное уравнение y(n) = f(x)

Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием
Рассмотрено дифференциальное уравнение, в котором n-я производная равна функции от независимой переменной x. Такое уравнение решается непосредственным интегрированием n раз. Также его можно решить, выполняя однократное интегрирование с помощью формулы Коши для повторных интегралов. Дан подробный пример решения такого уравнения.

Общее решение

Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка, в котором n-я производная равна функции от независимой переменной x:
(1)   .
Оно решается непосредственным интегрированием.
;
;

;
;

;
;
. . . . . . . .

.
Заменим постоянные интегрирования:
.
Тогда
(2)   .
В результате мы получили общее решение (2) уравнения (1). Оно представляет собой сумму n-кратного повторного интеграла и многочлена степени .

Таким образом, если нас интересует общее решение уравнения (1), то мы должны проинтегрировать функцию n раз, и прибавить многочлен степени , коэффициентами которого являются постоянные интегрирования.

Частное решение с заданными начальными условиями

Если нас интересует задача Коши с заданными начальными условиями
(3)   ,
то соответствующее частное решение имеет следующий вид:
(4)  
.
См. «Решение дифференциального уравнения y(n)=f(x) с заданными начальными условиями».

Применение формулы Коши для повторных интегралов

Входящий в (4) n-кратный интеграл можно свести к однократному, если воспользоваться формулой Коши для повторных интегралов:
(5)   .
Тогда решение уравнения (1) с начальными условиями (3) примет более простой вид:
(6)  
.

Вывод формулы Коши (5) изложен на странице «Формула Коши для повторных интегралов». Здесь мы покажем, что функция , определяемое по формуле (6), удовлетворяет дифференциальному уравнению (1).

Дифференцируем (6):




.

Выполняя n – 1 дифференцирований, получаем:
.
Дифференцируя еще раз, приходим к уравнению (1):
.

Пример

Найти общее решение уравнения:
.

Решение

Разделим исходное уравнение на . При получаем уравнение вида (1):
.

Преобразуем, применяя формулу тригонометрии:
.
Интегрируем:

.
Интегрируем еще два раза:
;

.

Преобразуем постоянные интегрирования:
.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

Меню