Неравенства и лемма Бернулли

Неравенство Бернулли

Докажем неравенство методом математической индукции. Выпишем его еще раз:
(1.1)   (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

1. При n = 1 неравенство выполняется:
(1 + x)¹ = 1 + x.

2. Предположим, что неравенство (1.1) выполняется для произвольного натурального n.

3. Используя (1.1) докажем, что неравенство выполняется для n + 1.
(1 + x)^n + 1 = (1 + x)ⁿ ⋅ (1 + x).
Поскольку выполняется (1.1) и 1 + x ≥ 0, то
(1 + x)^n + 1 = (1 + x)ⁿ ⋅ (1 + x) ≥ (1 + nx) ⋅ (1 + x) = 1 + nx + x + nx² ≥
 1 + nx + x = 1 + (n + 1)x.
Здесь мы использовали тот факт, что nx² ≥ 0.
Итак, из (1.1) следует неравенство для n + 1:
(1 + x)^n + 1 ≥ 1 + (n + 1)x.

Неравенство доказано.

Более общая форма неравенства Бернулли

Докажем неравенство методом математической индукции. Выпишем его еще раз:
(2.1)   (1 + a₁)(1 + a₂)(1 + a₃)⋅ ⋅ ⋅ (1 + a_n) > 1 + a₁ + a₂ + a₃ + ⋅ ⋅ ⋅ + a_n.

1. При n = 2 неравенство выполняется:
(1 + a₁)(1 + a₂) = 1 + a₁ + a₂ + a₁ a₂ > 1 + a₁ + a₂.
Здесь мы учли, что a₁ и a₂ одного знака и не равны нулю. Поэтому a₁ a₂ > 0.

2. Предположим, что неравенство (2.1) выполняется для произвольного натурального n ≥ 2.

3. Используя (2.1) докажем, что неравенство выполняется для n + 1.
Поскольку выполняется (2.1) и 1 + a_n + 1 > 0, то
(1 + a₁)(1 + a₂)(1 + a₃)⋅ ⋅ ⋅ (1 + a_n)(1 + a_n + 1) >
 (1 + a₁ + a₂ + a₃ + ⋅ ⋅ ⋅ +a_n)(1 + a_n + 1) =
 1 + a₁ + a₂ + a₃ + ⋅ ⋅ ⋅ + a_n + a_n + 1 (1 + a₁ + a₂ + a₃ + ⋅ ⋅ ⋅ +a_n) =
 1 + a₁ + a₂ + a₃ + ⋅ ⋅ ⋅ +a_n + a_n + 1 + a_n + 1 (a₁ + a₂ + a₃ + ⋅ ⋅ ⋅ + a_n) >
 1 + a₁ + a₂ + a₃ + ⋅ ⋅ ⋅ + a_n + a_n + 1.
Здесь мы использовали тот факт, что величины a_i одного знака и не равны нулю. Поэтому их произведения a_i a_k > 0.
Итак, из (2.1) следует неравенство для n + 1:
(1 + a₁)(1 + a₂)(1 + a₃)⋅ ⋅ ⋅ (1 + a_n)(1 + a_n + 1) > 1 + a₁ + a₂ + a₃ + ⋅ ⋅ ⋅ +a_n + a_n + 1.

Неравенство доказано.

Лемма Бернулли

Выпишем неравенство еще раз:
(3.1)    | a^r – 1 |  ≤ 2 | r | (a – 1),   a > 1,  | r |  ≤ 1, a ∈ R,  r ∈ Q.

1. Пусть 0 < r ≤ 1.
1.1. Пусть r = 1n, где n = 1, 2, 3,... – натуральное число.

Применим неравенство Бернулли:
(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx,   x ≥ –1.
Положим a = (1 + x)ⁿ. Тогда x > 0,   a¹ⁿ = 1 + x,   x = a¹ⁿ – 1;
a ≥ 1 + n(a¹ⁿ – 1);
(3.2)   0 < a¹ⁿ – 1 ≤ 1n(a – 1).

Для r = 1n лемма доказана.

1.2. Используем (3.2), чтобы доказать лемму для 0 < r ≤ 1. Для этих значений, всегда можно найти такое натуральное n, чтобы выполнялись неравенства:
(3.3)   1n + 1 < r ≤ 1n.

Пользуясь тем, что функция  f (r) = a^r строго возрастает, a^r – 1 > 0, a – 1 > 0, и применяя (3.2) и (3.3), имеем:
a^r – 1 ≤ a¹ⁿ – 1 ≤ 1n(a – 1) = 2n + n (a – 1) ≤ 2 1n + 1 (a – 1) < 2r(a – 1);
(3.4)    | a^r – 1 |  = a^r – 1 ≤ 2r(a – 1).

Для 0 < r ≤ 1 лемма доказана.

2. Пусть –1 ≤ r < 0.
Заметим, что в этом случае 0 <  | r |  ≤ 1. Тогда можно применить (3.4), переписав его в виде:
a^| r | – 1 ≤ 2 | r | (a – 1).
Также замечаем, что a^r = a^{–  | r |}, a^| r | > 1. Тогда
 | a^r – 1 |  =  | a^{–  | r |} – 1 |  = | 1 – a^| r |a^| r | | = a^| r | – 1a^| r | < a^| r | – 1 ≤ 2 | r | (a – 1).

Для –1 ≤ r < 0 лемма доказана.

3. Пусть r = 0.
Тогда a^r = 1, и (3.1) превращается в равенство.

Лемма доказана.

Лемма Бернулли для действительных чисел

Выпишем неравенство еще раз:
(4.1)    | a^x – 1 |  ≤ 2 | x | (a – 1),   a > 1,   | x |  ≤ 1,   a, x ∈ R.
Выше мы доказали лемму Бернулли ⇑ для рациональных x:
(3.1)    | a^r – 1 |  ≤ 2 | r | (a – 1),   a > 1,  | r |  ≤ 1, a ∈ R,  r ∈ Q.
Воспользуемся этим результатом для обобщения на область действительных чисел.

Возьмем произвольную последовательность {r_n} рациональных чисел r_n ∈ Q, сходящуюся к действительному числу x, элементы которой принадлежат отрезку  | r_n |  ≤ 1. Тогда
lim_{n → ∞} r_n = x,    | x |  ≤ 1.
Для элементов этой последовательности выполняется лемма Бернулли (3.1):
(4.2)    | a^r_n – 1 |  ≤ 2 | r_n | (a – 1).

Выполняем предельный переход n → ∞.
Применяя арифметические свойства пределов последовательностей и определение показательной функции, имеем:
lim_{n → ∞} | a^r_n – 1 |  = | lim_{n → ∞} a^r_n – 1 | =  | a^x – 1 | ;
lim_{n → ∞} 2 | r_n | (a – 1) = 2(a – 1)| lim_{n → ∞} r_n | = 2 | x | (a – 1).
Применяем к (4.2) свойство пределов последовательностей, связанных неравенством:
lim_{n → ∞} | a^r_n – 1 |  ≤ lim_{n → ∞} 2 | r_n | (a – 1);
 | a^x – 1 |  ≤ 2 | x | (a – 1).

Лемма доказана.