Методы решения физико-математических задач

Неравенства и лемма Бернулли

Неравенства и лемма Бернулли
Дано неравенство Бернулли и его следствие, которое называется леммой Бернулли. Неравенство приводится в двух формах. Приводятся доказательства неравенств и леммы.

Неравенство Бернулли
При x ≥ –1 и натуральном n = 1, 2, 3, ... имеет место следующее неравенство:
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
Оно называется неравенством Бернулли.
Доказательство ⇓

При или оно превращается в равенство. Для остальных значений – это строгое неравенство.

Неравенство Бернулли можно записать и в более общем виде:
,
где числа одного знака (не равны нулю) и больше, чем –1; .
Доказательство ⇓

В математическом анализе, при выводе свойств показательной функции, применяется одно из следствий, которое называется леммой Бернулли.

Лемма Бернулли
  при .
Здесь a – действительное число, – рациональное.
Доказательство ⇓

Лемма Бернулли также справедлива и для действительных r. Выпишем ее еще раз, изменив обозначения.

  при .
Здесь a и x – действительные числа.
Доказательство ⇓

Доказательства неравенств

Доказательство неравенства Бернулли

Формулировка ⇑

Докажем неравенство методом математической индукции. Выпишем его еще раз:
(1.1)   .

1. При неравенство выполняется:
.

2. Предположим, что неравенство (1.1) выполняется для произвольного натурального n.

3. Используя (1.1) докажем, что неравенство выполняется для .
.
Поскольку выполняется (1.1) и , то

.
Здесь мы использовали тот факт, что .
Итак, из (1.1) следует неравенство для :
.

Неравенство доказано.

Доказательство более общей формы неравенства Бернулли

Формулировка ⇑

Докажем неравенство методом математической индукции. Выпишем его еще раз:
(2.1)   .

1. При неравенство выполняется:
.
Здесь мы учли, что и одного знака и не равны нулю. Поэтому .

2. Предположим, что неравенство (2.1) выполняется для произвольного натурального .

3. Используя (2.1) докажем, что неравенство выполняется для .
Поскольку выполняется (2.1) и , то




.
Здесь мы использовали тот факт, что величины одного знака и не равны нулю. Поэтому их произведения .
Итак, из (2.1) следует неравенство для :
.

Неравенство доказано.

Доказательство леммы Бернулли

Формулировка ⇑

Выпишем неравенство еще раз:
(3.1)   ,   , , .

1. Пусть .
1.1. Пусть , где – натуральное число.

Применим неравенство Бернулли:
,   .
Положим . Тогда ,   ,   ;
;
(3.2)   .

Для лемма доказана.

1.2. Используем (3.2), чтобы доказать лемму для . Для этих значений, всегда можно найти такое натуральное , чтобы выполнялись неравенства:
(3.3)   .

Пользуясь тем, что функция строго возрастает, , , и применяя (3.2) и (3.3), имеем:
;
(3.4)   .

Для лемма доказана.

2. Пусть .
Заметим, что в этом случае . Тогда можно применить (3.4), переписав его в виде:
.
Также замечаем, что , . Тогда
.

Для лемма доказана.

3. Пусть .
Тогда , и (3.1) превращается в равенство.

Лемма доказана.

Доказательство леммы Бернулли для действительных чисел

Формулировка ⇑

Выпишем неравенство еще раз:
(4.1)   ,   .
Выше мы доказали лемму Бернулли ⇑ для рациональных x:
(3.1)   ,   , , .
Воспользуемся этим результатом для обобщения на область действительных чисел.

Возьмем произвольную последовательность рациональных чисел , сходящуюся к действительному числу x, элементы которой принадлежат отрезку . Тогда
.
Для элементов этой последовательности выполняется лемма Бернулли (3.1):
(4.2)   .

Выполняем предельный переход .
Применяя арифметические свойства пределов последовательностей и определение показательной функции, имеем:
;
.
Применяем к (4.2) свойство пределов последовательностей, связанных неравенством:
;
.

Лемма доказана.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано:   Изменено: