Интегрирование тригонометрических рациональных функций

Представлены методы интегрирования тригонометрических рациональных функций. Подробно рассмотрены три примера интегрирования таких функций.

Методы интегрирования тригонометрических рациональных функций

Рассмотрим интегралы от тригонометрических рациональных функций:
∫ R( cos x, sin x  )dx ,
где R – рациональная функция, то есть функция, составленная из операций сложения, деления и возведения в целочисленную степень. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы (поскольку они получаются операциями деления синуса и косинуса). Их, чаще всего, стоит преобразовать через синусы и косинусы.

В зависимости от вида подынтегральной функции, применяют несколько методов интегрирования тригонометрических рациональных функций.

Подстановки t = sin x или t = cos x

Если R( cos x, sin x ) умножается на   –1 при замене
cos x  →  – cos x или sin x  →  – sin x  ,
то полезно другую из них обозначить через t .

Так, при подстановке
t = cos x  ,
dt = (cos x )′ dx = – sin x dx ,
sin² x = 1 – cos² x = 1 – t ² .

При подстановке
t = sin x  ,
dt = (sin x )′ dx = cos x dx ,
cos² x = 1 – sin² x = 1 – t ² .

Подстановка t = tg x

Если R( cos x, sin x ) не меняется при одновременной замене
cos x  →  – cos x и sin x  →  – sin x  ,
то полезно положить tg x = t или ctg x = t .

Пусть t = tg x , тогда
cos² x = 11 + tg² x = 11 + t² ,
sin² x = tg² x1 + tg² x = t²1 + t² ,
dt = (tg x )^′ dx = dxcos² x = (1 + t² ) dx ,
dx = dt1 + t² .

Подстановка t = tg(x/2)

Подстановка
t = tg x2
во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби.

При этом
cos² x2 = 11 + tg² x2 = 11 + t² ,
sin² x2 = tg² x21 + tg² x2 = t²1 + t² ,
dt = ( tg x2  )^′dx = 1cos² x2 ( x2  )^′ dx = dx2 cos² x2 = 12 (1 + t² ) dx ,
dx = 2 dt1 + t² ,
sin x = 2 sin x2 cos x2 = 2 sin x2cos x2 cos² x2 = 2 tg x2 cos² x2 = 2t1 + t² ,
cos x = cos² x2 – sin² x2 = cos² x2 – sin² x2cos² x2 cos² x2 = (1 – tg²x2 ) cos² x2 = 1 – t²1 + t² .

Итак,
t = tg x2 ,  sin x = 2t1 + t² , cos x = 1 – t²1 + t² ,  dx = 2 dt1 + t² .

Эта подстановка является универсальной и позволяет во всех случаях привести интегралы от тригонометрических рациональных функций к интегралам от рациональных функций. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям, чем предыдущие, если они применимы.

Интегралы с произведением степенных функций от cos x и sin x

Часто встречаются интегралы, в которых подынтегральная функция является произведением степенных функций от синуса и косинуса:
∫ sin^m x cosⁿ x dx
При целых m и n подынтегральная функция является тригонометрической рациональной функцией и, для ее интегрирования, применимы перечисленные выше методы. Однако, в виду особенности, существует ряд дополнительных методов, которые, в некоторых случаях, позволяют упростить вычисление таких интегралов.
Подробнее >>>

Примеры

Ниже подробно рассмотрены три примера интегрирования рациональных тригонометрических функций:
∫ cos⁵ x + cos³ xsin⁴ x + sin² x dx   ∫ sin² x1 + sin² x dx   ∫ dx2 sin x – cos x + 5

Пример 1

Вычислить интеграл
∫ cos⁵ x + cos³ xsin⁴ x + sin² x dx

Решение

Подынтегральная функция
cos⁵ x + cos³ xsin⁴ x + sin² x
является дробью, состоящей из многочленов от тригонометрических функций sin x и cos x . Поэтому она является рациональной функцией от sin x и cos x .

Заменим cos x на – cos x :
(– cos x )⁵  + (– cos x )³sin⁴ x + sin² x = – (cos x )⁵  – (cos x )³sin⁴ x + sin² x = – 1 ⋅ cos⁵ x + cos³ xsin⁴ x + sin² x
Вся функция умножилась на   –1 .

По правилу 1, делаем подстановку:
t = sin x .
Тогда
dt = (sin x)′ dx = cos x dx .
(cos⁵ x + cos³ x ) dx = (cos⁴ x + cos² x ) cos x dx = ((1 – sin² x )²  + 1 – sin² x ) cos x dx = ((1 – t² )²  + 1 – t² ) dt = (1 – 2t²  + t⁴  + 1 – t² ) dt = (2 – 3t²  + t⁴ ) dt

Подставляем в интеграл:
I = ∫ cos⁵ x + cos³ xsin⁴ x + sin² x dx = ∫ t⁴  – 3t²  + 2t⁴  + t² dt

Получили интеграл от рациональной функции (дроби из многочленов). Выделяем целую часть и разложим дробь на простейшие:
t⁴  – 3t²  + 2t⁴  + t² = t⁴  + t²  – 4t²  + 2t⁴  + t² = 1 + – 4t²  + 2t⁴  + t² = 1 + 2(t²  + 1 ) – 6t²t² (t²  + 1 ) = 1 + 2t² – 6t²  + 1 .
Интегрируем:
I = ∫ ( 1 + 2t^– 2  – 6t²  + 1  ) dt = t – 2t – 6 arctg t = sin x – 2sin x – 6 arctg (sin x ) + C

Ответ

I = sin x – 2sin x – 6 arctg (sin x ) + C

Пример 2

Определить интеграл
∫ sin² x1 + sin² x dx

Решение

Подынтегральная функция
sin² x1 + sin² x
является дробью, состоящей из многочленов от тригонометрической функции sin x . Поэтому она является рациональной функцией от sin x и cos x .

Заменим sin x на – sin x :
(– sin x )²1 + (– sin x )² = (sin x )²1 + (sin x )²
Функция не изменилась.

Заменим cos x на – cos x . Поскольку подынтегральная функция не зависит от cos x , то при этой замене она также не меняется.

Согласно второму правилу, приведенному выше, делаем подстановку:
t = tg x .
1cos² x = 1 + tg² x = 1 + t² ;
dt = (tg x )^′dx = dxcos² x = (1 + t² ) dx ;
dx = dt1 + t² .
Применим формулу sin² x + cos² x = 1 и разделим числитель и знаменатель на cos² x .
sin² x1 + sin² x = sin² xsin² x + cos² x + sin² x = sin² x2 sin² x + cos² x = sin² xcos² x2 sin² x + cos² xcos² x = tg² x2 tg² x + 1 = t²2t²  + 1 .
Подставляем и раскладываем дробь на простейшие:
I = ∫ sin² x1 + sin² x dx = ∫ t²2t²  + 1 ⋅ dtt²  + 1= ∫ 2t²  + 1 – (t²  + 1 )(2t²  + 1 )(t²  + 1 ) dt= ∫ ( 1t²  + 1 – 12t²  + 1  )dt= ∫ dtt²  + 1 – ∫ dt2t²  + 1 = arctg t – 1√ 2  ∫ d(√ 2  t )(√ 2  t )²  + 1 = arctg tg x – 1√ 2  arctg (√ 2  t ) = x – 1√ 2  arctg (√ 2  tg x ) .

Ответ

I = x – 1√ 2  arctg (√ 2  tg x ) + C

Пример 3

Решить интеграл
∫ dx2 sin x – cos x + 5

Решение

Подынтегральная функция
12 sin x – cos x + 5
является дробью, состоящей из многочлена от тригонометрических функций sin x и cos x . Поэтому она является рациональной функцией от sin x и cos x .

Если заменить sin x на – sin x или cos x на – cos x , то функция меняет вид, поэтому правила 1 или 2 не применимы.

Согласно третьему правилу, приведенному выше, делаем подстановку:
t = tg x2 .
dt = ( tg x2  )^′dx = 1cos² x2 ( x2  )^′ dx = dx2 cos² x2 ;
dxcos² x2 = 2 dt .
Преобразуем знаменатель, применяя формулы:
sin x = 2 sin x2 cos x2 ,
cos x = cos² x2 – sin² x2 ,
cos² x2 + sin² x2 = 1 .
2 sin x – cos x + 5 = 4 sin x2 cos x2 – cos² x2 + sin² x2 + 5(cos² x2 + sin² x2 ) = 6 sin² x2 + 4 sin x2 cos x2 + 4 cos² x2 = 2 ⋅ 3 sin² x2 + 2 sin x2 cos x2 + 2 cos² x2cos² x2 ⋅ cos² x2 = 2 ⋅ (3 tg² x2 + 2 tg x2 + 2 ) ⋅ cos² x2 = 2 ⋅ (3t²  + 2t + 2 ) ⋅ cos² x2 .

I = ∫ dx2 sin x – cos x + 5 = 12 ∫ 13t²  + 2t + 2 ⋅ dxcos² x2 = ∫ dt3t²  + 2t + 2 .

Приводим знаменатель к сумме квадратов:
3t²  + 2t + 2 = 3( t²  + 23 t + 23  ) = 3( t²  + 23 t + ( 13  )²  – 19 + 23  ) = 3[ ( t + 13  )²  + 59  ] = 3[ ( t + 13  )²  + ( √ 5 3  )²  ] .

Подставляем:
I = ∫ dt3t²  + 2t + 2 = 13 ∫d( t + 13  )[ ( t + 13  )²  + ( √ 5 3  )²  ] = 13 ⋅ 3√ 5  ⋅ arctg ( t + 13√ 5 3  ) = 1√ 5  arctg ( 3t + 1√ 5   ) = 1√ 5  arctg ( 3 tg x2 + 1√ 5   )

Ответ

I = 1√ 5  arctg ( 3 tg x2 + 1√ 5   ) + C

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 28-10-2014