Примеры как найти дифференциал функции

Подробно разобраны примеры вычислений дифференциала функции первого, второго и третьего порядков. Показано как вычислять дифференциалы высших порядков с помощью подстановки. Разобран пример нахождения приближенного значения функции с оценкой погрешности вычисления. Приводятся основные формулы, используемые при решении примеров.

Здесь мы рассмотрим примеры вычислений дифференциалов функций и связанные с этим задачи. В конце приводятся определения и основные свойства дифференциалов, применяемые при решении задач.
Ниже рассмотрены следующие примеры. Найти приращение и дифференциал функции в точке x.
y = x³ – 2x. Найти дифференциал функции
y = x² √ 1 – 4x⁴  +  12 arcsin(2x²). Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции
y = e^x 3. С помощью дифференциала вычислить приближенное значение ³√ 8,1 .

Пример 1. Вычисление приращения и дифференциала функции

Найти приращение и через него дифференциал функции в точке x.
y = x³ – 2x.

Решение

Найдем приращение заданной функции в точке x.
Δy = y(x + Δx) – y(x) = (x + Δx)³ – 2(x + Δx) – (x³ – 2x) =
 x³ + 3x² Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³ – 2x – 2Δx – x³ + 2x =
 3x² Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³ – 2Δx = (3x² – 2)Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³;
Δy = (3x² – 2)Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³.

Линейная часть этого приращения по Δx является дифференциалом функции.
dy = (3x² – 2)Δx ≡ (3x² – 2) dx.
Заметим, что этот результат можно получить, если найти производную y^′(x) и применить формулу dy = y^′(x) dx.

Ответ

Приращение функции:
Δy = (3x² – 2)Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³.
Дифференциал:
dy = (3x² – 2) dx.

Пример 2. Найти дифференциал функции

Найти дифференциал функции в точке x.
y = x² √ 1 – 4x⁴  + 12 arcsin(2x²).

Решение

Можно сначала найти производную y^′(x), и применить формулу dy = y^′(x) dx. Но мы произведем вычисления, применяя свойства дифференциалов.

Здесь удобно вычислять с конца.
Применим формулу d( f (x)) =  f ^′(x) dx.
d(x²) = d(x²)dx dx ≡ (x²)^′dx = 2x^2 – 1 dx = 2xdx;
d(x⁴) = d(x⁴)dx dx ≡ (x⁴)^′dx = 4x^4 – 1 dx = 4x³ dx.
Выносим постоянную за знак дифференциала.
d(4x⁴) = 4 d(x⁴) = 4 ⋅ 4x³ dx = 16x³ dx.
Дифференциал постоянной равен нулю.
d(1) = (1)^′dx = 0 ⋅ dx = 0.
Вводим переменную t = 1 – 4x⁴, и применяем формулу дифференциала суммы и разности.
dt = d(1 – 4x⁴) = d(1) – d(4x⁴) = 0 – 16x³ dx = –16x³ dx.
Используем инвариантность первого дифференциала, и вычисляем более простой дифференциал от переменной t. Затем переходим к переменной x
d( √ 1 – 4x⁴  ) = d( √ t  ) = d( √ t  )dt dt ≡ ( √ t  )^′_tdt = ( t^1 / 2 )^′_tdt = 12 t^{1 / 2 – 1} dt = 12 t^–1 / 2 dt =
 dt2t^1 / 2 = –16x³ dx2 √ 1 – 4x⁴  = – 8x³ dx√ 1 – 4x⁴ ;
d( √ 1 – 4x⁴  ) = – 8x³ dx√ 1 – 4x⁴ .
Вычисляем дифференциал произведения.
d( x² √ 1 – 4x⁴  ) = d(x²) ⋅ √ 1 – 4x⁴  + x² ⋅ d( √ 1 – 4x⁴  ) =
 (2x dx) ⋅ √ 1 – 4x⁴  – x² ⋅ 8x³ dx√ 1 – 4x⁴  = 2x(1 – 4x⁴) dx√ 1 – 4x⁴  – 8x⁵ dx√ 1 – 4x⁴  = 2x(1 – 8x⁴) dx√ 1 – 4x⁴ ;
d( x² √ 1 – 4x⁴  ) = 2x(1 – 8x⁴) dx√ 1 – 4x⁴ .

Аналогичным образом находим дифференциал второго слагаемого, вводя переменную
u = 2x².
du = d(2x²) = 2 d(x²) = 2 d(x²)dx dx ≡ 2(x²)^′_xdx = 2 ⋅ 2x^2 – 1 dx = 4x dx;
d(arcsin(2x²)) = d(arcsin(u)) = d(arcsin(u))dx dx ≡ (arcsin(u))^′_udu = 1√ 1 – u²  du =
 4xdx√ 1 – (2x²)² ;
d(  12 arcsin(2x²) ) = 12 d(arcsin(2x²)) = 2xdx√ 1 – 4x⁴ .

Применяя формулу дифференциала суммы, находим первый дифференциал.
dy = d( x² √ 1 – 4x⁴  ) + d(  12 arcsin(2x) ) = 2x(1 – 8x⁴) dx√ 1 – 4x⁴  + 2xdx√ 1 – 4x⁴  =
 2x(2 – 8x⁴) dx√ 1 – 4x⁴  = 4x(1 – 4x⁴) dx√ 1 – 4x⁴  = 4x √ 1 – 4x⁴   dx.

Ответ

dy = 4x √ 1 – 4x⁴   dx.

Пример 3. Найти первый, второй и третий дифференциалы

Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядка функции
y = e^x 3.

Решение стандартным способом

Можно сначала найти производные первого, второго и третьего порядков: y^′(x),  y^′′(x) и y^′′′(x), а затем применить формулы dy = y^′(x) dx,   d² y = y^′′(x) (dx)²,   d³ y = y^′′′(x) (dx)³. Но мы проделаем вычисления, применяя свойства дифференциалов.

Представим исходную функцию как сложную:
y = e^t, где t = x³.
Найдем дифференциал dt, применяя формулу d( f (x)) =  f ^′(x) dx.
dt = d(x³) = (x³)^′dx = 3x^3 – 1 dx = 3x² dx;
(3.1.1)   dt = 3x² dx.

Первый дифференциал имеет инвариантную форму при замене переменных. Поэтому найдем дифференциал от более простой функции y = e^t, и подставим t = x³ и (3.1.1) для dt:
dy = d(e^t) = (e^t)^′dt = e^t dt = e^x 3 ⋅ 3x² dx = 3x² e^x 3 dx.
Попутно заметим, что отсюда
(3.1.2)   d(e^x 3) = 3x² e^x 3 dx.
Впоследствии мы будем применять эту формулу. Итак, мы нашли первый дифференциал.
(3.1.3)   dy = 3x² e^x 3 dx.

Найдем второй дифференциал. Согласно общим правилам, для этого мы считаем, что dx в (3.1.3) является постоянной, а dy – функция, зависящая только от одной переменной x. При этом возникающий дифференциал независимой переменной dx приравниваем к дифференциалу независимой переменной dx первого дифференциала (3.1.3).

Находим дифференциал от (3.1.3), считая dy функцией от x, а dx – постоянной.
Применяем формулу d( f (x)) =  f ^′(x) dx.
(3.1.4)   d(x²) = (x²)^′dx = 2x^2 – 1 dx = 2x dx.
Вычисляем дифференциал произведения, и используем (3.1.2) и (3.1.4).
d( x² e^x 3 ) = d( x² ) ⋅ e^x 3 + x² ⋅ d( e^x 3 ) = 2x dx ⋅ e^x 3 + x² ⋅ 3x² e^x 3 dx = (2x + 3x⁴)e^x 3 dx;
d( x² e^x 3 ) = (2x + 3x⁴)e^x 3 dx.
Выносим постоянные 3 и dx за знак дифференциала.
d² y = d(dy) = d( 3x² e^x 3 dx ) = 3 ⋅ dx ⋅ d( x² e^x 3 ) = 3dx ⋅ (2x + 3x⁴)e^x 3 dx =
 3(2x + 3x⁴)e^x 3 (dx)².
Тем самым мы нашли дифференциал второго порядка:
(3.1.5)   d² y = 3(2x + 3x⁴)e^x 3 (dx)².

Тем же способом находим третий дифференциал. То есть, считаем что dx и, следовательно, (dx)² – постоянные, а d² y в (3.1.5) – функция, зависящая только от x.
d(2x + 3x⁴) = (2x + 3x⁴)^′dx = (2 + 3 ⋅ 4x³) dx = (2 + 12x³) dx;
d(2x + 3x⁴) = 2(1 + 6x³) dx;
d( (2x + 3x⁴)e^x 3 ) = d( 2x + 3x⁴ ) ⋅ e^x 3 + (2x + 3x⁴) ⋅ d( e^x 3 ) =
 2(1 + 6x³) dx ⋅ e^x 3 + (2x + 3x⁴) ⋅ 3x² e^x 3 dx = (2 + 12x³ + 6x³ + 9x⁶)e^x 3 dx;
d( (2x + 3x⁴)e^x 3 ) = (2 + 18x³ + 9x⁶)e^x 3 dx;
d³ y = d(d² y) = d( 3(2x + 3x⁴)e^x 3 (dx)² ) = 3 ⋅ (dx)² ⋅ d( (2x + 3x⁴)e^x 3 ) =
 3(dx)² ⋅ (2 + 18x³ + 9x⁶)e^x 3 dx = 3(2 + 18x³ + 9x⁶)e^x 3 (dx)³;
d³ y = 3(2 + 18x³ + 9x⁶)e^x 3 (dx)³.

Ответ

dy = 3x² e^x 3 dx;
d² y = 3(2x + 3x⁴)e^x 3 (dx)²;
d³ y = 3(2 + 18x³ + 9x⁶)e^x 3 (dx)³.
Заметим, что для степеней дифференциалов независимой переменной принято опускать скобки. Поэтому две последние формулы можно записать так.
d² y = 3(2x + 3x⁴)e^x 3 dx²;
d³ y = 3(2 + 18x³ + 9x⁶)e^x 3 dx³.

Решение подстановкой

Теперь продемонстрируем, что такое неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков. Для этого мы сделаем замену переменной
t = x³, и вычислим дифференциалы, используя только переменную t. А затем перейдем к переменной x, и получим окончательный результат.

Переходим к переменной t по формулам:
y = e^t, где t = x³.
Первый дифференциал имеет инвариантную форму:
dy = dydx dx = dydt dt.
Чтобы его найти, нужно просто вместо переменной x использовать переменную t, и применить определение первого дифференциала.
dy = (e^t)^′dt = e^t dt;
(3.2.1)   dy = e^t dt.

Найдем второй дифференциал. Определение дифференциалов второго и высших порядков отличается от определения дифференциала первого порядка. Если мы вычисляем дифференциал функции, зависящей от переменной x, то мы должны найти дифференциал от первого дифференциала, в котором dx является постоянной. Когда мы переходим к переменной t, мы должны считать постоянной именно dx, а не dt. Поскольку
dt = dtdx dx,
то dt уже не будет постоянной. В этом как раз и проявляется неинвариантность формы дифференциалов высших порядков.

Итак, находим второй дифференциал, используя переменную t. Для этого вычисляем дифференциал от (3.2.1) считая, что dt есть функция от t.
d² y = d(e^t ⋅ dt) = d(e^t) ⋅ dt + e^t ⋅ d(dt) = (e^t)^′dt ⋅ dt + e^t ⋅ d² t = e^t (dt)² + e^t ⋅ d² t =
 e^t ( (dt)² + d² t );
(3.2.2)   d² y = e^t ( (dt)² + d² t ).

Тем же способом находим дифференциал третьего порядка. Для этого вычисляем дифференциал от (3.2.2) считая, что dt и d² t являются функциями от t.
d³ y = d(d² y) = d[ e^t ⋅ ( (dt)² + d² t ) ] = d(e^t) ⋅ ( (dt)² + d² t ) + e^t ⋅ d( (dt)² + d² t ) =
 (e^t)^′dt ⋅ ( (dt)² + d² t ) + e^t ⋅ ( d( (dt)² ) + d( d² t ) ) =
 e^t dt ⋅ ( (dt)² + d² t ) + e^t ⋅ (  d(dt)²d(dt) d(dt) + d³ t ).
Вычисляем производную по переменной dt.
d(dt)²d(dt) = ( (dt)² )^′_dt = 2(dt)^2 – 1 = 2dt.
Окончательно имеем.
d³ y = e^t dt ⋅ ( (dt)² + d² t ) + e^t ⋅ ( 2dt ⋅ d(dt) + d³ t );
(3.2.3)   d³ y = e^t ( (dt)³ + 3dt ⋅ d² t + d³ t ).

Формулы (3.2.1), (3.2.2) и (3.2.3) дают выражения дифференциалов первого, второго и третьего порядка по переменной x, выраженных через переменную t. Переходим к переменой x, считая, что dx является постоянной.
t = x³;
dt = d(x³) = (x³)^′dx = 3x² dx;
dt = 3x² dx;
d² t = d(dt) = d(3x² dx) = 3dx ⋅ d(x²) = 3dx ⋅ (x²)^′dx = 3dx ⋅ 2x dx = 6x(dx)²;
d² t = 6x(dx)²;
d³ t = d(d² t) = d(6x(dx)²) = 6(dx)² ⋅ dx = 6(dx)³;
d³ t = 6(dx)³;
(dt)² = (3x² dx)² = 9x⁴ (dx)²;
(dt)³ = (3x² dx)³ = 27x⁶ (dx)³.
Подставляем в (3.2.1), (3.2.2) и (3.2.3).
dy = e^t dt = e^x 3 ⋅ 3x² dx = 3x² e^x 3 dx;
d² y = e^t ( (dt)² + d² t ) = e^x 3 ( 9x⁴ (dx)² + 6x(dx)² ) = (6x + 9x⁴)e^x 3 (dx)²;
d³ y = e^t ( (dt)³ + 3dt ⋅ d² t + d³ t ) = e^x 3 ( (27x⁶ (dx)³+   3 ⋅ 3x² dx ⋅ 6x(dx)² + 6(dx)³ ) =
 (6 + 54x³ + 27x⁶)e^x 3 (dx)³.

Ответ

dy = 3x² e^x 3 dx;
d² y = 3(2x + 3x⁴)e^x 3 dx²;
d³ y = 3(2 + 18x³ + 9x⁶)e^x 3 dx³.

Пример 4. Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала

С помощью дифференциала вычислить приближенное значение кубического корня   ³√ 8,1 .

Решение

Рассмотрим функцию y(x) = ³√ x . Требуется найти ее значение в точке x = x₁ = 8,1.
Воспользуемся тем, что мы можем легко найти значение y(x) при x = x₀ = 8:
y(x₀) = y(8) = ³√ 8  = ³√ 2³  = 2.
Введем приращения аргумента Δx и функции Δy:
Δx = x₁ – x₀ = 8,1 – 8 = 0,1;
Δy = y(x₁) – y(x₀) = y(x₀ + Δx) – y(x₀).
Тогда x₁ = x₀ + Δx;
y(x₁) = y(x₀) + y(x₁) – y(x₀) = y(x₀) + Δy;
(4.1)   y(x₁) = y(x₀) + Δy.
Таким образом, чтобы определить значений функции в точке x₁, зная ее значение в x₀, нужно найти приращение Δy в x₀ при приращении аргумента Δx = x₁ – x₀ = 0,1.

Согласно определению дифференциала,
(4.2)   Δy = dy + o(dx) при dx → 0.
То есть при достаточно малом значении приращения аргумента Δx ≡ dx, приращение функции будет близким к дифференциалу:
(4.3)   Δy ≈ dy.
Таким образом, для решения примера, нам нужно найти дифференциал функции y(x) = ³√ x  в точке x₀ = 8. После чего, используя (4.3), мы найдем приближенное значение приращения функции, и по формуле (4.1) – искомое значение корня.

Находим производную, а затем дифференциал функции в точке x₀.
(4.4)   y^′(x) = ( x^1 / 3 )^′ = 13 x^{1 / 3 – 1} = 13 x^–2 / 3;
y^′(x₀) = 13 x^–2 / 3₀ = 13 8^–2 / 3 = 13 (2³)^–2 / 3 = 13 2^–2 = 13 ⋅ 2² = 112;
dy = y^′(x₀) dx = 112 ⋅ dx.
Приближенное значение приращения функции:
Δy ≈ dy = 112 ⋅ Δx = 0,112 ≈ 0,00833.
По формуле (4.1) находим искомое приближенное значение корня.
³√ 8,1  = y(x₁) = y(x₀) + Δy ≈ 2 + 0,00833 = 2,00833.

Ответ

³√ 8,1  ≈ 2,00833.

Применять в прикладных задачах подобный метод приближенных вычислений, как мы сделали в этом примере нельзя, поскольку мы не нашли погрешность, с которой получили значение корня ³√ 8,1 . С помощью одной только формулы (4.2) найти погрешность не возможно. Для ее оценки требуется дополнительное исследование. Его можно выполнить, применяя теорию ряда Тейлора.

Разложим функцию y(x₀ + Δx) в ряд Тейлора, оставляя только линейное слагаемое по Δx, и записав остаточный член в форме Лагранжа:
(4.5)   y(x₀ + Δx) = y(x₀) + y^′(x₀)Δx + 12 y^′′(ξ)(Δx)².
Точное значение ξ не известно. Но известно, что оно заключено в интервале
(4.6)   x₀ < ξ < x₀ + Δ.
Это позволяет сделать оценку точности вычисления.

Погрешность вычисления определяется последним слагаемым в (4.5):
ε = 12 y^′′(ξ)(Δx)².
Оценим эту величину. Используя (4.4), находим y^′′(x).
y^′′(x) = 13 ( x^–2 / 3 )^′ = 13 ⋅ –23 x^{–2 / 3 – 1} = – 29 x^–5 / 3;
y^′′(x) = – 29 x^–5 / 3. Тогда
ε = – 19 ξ^–5 / 3 (Δx)².
ε возрастает с ростом ξ. Можно найти нижнюю границу ее значения в интервале (4.6).
ε_min = ε | _ξ = x0 = – 19 8^–5 / 3 ⋅ 0,1² = – 19 2^–5 ⋅ 0,1² = – 0,01288 = –0,0000347222... .
Отсюда получаем оценку погрешности вычислений:
(4.7)   ε_min < ε < 0.
По абсолютной величине, наибольшая погрешность составляет
 | ε | _max =  | ε_min |  = 0,0000347222... .
Из (4.7) находим, что значение числа ³√ 8,1  заключено в пределах
y(x₀) + y^′(x₀)Δx – | ε_min |  < ³√ 8,1  < y(x₀) + y^′(x₀)Δx;
2,0083333 – 0,0000347 < ³√ 8,1  < 2,00833333;
(4.8)   2,0082986111 < ³√ 8,1  < 2,00833333.
Поэтому корректный результат решения этого примера имеет вид (4.8). На практике часто пишут результат в более удобной форме:
³√ 8,1  = 2,00833333 ± 0,0000347.
Точное значение корня, округленное до 10-го знака после запятой:
³√ 8,1  = 2,0082988502.
Как и следовало ожидать, оно находится в установленном интервале (4.8).

Определения и формулы, применяемые при вычислении дифференциалов

Далее для справок изложены основные формулы, используемые в задачах на нахождение дифференциала. Подробное изложение теоретического материала приводится на странице Дифференциал функции в точке.

Первый дифференциал функции и его свойства

Дифференциал функции в точке

Пусть функция y =  f (x) дифференцируема в некоторой точке x.
Тогда ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от приращения ее аргумента Δx и бесконечно малой функции по сравнению с Δx:
Δ f (x, Δx) ≡  f (x + Δx) –  f (x) =  f ^′(x)Δx + o(Δx).
Дифференциалом df  функции  f (x) в точке x называется главная линейная часть приращения функции, соответствующая приращению Δx независимой переменной x:
df  =  f ^′(x)Δx.
То есть это приращение функции, в котором опущены слагаемые, содержащие бесконечно малые величины по сравнению с приращением аргумента Δx.
Дифференциал обозначается как dy,  df  или df (x), и является функцией двух переменных: x и Δx. Он также называется дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом.

Дифференциал независимой переменной

– это приращение аргумента функции:
dx = Δx.
Он является независимой переменной.

Дифференциал функции y =  f (x) имеет следующие обозначения:
df (x) =  f ^′(x) dx;
df  =  f ^′(x) dx;
dy =  f ^′(x) dx;
dy = dydx  dx.

Дифференциалы второго и высших порядков

Дифференциал n-го порядка функции в точке

Пусть функция y =  f (x) n раз дифференцируема в точке x.
Дифференциалом n-го порядка dⁿ  f  функции в точке x называется дифференциал от дифференциала n – 1 - го порядка в этой точке при следующих ограничениях.
1. Считается, что дифференциал n – 1 - го порядка является функцией, зависящей только от одной переменной – аргумента функции x. То есть дифференциал независимой переменной dx рассматривается как постоянная.
2. Приращение аргумента δx приравнивается к приращению аргумента dx дифференциала n – 1-го порядка.
Дифференциал n-го порядка также называют n-м дифференциалом функции в точке. Он обозначается одним из способов:
dⁿ y ≡ dⁿ  f  ≡ dⁿ  f (x),
и определяется по формуле:
(2.4)   dⁿ y =  f ⁽ⁿ⁾ (x)(dx)ⁿ ≡  f ⁽ⁿ⁾ (x)dxⁿ.

Значение выражения dxⁿ зависит от контекста, в котором оно применяется.
Если оно применяется при вычислении n-го дифференциала, то
dxⁿ ≡ (dx)ⁿ.
Если это первый дифференциал функции  f (x) = xⁿ, то
dxⁿ ≡ d(xⁿ) = (xⁿ)^′dx = nx^n – 1 dx.

Далее перечислены основные свойства дифференциалов высших порядков. Здесь  f ,  f ₁,  f ₂, . . . f _m – функции, зависящие от переменной x; C – постоянная.
Дифференциал суммы и разности.
dⁿ ( f ₁ ±  f ₂) = dⁿ  f ₁ + dⁿ  f ₂.
Вынесение постоянной за знак дифференциала.
dⁿ (Cf ) = Cdⁿ  f .
Дифференциал произведения двух функций.
dⁿ ( f ₁ ⋅  f ₂) = dⁿ  f ₁ ⋅  f ₂ + nd^n – 1  f ₁ ⋅ df ₂ + n(n – 1)2! d^n – 2  f ₁ ⋅ d²  f ₂ + ⋅ ⋅ ⋅ +
 n!(n – k)!k! d^n – k  f ₁ ⋅ d^k  f ₂ + ⋅ ⋅ ⋅ + f ₁ ⋅ dⁿ  f ₂.
Как следствие, дифференциал произведения m функций.
dⁿ ( f ₁ ⋅  f ₂ ⋅ ⋅ ⋅ f _m) = Σ_{Σ ki = n} n!k₁ !k₂ !⋅ ⋅ ⋅k_m ! d^k₁ f ₁ ⋅ d^k₂ f ₂ ⋅ ⋅ ⋅d^k_m f _m.
Суммирование ведется по всем возможным целым значениям k₁, k₂, . . .k_m, сумма которых равна n, и каждое из которых заключено в пределах 0 ≤ k_i ≤ n.

Формулу Тейлора
Δ f  =  f ^′(x)Δx + 12!  f ^′′(x)(Δx)² + 13!  f ^′′′(x)(Δx)³ + ⋅ ⋅ ⋅ + 1n!  f ⁽ⁿ⁾ (x)(Δx)ⁿ + ⋅ ⋅ ⋅
можно выразить через дифференциалы высших порядков
Δ f  = df  + 12! d²  f  + 13! d³  f  + ⋅ ⋅ ⋅ + 1n! dⁿ  f  + ⋅ ⋅ ⋅.
Здесь Δ f  =  f (x + Δx) –  f (x) – приращение функции в точке x.
Напомним, что согласно определению, дифференциал независимой переменной является ее приращением
dx = Δx.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 12-02-2023