Методы решения физико-математических задач

Дифференциал функции в точке

Определение дифференциала функции.
Определение первого дифференциала функции, его смысл и геометрическая интерпретация. Доказательство арифметических свойств и инвариантности его формы. Определение дифференциала высшего порядка, связь с формулой Тейлора. Доказательство не инвариантности его формы. Определение дифференциала второго порядка, обладающего инвариантной формой.

Первый дифференциал функции

Определение первого дифференциала функции

Дифференциал функции в точке
Пусть функция дифференцируема в некоторой точке .
Тогда ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от приращения ее аргумента и бесконечно малой функции по сравнению с :
.
Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения функции, соответствующая приращению независимой переменной :
.
То есть это приращение функции, в котором опущены слагаемые, содержащие бесконечно малые величины по сравнению с приращением аргумента .
Дифференциал обозначается как или , и является функцией двух переменных: и . Он также называется дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом.
Дифференциал независимой переменной
– это приращение аргумента функции:
.
Он является независимой переменной.

С учетом определений, дифференциал функции имеет следующий вид.
(1.1)   .
Его также можно записать в одной из следующих форм.
;
;
.

Поскольку дифференциал функции зависит от двух переменных, то его следовало бы писать так: . Однако, переменную , как правило опускают, и пишут сокращенно . При этом всегда подразумевают ее присутствие. То есть сначала мы вводим новую независимую переменную , являющуюся приращением аргумента функции, а затем, используя две независимые переменные и , определяем дифференциал.

В чем смысл первого дифференциала

Зачем вводят дифференциалы? Не проще ли использовать вместо них приращения независимой переменной и функции?
– Дифференциалы вводят для сокращения записей расчетов, в которых используются стремящиеся к нулю приращения. На завершающем этапе таких расчетов выполняется предельный переход, в результате которого все о - малые функции от приращений стремятся к нулю. Поэтому применяют систему записи, в которой эти о - малые исключены с самого начала.

В строгом варианте, нужно выписать точные выражения для приращений, типа
.
По завершении алгебраических операций, выполняется предельный переход
при ,   .
Вместо этого с самого начала оставляют только главные части приращений, которые называются дифференциалами:
.
В результате получают выражения, линейные по дифференциалам, справедливые для приращений, когда они стремятся к нулю.

Можно сказать и так.
Дифференциалы – это приращения, в которых отброшены все функции, о - малые от приращений независимых переменных.
Первые дифференциалы – это выражения, в которых оставлены только линейные части приращений.
Также говорят, что
Дифференциалы – это бесконечно малые приращения.

Геометрический смысл дифференциала

Если существует конечная производная функции в точке ,
то дифференциал функции в точке – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Дифференциал независимой переменной – это приращение аргумента функции: .
Геометрический смысл дифференциала функции
Дифференциал функции в точке x0 – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику в этой точке.
Доказательство

На странице «Геометрический смысл производной» мы выяснили, что уравнение касательной к графику функции имеет вид:
(1.2)   ,
где .

В точке с абсциссой , ордината касательной равна . Рассмотрим точку , в которой приращение абсциссы равно . Из уравнения (1.2) находим ординату касательной в этой точке:
.
Приращение ординаты касательной
.
Как видно, оно совпадает с дифференциалом функции в точке
.

Свойства первого дифференциала

Арифметические свойства дифференциалов

Теорема
Пусть функции и дифференцируемы в точке ; C – постоянная.
Тогда в этой точке
(1.3)     (дифференциал суммы функций);
(1.4)     (дифференциал произведения);
(1.5)   ,   при   (дифференциал частного).
Постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференциала:
(1.6)   .

Доказательство следует из определения дифференциала (1.1) и формул производных суммы, произведения и частного.

;

;

;
.

Инвариантность формы первого дифференциала

Теорема
Пусть функцию можно представить как сложную: .
При этом функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке .
Тогда дифференциал первого порядка функции, выраженный через переменную имеет ту же форму, что и дифференциал, выраженный через переменную :
.
Эту же формулу можно записать так:
.
Доказательство

По теореме о производной сложной функции, в точке существует производная по . Применим эту теорему и подставим .
.

Здесь мы выполнили доказательство, использую характеристики функций . Проделаем тоже самое, использую переменные .
.

Можно проделать вывод и просто сделав подстановку .
.
В известном смысле с первыми производными можно обращаться как с дробями, составленными из дифференциалов.

Примечание.
В формуле ,   является дифференциалом независимой переменной, то есть приращением переменной .
В формуле ,   уже дифференциал зависимой переменной. Он может отличаться от приращения на о - малое по сравнению с при .
;
.

Дифференциалы второго и высших порядков

Проблемы определения

Попробуем найти дифференциал второго порядка от функции .
При определении дифференциала первого порядка, мы вводим новую независимую переменную , которую называем приращением или дифференциалом независимой переменной. После этого определяется по формуле.
(2.1)   .
Первый дифференциал является функцией двух переменных: и .

Тогда, чтобы найти второй дифференциал, мы должны найти дифференциал от функции двух переменных (2.1). Для этого нужно ввести приращения и переменных и . Используя арифметические свойства (1.4), находим дифференциал от (2.1).
;
(2.2)   .
Как видно, он является функцией уже четырех переменных: .

Действуя подобным способом, мы найдем, что дифференциал третьего порядка будет зависеть от восьми переменных, а дифференциал произвольного, - го порядка – от . Применять такие дифференциалы будет затруднительно. И, при этом, не вполне очевиден смысл дополнительных переменных.

Давайте упростим задачу. Рассмотрим дифференциал первого порядка как функцию только одной переменной . То есть считаем, что дифференциал независимой переменной является постоянной. Тогда , и вместо (2.2) получим:
(2.3)   .
Теперь второй дифференциал уже является функцией трех переменных . Тогда при каждом взятии дифференциала от дифференциала, будет появляться новая переменная – новое приращение переменной . Дифференциал - го порядка будет функцией, зависящей от переменных.

Сделаем еще проще. Приравняем приращения независимых переменных. То есть при определении второго дифференциала, приравняем новую переменную к .
.
Теперь, как и первый дифференциал, второй дифференциал является функцией, зависящей от двух переменных – и .

Такое определение является общепринятым. Поскольку , то и в дифференциале функции вместо символа используют символ :
.
Важно отметить, что при записи произведения приращений независимой переменной опускают скобки:
.
Тогда второй дифференциал функции может иметь следующие формы записи:
.
Аналогично, для дифференциала - го порядка, имеем
.

Значение выражения зависит от контекста, в котором оно применяется.
Если оно применяется при вычислении - го дифференциала, то
.
Если это первый дифференциал функции , то
.

Определение

Дифференциал n-го порядка функции в точке
Пусть функция n раз дифференцируема в точке x.
Дифференциалом n-го порядка функции в точке называется дифференциал от дифференциала - го порядка в этой точке при следующих ограничениях.
1. Считается, что дифференциал - го порядка является функцией, зависящей только от одной переменной – аргумента функции . То есть дифференциал независимой переменной рассматривается как постоянная.
2. Приращение аргумента приравнивается к приращению аргумента дифференциала -го порядка.
Дифференциал n-го порядка также называют n-м дифференциалом функции в точке. Он обозначается одним из способов:
,
и определяется по формуле:
(2.4)   .

Формулу (2.4) легко получить по индукции. Для она является первым дифференциалом:
.
Для имеем.

.

Свойства

Поскольку дифференциал n-го порядка функции равен n-й производной, умноженной на :
,
то его свойства следуют из свойств производных высших порядков. При этом рассматривается как постоянная, не зависящая от величина.

Далее перечислены основные свойства дифференциалов высших порядков. Здесь – функции, зависящие от переменной ; – постоянная.
Дифференциал суммы и разности.
.
Вынесение постоянной за знак дифференциала.
.
Дифференциал произведения двух функций.

.
Как следствие, дифференциал произведения m функций.
.
Суммирование ведется по всем возможным целым значениям , сумма которых равна n, и каждое из которых заключено в пределах .

Связь дифференциалов с формулой Тейлора

Первый дифференциал функции содержит только слагаемые, линейные по приращению аргумента . Дифференциал второго порядка – слагаемые, квадратичные по . Дифференциал n - го порядка – слагаемые со степенью .

В связи с этим, формулу Тейлора

можно выразить через дифференциалы высших порядков
.
Здесь – приращение функции в точке .
Напомним, что согласно определению, дифференциал независимой переменной является ее приращением
.

Не инвариантность формы дифференциала второго и высших порядков

Дифференциалы второго порядка

Выше мы установили, что форма первого дифференциала инвариантна, то есть не меняется при замене переменных. Так, если мы от переменной перейдем к переменной , сделав подстановку , то первый дифференциал будет иметь один и тот же вид, отличающийся лишь заменой на :
.

Однако для дифференциалов второго и высших порядков, такая инвариантность отсутствует – при замене переменной его форма может иметь другой вид. В общем случае
.

Покажем это. Рассмотрим функцию . Согласно определению, ее второй дифференциал
.
Перейдем к переменной , рассматривая как сложную функцию
.
Дифференцируем по переменной , применяя правила дифференцирования сложной функции и произведения:

;
.
Здесь мы нижним индексом обозначили переменную, по которой выполняется дифференцирование. Делается это только для удобства восприятия материала. В этом нет необходимости, поскольку, например, производная без нижнего индекса обозначает производную по ее аргументу, то есть по . Аналогично и для других функций и . Можно было опустить все нижние индексы без возникновения двусмысленности в изложении.

Подставляем в дифференциал второго порядка, и учитываем, что .

.

В результате мы получили формулу, связывающую дифференциал второго порядка, выраженный через переменную :
.
Отсюда видно, что в дифференциале, выраженном через переменную появляется дополнительное слагаемое , которое отсутствует в дифференциале, выраженном через переменную . То есть форма второго дифференциала не инвариантна при замене переменной.

Выше мы выполнили выкладки, используя характеристики функций. Проделаем тоже самое, используя вместо характеристик переменные.
;
.
Подставляем в дифференциал второго порядка.
.

Проделаем тоже самое, используя переменные и обозначения производных в форме отношений дифференциалов.

;
;

;
.
Итак, форма дифференциала второго порядка, выраженного через переменную отличается от формы дифференциала, выраженного через переменную :
.

Теорема

Пусть функцию можно представить как сложную: .
При этом функции и дифференцируемы n раз в точках и , соответственно.
Тогда форма дифференциала n - го порядка функции, выраженной через переменную не совпадает с формой дифференциала этого же порядка, выраженного через переменную :
.
Доказательство

Дифференциал n-го порядка в точке имеет вид
(2.5)   .
Перепишем n-ю производную следующим образом:
.
В последнем множителе применим правило дифференцирования сложной функции:
.
Применим правило дифференцирования произведения и сложной функции:

;
.
Применяя эту процедуру раза найдем, что в состав входит слагаемое, содержащее n-ю производную по :
.
Выделим его в n-ом дифференциале (2.5):
.

Таким образом мы показали, что n-й дифференциал, выраженный через переменную имеет в своем составе слагаемое , которого нет в дифференциале (2.5), выраженного через переменную . То есть форма дифференциала n - го порядка функции, выраженной через переменную не совпадает с формой дифференциала этого же порядка, выраженного через переменную .

Инвариантная форма дифференциала второго порядка

Дифференциалы второго и высших порядков определены с двумя ограничениями. Поэтому они утратили свойство инвариантности формы при замене переменной. Покажем, что если убрать первое ограничение и оставить второе, то дифференциал второго порядка сохранит свойство инвариантности.

Рассмотрим дифференциал второго порядка общего вида (2.2):
.
Приравняем приращения: ,
(2.6)   .
Здесь – независимые переменные.
Проведем вывод, используя обозначения переменных. Тогда (2.6) примет вид
(2.7)   .

Перейдем к новым независимым переменным , выполняя преобразование .
;
;
.
Подставляем в (2.7) и выполняем преобразования.
;
;
;
;
.
Видно, что дифференциал имеет форму (2.7), в которой переменная заменена переменной .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Г.Н. Яковлев. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2001.

.     Опубликовано:   Изменено:

Меню