Методы решения физико-математических задач

Первый дифференциал функции в точке

Определение дифференциала функции.
Определение первого дифференциала функции, его суть и геометрический смысл. Доказательство арифметических свойств и инвариантности формы первого дифференциала.

Определение первого дифференциала функции

Дифференциал функции в точке
Пусть функция дифференцируема в некоторой точке .
Тогда ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от приращения ее аргумента и бесконечно малой функции по сравнению с :
.
Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения функции, соответствующая приращению независимой переменной :
.
То есть это приращение функции, в котором опущены слагаемые, содержащие бесконечно малые величины по сравнению с приращением аргумента .
Дифференциал обозначается как или , и является функцией двух переменных: и . Он также называется дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом.
Дифференциал независимой переменной
– это приращение аргумента функции:
.
Как и приращение аргумента функции, он является новой независимой переменной.

С учетом определений, дифференциал функции имеет следующий вид.
(1)   .
Его также можно записать в одной из следующих форм.
;
;
.

Поскольку дифференциал функции зависит от двух переменных, то его следовало бы писать так: . Однако, переменную , как правило опускают, и пишут сокращенно . При этом всегда подразумевают ее присутствие. То есть сначала мы вводим новую независимую переменную , являющуюся приращением аргумента функции, а затем, используя две независимые переменные и , определяем дифференциал.

В чем суть дифференциала

Зачем вводят дифференциалы? Не проще ли использовать вместо них приращения независимой переменной и функции?
– Дифференциалы вводят для сокращения записей расчетов, в которых используются стремящиеся к нулю приращения. На завершающем этапе таких расчетов выполняется предельный переход, в результате которого все о - малые функции от приращений стремятся к нулю. Поэтому применяют систему записи, в которой эти о - малые исключены с самого начала.

В строгом варианте, нужно выписать точные выражения для приращений типа
.
А по завершении алгебраических операций, выполнить предельный переход:
при ,   .
Вместо этого с самого начала оставляют только главные части приращений, которые являются дифференциалами:
.
В результате получают выражения, линейные по дифференциалам, справедливые для приращений, когда они стремятся к нулю.

Можно сказать и так, что
Дифференциалы – это приращения, в которых отброшены все функции, о - малые от приращений независимых переменных.
Также говорят, что
Дифференциалы – это бесконечно малые приращения.

Геометрический смысл дифференциала

Если существует конечная производная функции в точке ,
то дифференциал функции в точке – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Дифференциал независимой переменной – это приращение аргумента функции: .
Геометрический смысл дифференциала функции
Дифференциал функции в точке x0 – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику в этой точке.
Доказательство

На странице «Геометрический смысл производной» мы выяснили, что уравнение касательной к графику функции имеет вид:
(2)   ,
где .

В точке с абсциссой , ордината касательной равна . Рассмотрим точку , в которой приращение абсциссы равно . Из уравнения (2) находим ординату касательной в этой точке:
.
Приращение ординаты касательной:
.
Как видно, оно совпадает с дифференциалом функции в точке :
.

Свойства дифференциала

Арифметические свойства дифференциалов

Теорема
Пусть функции и дифференцируемы в точке ; C – постоянная.
Тогда в этой точке
  (дифференциал суммы функций);
  (дифференциал произведения);
,   при   (дифференциал частного).
Постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференциала:
.

Доказательство следует из определения дифференциала (1) и формул производных суммы, произведения и частного.

;

;

;
.

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть функцию можно представить как сложную: .
Тогда дифференциал первого порядка функции, выраженный через переменную имеет ту же форму, что и дифференциал, выраженный через переменную :
.
Или используя обозначения переменных:
.

Доказательство

Применим правило дифференцирования сложной функции и подставим . .

Здесь мы выполнили доказательство, использую характеристики функций . Проделаем тоже самое, использую переменные .
.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано:

Меню